1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 抛物线 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线 其数学表达式： |MF| d(其中 d 为点 M 到准线的距离 ) 考点 2 抛物线的标准方程与几何性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2 2px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则： (1)x1x2 p24， y1y2 p2. (2)弦长
2、 |AB| x1 x2 p 2psin2 ( 为弦 AB 的倾斜角 ) (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切 ( ) (3)方程 y ax2(a0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物 线，且其焦点坐标是 ? ?a4， 0 ，准线方程是 x a4.( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (5)AB 为抛物线
3、y2 2px(p0)的过焦点 F? ?p2， 0 的弦，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x2 p24， y1y2 p2，弦长 |AB| x1 x2 p.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 江西八校联考 已知抛物线 y ax2(a0)的焦点到准线的距离为 2，则 a( ) A 4 B 2 C.14 D.12 答案 C 解析 化为标准方程 x2 1ay，据题意 1a 22 ， a 14. 3 课本改编 设抛物线 y2 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B
4、解析 抛物 线准线方程 x 2， 点 P 到准线的距离为 6， P 到焦点的距离也为 6，选 B. 4 课本改编 已知抛物线 C 与双曲线 x2 y2 1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是 ( ) A y2 2 2x B y2 2 x C y2 4 x D y2 4 2x =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 由已知知双曲线的焦点为 ( 2， 0)， ( 2， 0)设抛物线方程为 y2 2 px(p0)，则 p2 2，所以 p 2 2，所以抛物线方程为 y2 4 2x.故选 D. 5已知 AB 是抛物线 y2 2x 的一条焦点弦， |AB| 4，则 AB 中点 C
5、 的横坐标是 ( ) A 2 B.12 C.32 D.52 答案 C 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB| x1 x2 p 4，又 p 1， x1 x2 3， 点 C的横坐标是 x1 x22 32.故选 C. 6 2018 唐山模拟 若抛物线 x2 ay 过 点 A? ?1， 14 ，则点 A 到此抛物线的焦点的距离为 _ 答案 54 解析 由题意可知，点 A 在抛物线 x2 ay 上，所以 1 14a，解得 a 4，得 x2 4y.由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距离等于点 A 到准线的距离，所以点 A 到抛物线的焦点的距离为 yA 1 14 1 54. 板块二
6、 典例探究 考向突破 考向 抛物线的方程及几何性质 例 1 (1)2016 全国卷 设 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，曲线 y kx(k0)与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 答案 D 解析 易知抛物线的焦点为 F(1,0)，设 P(xP， yP)，由 PF x 轴，可得 xP 1，代入抛物线方程，得 yP 2( 2 舍去 )，把 P(1,2)代入曲线 y kx(k0)，得 k 2. (2)已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)(x10)，过其焦点且斜率为 1
7、 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为 ( ) A x 1 B x 2 C x 1 D x 2 答案 C 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y ? ?x p2 ，与抛物线方程联立得? y?x p2 ，y2 2px，消去 y 整理得： x2 3px p24 0，可得 x1 x2 3p.根据中点坐标公式，有 3p2 3， p 2，因此抛物线的准线方程为 x 1. (2)过抛物线 C： y2 4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，则 |AB|
8、_. 答案 163 解析 设 A(xA， yA)， B(xB， yB)， y2 4x， 抛物线的准线为 x 1， F(1,0)， 又 A 到抛物线准线的距离为 4， xA 1 4， xA 3， xAxB p24 1， xB13， =【 ;精品教育资源文库 】 = |AB| xA xB p 3 13 2 163. 考向 抛物线定义及应用 命题角度 1 到焦点与到定点距离之和最小问题 例 2 2018 赣州模拟 若点 A 的坐标为 (3,2)， F 是抛物线 y2 2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使 |MF| |MA|取得最小值的 M 的坐标为 ( ) A (0,0) B.? ?12， 1
9、 C (1， 2) D (2,2) 答案 D 解析 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则 |MF| |MA| |MN| |MA|，当 A， M， N 三点共线时， |MF| |MA|取得最小值，此时 M(2,2) 命题角度 2 到点与准线的距离之和最小问题 例 3 2018 邢台模拟 已知 M 是抛物线 x2 4y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆 C： (x 1)2 (y 5)2 1 上，则 |MA| |MF|的最小值是 _ 答案 5 解析 依题意，由点 M 向抛物线 x2 4y 的准线 l： y 1 引垂线，垂足为 M1，则有 |MA| |MF| |MA| |MM1|，结合图形可知
10、|MA| |MM1|的最小值等于圆心 C( 1,5)到 y 1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6 1 5，因此 |MA| |MF|的最小值是 5. 命题角度 3 到定直线的距离最小问题 例 4 已知直线 l1： 4x 3y 6 0 和直线 l2： x 1，抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的 距离之和的最小值是 ( ) A.3 55 B 2 C.115 D 3 答案 B 解析 由题可知 l2： x 1 是抛物线 y2 4x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2的距离等于 |PF|，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦
11、点 F 到直线 l1： 4x 3y 6 0 的距离，所以最小值是 |4 0 6|5 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 命题角度 4 焦点弦中距离之和最小问题 例 5 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点，且 |AF| |BF| 3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( ) A.34 B 1 C.54 D.74 答案 C 解析 如图所示，设抛物线的准线为 l， AB 的中点为 M，作 AA1 l 于 A1， BB1 l 于 B1，MM1 l 于 M1，由抛物线的定义知 p 12， |AA1| |BB1| |AF| |BF| 3， 则点 M 到 y 轴的
12、距离为 |MM1| p2 12(|AA1| |BB1|) 14 54. 触类旁通 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出 “ 两点之间线段最短 ” ，使问题得解 (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用 “ 与直线上所有点的连线中垂线段最短 ” 原理解决 =【 ;精品教育资源文库 】 = =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 抛物线在实际生活中的应用 例 6 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸 (单位： m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，
13、此车能否通过隧道？说明理由 解 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为 A， B，则 A( 3， 3)，B(3， 3) 设抛物线方程为 x2 2py(p0)， 将 B 点坐标代入得 9 2p( 3)，所以 p 32. 所以抛物线方程为 x2 3y( 3 y0) 因为车与箱共高 4.5 m， 所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶 0.5 m. 设抛物线上点 D 的坐标为 (x0， 0.5)，则 x20 32， 所以 |x0| 32 62 ，所以 2|x0| 60， 即 m 1 时， x1,2 22 m 1. 从而 |AB| 2|x1 x2| 4 2?m 1?. 由题设知 |AB| 2|
14、MN|，即 4 2?m 1? 2(m 1)，解得 m 7. 所以直线 AB 的方程为 y x 7. 触类旁通 求解抛物线综合问题的方法 (1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用 方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意 “ 设而不求 ”“ 整体代入 ”“ 点差法 ” 以及定义的灵活应用 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 |AB| x1 x2 p(焦点在 x 轴正半轴 )，若不过焦点，则必须用弦长公式 【变式训练 2】 2016 江苏高考 如图，在平面直角坐标系 xOy 中
15、，已知直线 l： x y 2 0，抛物线 C： y2 2px(p0) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称 的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 的中点坐标为 (2 p， p)； 求 p 的取值范围 解 (1)抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 ? ?p2， 0 ，由点 ? ?p2， 0 在直线 l： x y 2 0 上，得 p2 0 2 0，即 p 4，所以抛物线 C 的方程为 y2 8x. (2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0)因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直线 PQ 的斜率为 1， 则可设其方程为 y x b. 证明：由? y2 2px，y x
