1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:3814-1 概述概述14-2 结构的振动自由度结构的振动自由度 14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 14-6 多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动 第十四章第十四章 结构动力学结构动力学结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:3814-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-8 振型分解法振型分解法14-
2、9 无限自由度结构的振动无限自由度结构的振动14-10 计算频率的近似方法计算频率的近似方法 结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 静力荷载：静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。称为静力计算。 注意：注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影
3、响。性质来看，要看其对结构产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务一、结构动力计算的特点和任务1. 动力荷载与静力荷载的区别：动力荷载与静力荷载的区别： 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。称为动力计算。 动力荷载（干扰力）：动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载随时间迅速变化的荷载 14-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38结构动力计算的特点：结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将
4、产生振动，其位移和内力都在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。度，必须考虑惯性力的作用。 结构静力计算的特点：结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。规律，与时间无关。2. 结构动力计算的特点结构动力计算的特点3. 结构动力计算可分为两大类：结构动力计算可分为两大类：自由振动：自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外结构受到外部因素干扰发生振
5、动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。部干扰力作用。强迫振动：强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。振动。 4. 结构动力计算的任务：结构动力计算的任务：(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性分析计算自由振动，得到的结
6、构的动力特性( (自振频率、振型和阻尼参数自振频率、振型和阻尼参数) )；14-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 周期荷载周期荷载 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载简谐荷载( (按弦或余弦函数规律变化按弦或余弦函数规律变化) )。二、动力荷载的分类二、动力荷载的分类 toF (t)F 简谐荷载简谐荷载rml/Ft2l/21. 周期荷载周期荷载非简谐性周期荷载非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。 o周期撞击荷载F(t)t14-1 概述概述结构力学中南大学中南大
7、学返 回退 出2:38在很短的时间内，荷载值急剧减小在很短的时间内，荷载值急剧减小( (或增加或增加) )，如爆炸时所产生的荷载。，如爆炸时所产生的荷载。oF(t)F oF F(t)rttttr2. 冲击荷载冲击荷载 3. 突加常量荷载突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。物时所产生的荷载。oF(t)F t上述荷载是时间的确定函数，称之为上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。确定性动力荷载。 14-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 随机荷载（非确
8、定性荷载）随机荷载（非确定性荷载）荷载的变化极不规则，在任荷载的变化极不规则，在任时刻的时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。toF(t)随机荷载（非确定性荷载）随机荷载（非确定性荷载）4. 随机荷载随机荷载14-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38结构振动的自由度结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目参数的数目单自由度结构单自由度结构多自由度结构（自由度大于多自由度结构（自由度大于1的结构）的结构）(a)(b)(c)3 ( )y t
9、( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。就可确定。t( )ymml( )y tm由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确定绝对刚性杆件上三个质点确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角的位置只需杆件转角
10、(t)便可，便可，故为单自由度结构。故为单自由度结构。aEI=m3am2m1aaaaEI=14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 虽然只有一个集中质点，但其位置需虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移由水平位移x和竖向位移和竖向位移y两个独立参数两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于才能确定，因此振动自由度等于2，为，为多自由度体系。多自由度体系。 三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由转动而只能作水平移动，故振动自由度
11、等于度等于3，多自由度体系。，多自由度体系。(a)(b)(c)3 ( )y t ( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)xy14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法刚性链杆法来确定结构的来确定结构的振动自由度。振动自由度。刚性链杆法：刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所在结构上施加最少数
12、量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置，有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆即能具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为使各质量固定不动其振动自由度为3。 注意：注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度
13、数目。动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算有限多自由度的问题进行计算集中质量法：集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量( (实际上是质实际上是质点点) )，把原来
