1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 双曲线 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 安徽模拟 下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y 2 x 的是 ( ) A x2 y24 1 B.x24 y2 1 C y2 x24 1 D.y24 x2 1 答案 D 解析 由题意，选项 A， B 的焦点在 x 轴，故排除 A， B； D 项的渐近线方程为 y24 x2 0，即 y 2 x. 2 2018 湖北模拟 若双曲线 x2a2y2b2 1 的一条渐近线经过点 (3， 4)，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 73 B.54 C.43 D.53 答案 D 解析 由
2、已知可得双曲线的渐近线方程为 y bax，点 (3， 4)在渐近线上， ba 43，又 a2 b2 c2， c2 a2 169a2 259a2， e ca 53.故选 D. 3 2017 全国卷 已知 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1,3)，则 APF 的面积为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.32 答案 D 解析 因为 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点，所以 F(2,0) 因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为 (2， yP) 因 为 P 是 C 上一点，所以 4 y2P3 1，解
3、得 yP 3 ， 所以 P(2， 3) ， |PF| 3. 又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1， 所以 S APF 12| PF|1 1231 32.故选 D. 4 2018 广东模拟 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.x24y23 1 B.x29y216 1 C.x216y29 1 D.x23y24 1 答案 C 解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5,0)，所以 c 5.因为离心率 e ca 54，所以 a 4. 又 a2 b2 c2，所
4、以 b2 9. 故双曲线 C 的方程为 x216y29 1. 5 P 为双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)右支上的一点，且 |PF1| 2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A (1,3) B (1,3 C (3， ) D 3， ) 答案 B 解析 如图，由题意可知? 4a 2a2c，a0， b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，过点 F2作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且 PF1F2 6 ，则双曲线的渐近线方程为 _ 答案 y 2x 解析 根据已知可得， |PF1| 2b2a 且 |PF2|b2a，故2b2a b2a 2a，所以b2a2 2，ba 2，
5、双曲线的渐近线方程为 y 2x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 7 2018 海口调研 已知点 F1， F2分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点， P为双曲线左支上的任意一点，且 |PF2| 2|PF1|，若 PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为 _ 答案 2 解析 |PF2| |PF1| 2a， |PF2| 2|PF1|， |PF2| 4a， |PF1| 2a， PF1F2为等腰三角形， |PF2| |F1F2|，即 4a 2c， ca 2. 8 2016 北京高考 双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC
6、所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a _. 答案 2 解析 由 OA， OC 所在直线为渐近线，且 OA OC，知两条渐近线的夹角为 90 ，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为 x2 y2 a2.OB 是正方形的对角线，且点 B 是双曲线的焦点，则 c 2 2，根据 c2 2a2可得 a 2. 9设 A， B 分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 33 x 2 与双曲线的右支交于 M， N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使 O
7、M ON tOD，求 t 的值及点 D 的坐标 解 (1)由题意知 a 2 3， 又 一条渐近线为 y bax，即 bx ay 0. 由焦点到渐近线的距离为 3，得 |bc|b2 a2 3. b2 3， 双曲线的方程为 x212y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)， 则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0. 将直线方程 y 33 x 2 代入双曲线方程 x212y23 1 得 x2 16 3x 84 0， 则 x1 x2 16 3， y1 y2 33 (x1 x2) 4 12. ? x0y0 4 33 ，x2012y203 1， ? x0
