1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法（一）立体几何中的向量方法（一）思考思考1：如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在空间的位置？答：空间中任意一个答：空间中任意一个P的位置可以用向量的位置可以用向量OP来表示。来表示。 向量向量OP称为点称为点P的的位置向量位置向量。思考思考2：在空间中给一个定点在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？能确定一条直线在空间的位置吗？答：空间中任意一条直线答：空间中任意一条直线l的位置可以由的位置可以由l上上 一个定点一个定点A以及一个定方向（向量）确定。以及一个定方向（向量）确定。思考思考3：给一个
2、定点和两个定方向（向量），能确定给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？一个平面在空间的位置吗？答：空间中平面的位置可以由平面内两条相答：空间中平面的位置可以由平面内两条相 交直线来确定。交直线来确定。ala思考思考4：给一个定点和一个定方向（向量），能确定一给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？给定一个点给定一个点A和一个和一个向量向量a,过点过点A，以向，以向量量a为法向量的平为法向量的平面是完全确定的。面是完全确定的。方法指导：方法指导：怎样求平面法向量？怎样求平面法向量？一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而
3、就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,则则线线平行：线线平行：lm a b a=kb;线面平行：线面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u v u=kv.线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.线面垂直：线面垂直：l a u a=ku;二、讲授新课二、讲授新课1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间）建立立体图形
4、与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形问题）（回到图形问题） 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点以顶
5、点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到
6、图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ （2 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗? ?a aA1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:分析分析:a a 1111 DAABAA
7、BADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则则由由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222a axxa 即即axa acos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模. 11HACH
8、AA于于点点平平面面点点作作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。 36练习: 如图如图2 2，空间四边形，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BOBO的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，
9、BCBC的中点，连结的中点，连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。 OABCDE图图2 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如图，如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法
10、则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCDa a 图图3所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面
11、上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 , AB, AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd思考：思考： （1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出，而AB未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？ ABCDa a 图图322)( DBCDACAB 由由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分
12、析：分析： cos2222abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？值吗？ 分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线长为长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCDAd， cba 21212)( CCACABCAd 则则 cos)(2222acbcabbca )(2cos
13、 2222acbcabcbad （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？两个夹角的余弦值吗？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作 A1EAB 于点于点 E，EF在平面在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F。 cos sin 1aBFAEaCFEA ，则则 CFEAFCEA
14、 cos coscos 11，a a|11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：练习： （1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两两点，直线点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求求CDCD的长。的长。 B图图4ACDa （
15、2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为中，底面是边长为2的正三的正三角形，角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱 上的动点，且上的动点，且 。 （1）求证：）求证： ； （2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。aCBAOOABC FE、BCAB、BFAE ECFA BEFB BEFB OCBAOAB CEF图图6小结：小结：用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。作业：作业： 课本课本P121 第第 2、6 题题面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形