14、是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。 简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。论集中质量法。 水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以以x(t)为位移参数的单自由度结构。为位移参数的单自由度结构。xm14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系无限
15、自由度体系。 例：用集中质量法将连续分例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自布质量的简支梁简化为有限自由度体系。由度体系。将梁二等分，集中成三个集将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。中质量，单自由度体系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)dd2l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )/2ml/4ml/4mllmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )ml/4ml/2 将梁将梁三等分三等分，质量集中成四个，质
16、量集中成四个集中质量的集中质量的两个自由度两个自由度体系体系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/2ml/3ml/ml/6l/l/( )ml/4ml/23633314-2 结构振动的自由度结构振动的自由度结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38自由振动：自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。产生自由振动的原因：产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移）结构具有初始位移 （2
17、）结构具有初始速度）结构具有初始速度 （3）上述二者同时存在）上述二者同时存在1. 1. 不考虑阻尼时的自由振动不考虑阻尼时的自由振动 对于各种单自由度体系的振动状态对于各种单自由度体系的振动状态, ,都可以用一个简单的都可以用一个简单的质点弹簧模型质点弹簧模型来描来描述。述。 静平衡位置yxmWF t S( )F t I( )dy11kmstm静平衡位置dyWF t S( )F t I( )dy11kmstm静平衡位置dy梁在梁在质点重量质点重量W作用下的挠曲线称为作用下的挠曲线称为“静平衡位置静平衡位置”。WF t S( )F t I( )dy11kmstm静平衡位置dy14-3 单自由度
18、结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移计算位移的原点，并规定位移y和质点所受的和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为加的力为k11，称为弹簧的，称为弹簧的刚度刚度；单位力作用下；单位力作用下弹簧产生的位移为弹簧产生的位移为11 ，称为弹簧的称为弹簧的柔度柔度，k11与与11二者之间满足：二者之间满足：11111kWF t S( )F t I( )dy11kmstm静平衡位置dy无重悬臂梁
19、、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数k11各各等于多少？等于多少？思考：思考：简支梁：简支梁：31148lEIk悬臂梁悬臂梁 ：答：答：3113lEIk14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其振振动微分方程动微分方程，然后求解。然后求解。振动微分方程的建立方法：振动微分方程的建立方法：（1）刚度法。）刚度法。即列动力平衡方程。设质点即列动力平衡
20、方程。设质点m在振动的任一时刻位移为在振动的任一时刻位移为y，取质点，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上上 的力有：的力有：(a) 弹簧恢复力弹簧恢复力11k y cF该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。的方向相反，即永远指向静力平衡位置。(b) 惯性力惯性力my 1F负号表示其方向恒与加速度负号表示其方向恒与加速度 的方向相反的方向相反22d yydt对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的
21、重量对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量mg向平衡而抵消，故向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考虑。振动过程中这两个力都毋须考虑。14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38m( )1F t ( )cF t dy11kmstm静平衡位置dyy质点在惯性力质点在惯性力F1和恢复力和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：作用下维持平衡，则有：10cFF110myk y或或110myk y将将F1和和Fc的表达式代入的表达式代入令令211km（14-1）有有20yy（14-2）单自由度结构自由振动微分方程单自由度结构自由振动微分方程
22、14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38（2）柔度法。）柔度法。即列位移方程。当质点即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：应当为：1 1111yFmy 即即110myk y同刚度法所得方程同刚度法所得方程此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为： 12cossiny tAtAt(a)(a) 12sincosy tAtAt (b)(b)由初始条件由初始条件
23、t=0t=0时，有时，有0yy0yy02vA10Ay可得到可得到有有00cossinyyytt(14-3)(14-3)14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38可见可见: :单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。 令令 , 0cosva0sinya有有 sin()yat（14-4） 2200100tanvayyv（14-6） 其中其中cos()yat（14-5） ()( )y tTy t位移满足周期运动的下列条件：位移满足周期运动的下列条件： a表示质量表示质量m 的最大动位移，称的最大动位移，称
24、为振幅。其由为振幅。其由常数常数 、初始条件、初始条件 y0 和和 v0 决定的决定的。是初始位置的相位是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常角，称为初相角。它也取决于常数数 、初始条件、初始条件 y0 和和 v0 。 T 称为结构的自振周期，其常用称为结构的自振周期，其常用的单位为秒的单位为秒(s)。自振周期的倒数代自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为表每秒钟内的振动次数，称为工程工程频率，频率，记作记作f，其单位为其单位为1秒秒(s-1)，或称为或称为赫兹赫兹(Hz)。2T( (14-7) )12fT14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学
25、返 回退 出2:38表示表示2秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志。 的单位为的单位为弧度秒弧度秒(rads)，亦常简写为亦常简写为1s (s-1)。从圆周运动的角度来看，。从圆周运动的角度来看，称它为称它为圆频率圆频率，一般称一般称为为自振频率自振频率。22fT 根据式根据式(14-1)，可给出结构自振频率，可给出结构自振频率的计算公式如下：的计算公式如下：111111st1kggmmWst1122mTkg相应地，结构的自振周期相应地，结构的自振周期T T的计算公式为：的计算公式为：式中式中g表示重力加速度，表示重力加速度，st 表