8、 4 3，y0 3，=【 ;精品教育资源文库 】 = t 4， 点 D 的坐标为 (4 3， 3) 10 2018 广西模拟 已知双曲线方程 2x2 y2 2. (1)求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程； (2)求过点 B(1,1)能否作直线 l，使 l 与所给双曲线交于 Q1， Q2两点，且点 B 是弦 Q1Q2的中点？这样的直线 l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由 解 (1)由 22 2 12 72 可知点 A 在双曲线内部 (含焦点的区域内 )，设以 A(2,1)为中点的弦两端点分别为 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则有 x1 x2 4， y
9、1 y2 2.由对称性知 x1 x2. P1、 P2在双曲线上， ? 2x21 y21 2，2x22 y22 2， 两式相减得 2(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0. x1 x2 4， y1 y2 2. y1 y2x1 x2 4. 所求中点弦所在直线方程为 y 1 4(x 2)，即 4x y 7 0. (2)由 21 2 12 10， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形 (O 为原点 )，则双曲线的方程为 ( ) A.x24y212 1 B.x212y24 1 C.x23 y2 1 D x2 y23 1 答案 D
10、解析 根据题意画出草图如图所示 ? ?不妨设点 A在渐近线 y bax上 . 由 AOF 是边长 为 2 的等边三角形得到 AOF 60 ， c |OF| 2. 又点 A 在双曲线的渐近线 y bax 上， =【 ;精品教育资源文库 】 = ba tan60 3. 又 a2 b2 4， a 1， b 3， 双曲线的方程为 x2 y23 1.故选 D. 2已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 M( 12， 15)，则 E 的方程为 ( ) A.x3 y26 1 B.x24y25 1 C.x26y23 1
11、 D.x25y24 1 答案 B 解析 由已知易得 l 的斜率为 k kFM 1.设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， A(x1，y1)， B(x2， y2)，则有? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减并结合 x1 x2 24， y1 y2 30，得 y1 y2x1 x2 4b25a2，从而4b25a2 1，即 4b2 5a2.又 a2 b2 9，解得 a2 4， b2 5，故选 B. 3 2018 武汉模拟 过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一个焦点 F 的直线与双曲线相交于 A， B 两点， 当 AB x 轴，称 |AB|为双曲线
12、的通径若过焦点 F 的所有焦点弦 AB 中，其长度的最小值为 2b2a ，则此双曲线的离心率的范围为 ( ) A (1， 2) B (1， 2 C ( 2， ) D 2， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 当经过焦点 F 的直线与双曲线的交点在同一支上， 可得双曲线的通径最小，令 x c，可得 y b c2a2 1 b2a，即有最小值为2b2a ； 当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为 0 时， 即为实轴，最小为 2a. 由题意可得 2a 2b2a ， 即为 a2 b2 c2 a2， 即有 c 2a， 则离心率 e ca (1， 2 4 2018 承德模拟 已知点
13、 M( 2,0)， N(2,0)，动点 P 满足条件 |PM| |PN| 2 2，记动点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程； (2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 OA OB的最小值 解 (1)由 |PM| |PN| 2 2知动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 a 2. 又焦距 2c 4，所以虚半轴长 b c2 a2 2. 所以 W 的方程为 x22y22 1(x 2) (2)设 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2) 当 AB x 轴时， x1 x2， y1 y2， 从而 OA OB x1x2 y1y2 x
14、21 y21 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m(k1) ，与 W 的方程联立，消去y 得 (1 k2)x2 2kmx m2 2 0， 则 x1 x2 2km1 k2， x1x2 m2 2k2 1， 所以 OA OB x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 k2 m2k2 1 2k2m21 k2 m2 2k2 2k2 1 24k2 1. 又因为 x1x20，所以 k2 10. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 OA OB2. 综上所述，当 AB x 轴时， OA OB取得最小值 2.
15、 5已知双曲线 ： x2a2y2b2 1(a0， b0)经过点 P(2,1)，且其中一焦点 F 到一条渐近线的距离为 1. (1)求双曲线 的方程； (2)过点 P 作两条相互垂直的直线 PA， PB 分别交双曲线 于 A， B 两点，求点 P 到直线AB 距离的最大值 解 (1) 双曲线 x2a2y2b2 1 过点 (2,1)， 4a21b2 1. 不妨设 F 为右焦 点，则 F(c,0)到渐近线 bx ay 0 的距离 d |bc|a2 b2 b， b 1， a2 2， 所求双曲线的方程为 x22 y2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y kx m.将 y kx m 代入 x2 2y2 2中， 整理得 (2k2 1)x2 4kmx 2m2 2 0. x1 x2 4km2k2 1， x1x2 2m2 22k2 1. PA PB 0， (x1 2， y1 1)( x2 2， y2 1) 0， (x1 2)(x2 2) (kx1 m 1)(kx2 m 1) 0， (k2 1)x1x2 (km k 2)(x1 x2) m2 2m 5 0. 将 代入 ，得 m2 8km 12k2