26、示由于重量表示由于重量mg所产生的静力位移。所产生的静力位移。 结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。（14-8） 14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。例例14-1 图示为三种不同支承情况的单跨梁，图示为三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，在梁中点有一集中质常数，在梁中点有一集中质
27、量量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。1348 E Im l31st48mglEI237867EIml32st7768mglEI33192EIml33st192mglEI据此可得据此可得 123:1 :1.51 : 2随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。ll 2 2ll 2 2mm 2ll 2m111111st1kggmmW14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:382. 2. 考虑阻尼时的自由振动考虑阻尼时的自由振动物体的自由振动由
28、于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。 阻力可分为两种：一种是外部介质的阻力；另一种来源于物体内部的阻力可分为两种：一种是外部介质的阻力；另一种来源于物体内部的作用。这些统称为阻尼力。通常引用福格第假定，即近似认为振动中物体作用。这些统称为阻尼力。通常引用福格第假定，即近似认为振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：RFy 其中：其中：为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反考虑阻尼时，质点考虑阻尼时
29、，质点m的动力平衡方程为的动力平衡方程为F t R( )m( )1F t ( )cF t dy11kmstm静平衡位置dyy10RcFFF即：即：110myyk y令令211km2km有有220ykyy ( (14-9) ) 14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为( )r ty tCe2220rkr 解得解得 221,2rkk 其特征方程为：其特征方程为：根据阻尼大小不同，现分以下根据阻尼大小不同，现分以下3种情况讨论：种情况讨论：(1) k
30、，即大阻尼情况即大阻尼情况，此时，此时r1和和r2为两个负实数，为两个负实数，式式 (14-9)通通 解为：解为： y(t)不是一个周期函数不是一个周期函数, , 即在大阻尼情况下不会发生振动。即在大阻尼情况下不会发生振动。（14-13） 222212( )(coshsinh)kty teCktCkt12( )()kty teCC t（14-14） (3) k=，即临界阻尼情况即临界阻尼情况 此时此时r1,2=-k ，方程，方程(14-9)的解为的解为00yy= vtanot00y-t 曲线曲线 以上两种情况均不属振动，位移以上两种情况均不属振动，位移时程曲线（时程曲线（y-t 曲线曲线）表示
31、体系从初始表示体系从初始位移出发，逐渐返回到静平衡位置而位移出发，逐渐返回到静平衡位置而无振动发生。无振动发生。 y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数尼系数2crm14-3 单自由度结构的自由振动单自由度结构的自由振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38强迫振动：强迫振动：结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。( )F t F t R( )m( )1F t ( )cF t dy11kmstm静平衡位置dyym( )1F t ( )cF t
32、dy11kmstm静平衡位置dyy设质点设质点m受干扰力受干扰力F（t）作用，则质点）作用，则质点m的动力平衡方程为：的动力平衡方程为：1( )0RcFFFF t即：即：11( )myyk yF t或或212( )yyyF tm ( (14-18) ) 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解的特解212( )yyyF tm ( (14-18) ) 通解通解012(cossin)tyeBtBt
33、 特解特解 随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：力等，表达为：y( )sinF tFt(14-19) 其中其中 为干扰力的频率，为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：写为：22sinFyyytm ( (14-20) ) 设方程的特解为：设方程的特解为：12sincosyCtCt（b）（a）14-4 单自由度结构在简谐
34、荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38式式(b) 代入式代入式(14 -20)，得到，得到2212222222222222()()42()4FCmFCm 式式(a)+式式(b) ，并引入初始条件，得到，并引入初始条件，得到000222222222222222222cossin2() 2cossin()4 ()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm (14-21)由初始条件决定的自由初始条件决定的自由振动由振动伴生自由振动伴生自由振动按干扰力频率按干扰力频率振动的纯强迫振动或稳态强迫振动振动的纯强迫振动或稳态强迫振
35、动由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:381. 1. 不考虑阻尼的纯强迫振动不考虑阻尼的纯强迫振动22 sin()Fytm 0(14-22)因此，最大动力位移（振幅）
36、为因此，最大动力位移（振幅）为2222211221 ()11 =1stFFAmmFy(14-23)11 styF其中其中:代表将干扰力最大值代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上作为静载作用于结构上时引起的静力位移时引起的静力位移221 1stAy位移动力系数位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比，代表最大动力位移与静力位移之比当当时，时，值为负，表示动力位移与动力荷载的指向值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反相反, 这种现象仅在不计阻尼时出现。这种现象仅在不计阻尼时出现。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学
37、返 回退 出2:38o31240.511.523 动力反应谱（动力放大系数动力反应谱（动力放大系数随频比随频比/变化的关系曲线）变化的关系曲线）动力放大系数动力放大系数的大小反映了结构动力反的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。与内力动力系数是完全一样的。041. 1242525111当当 ，51 通常通常, ,当动力荷载当动力荷载(即干扰力即干扰力)的的周期周期大于结构自振周期的大于结构自振周期的五、六倍五、六倍以上以上时，可将其时，可将其视为静
38、力荷载视为静力荷载。 (1) 当当时，即时，即/0，这时，这时1。这种情况相当于静力作用。这种情况相当于静力作用。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38321.510.54321o 动力反应谱动力反应谱 (2) 当当时，即时，即/1，这时，这时。即振幅趋于无限大。即振幅趋于无限大,这种现象称为这种现象称为共振。共振。2) 实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。 t0y1) 共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。共振现象的形成有一个过程，振幅是由
39、小逐渐变大的。 注意注意: :3) 应避开应避开0.75/ 时，即时，即/1，这时，这时值为负值为负值值, ,并且趋近于零。并且趋近于零。 这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止 状态。状态。 工程设计中，要求的是振幅绝对值工程设计中，要求的是振幅绝对值, ,动力反应谱中动力反应谱中/1 1 部部分的分的画在横坐标的上方。画在横坐标的上方。注意注意: :14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用
40、线与质体的振在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力建立动力微分方程的微分方程的方法计算。方法计算。见书见书P89P89图图14-1514-15 tFsin
41、m14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38解：在发电机重量作用下，梁中解：在发电机重量作用下，梁中 点的最大静力位移为：点的最大静力位移为：3st113925434835 10448 210 10/8.8 102.53 10 mGlGEINmN mm33st9.81/62.3rad/s2.53 10gm sm故自振频率为故自振频率为例例14-2 简支梁中点装有一台电动机，电动机重量简支梁中点装有一台电动机，电动机重量G=35kN。已知梁的惯性矩。已知梁的惯性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa
42、。发电机转动时离心力的垂直分力为。发电机转动时离心力的垂直分力为F=sint， 且且F=10KN。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为n=500r/min时，时，梁的最大弯矩和挠度。梁的最大弯矩和挠度。rml/Ft2l/22250052.3rad/s6060n干扰力频率干扰力频率:22113.452.31162.3动力系数动力系数:梁中点的最大弯矩为梁中点的最大弯矩为max69GFstMMMKN m梁中点的最大挠度为梁中点的最大挠度为max4.98GFstyyymm14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大
43、学中南大学返 回退 出2:38stxmy静平衡位置 质体的动位移质体的动位移 y(t) 是以静力平衡位置为零是以静力平衡位置为零点来计算的，因此点来计算的，因此 y(t) 中不包括质体的重力影中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（这部分（st=11G）的影响。）的影响。注意：注意：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38运用运用图乘法图乘法可求得可求得EIl48311EIl322EIl1622112 (a) (1) 设惯性力和动力荷载分
44、别为单位力和设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图. 例例14-3 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m，支座，支座A 处受动力矩处受动力矩Msint 的作用，的作用， 不计梁的质量，试求质点的动位移和支座不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A 处的动转角的幅值。处的动转角的幅值。 解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。由建立体系的振动方程来求解。ml/MEIAB1411MMABABl/2l/212ml/MEIAB1411MMABAB
45、l/2l/21214-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38tMymtMtFtysin)( sin)()(121112I11 lMMF311123248mlEI式中式中 代代ij入上式，经整理后得入上式，经整理后得tmFyysin2 (b)解式解式(b)得稳态解为得稳态解为tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)(2) 根据根据叠加原理叠加原理列出动位移列出动位移 质点的动位移是惯性力质点的动位移是惯性力FI(t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示
46、为加原理可表示为14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38这说明质体动位移尚可应用放大系数计算这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。 质点的动位移幅值为质点的动位移幅值为 ，其中，其中 为动荷载幅为动荷载幅值值M所引起的质点静位移所引起的质点静位移yst，动力系数。动力系数。EIMl162EIMl162 支座支座A处的动转角也是由惯性力处的动转角也是由惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为的，按叠加原理可表示为tMtymtMtFtAsin)(sin)()(22
47、2122I21 由稳态解式由稳态解式(c)可知可知14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222对式对式(c)求导两次后代入上式，可得求导两次后代入上式，可得tMFtAsin)()(222221将式将式(a)和和F *=3M/l代入上式代入上式, 得得tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南
48、大学中南大学返 回退 出2:38 可见可见, 质点位移的动力系数质点位移的动力系数和支座处动转角的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的。是不同的。tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222)(1)(1671(22 支座支座A处的动转角幅值为处的动转角幅值为 , 为动荷载幅值为动荷载幅值M所引起的静转角，所引起的静转角，为该动力系数。为该动力系数。EIMl3EIMl3其中其中2211而而 动荷载不作用在质量上动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。一的动力系数来表示。14-4 单自由度结
49、构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:3822222222()sin2cos()4Fyttm 由式由式(14-21)的第三项，有：的第三项，有：命命222222122142FAmtg （14-27）（14-28）令令 和和 ，则振幅，则振幅A可写为可写为22222114stFAym （14-29） st2Fym2. 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:38 动力系数动力系数不仅与频不仅与频比比有关，而且还与
50、阻尼有关，而且还与阻尼比比 有关。有关。 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图222222114 在在0.75时，则时，则很小，表明质量很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动接近于不动或只作极微小的振动。 (1) 阻尼对简谐荷载的动力系数阻尼对简谐荷载的动力系数影响较大影响较大简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动结构力学中南大学中南大学返 回退 出2:3812(2
