1、鹿邑三高鹿邑三高 史琳史琳3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式（2 2）性质性质1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb. 性质性质1表明，把不等式的左边和右边交表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的们把这种性质称为不等式的对称性对称性。性质性质2：如果如果ab，bc，那么，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得证明：根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc (ab)+(bc)0 ac0 ac. 这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为cb，ba，则，则cb，则，则a+cb+
2、c.证明：因为证明：因为ab，所以，所以ab0，因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，即即 a+cb+c. 性质性质3表明，不等式的表明，不等式的两边都加上同一两边都加上同一个实数个实数，所得的不等式与原不等式同向，所得的不等式与原不等式同向. a+bc a+b+(b)c+(b) acb.由性质由性质3可以得出可以得出推论推论1：不等式中的任意一项都可以把它不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。一边移到另一边。 （移项法则移项法则）推论推论2：如果如果ab，cd，则，则a+cb+d.证明：因为证明：因为ab，
3、所以，所以a+cb+c，又因为又因为cd，所以，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 a+cb+d. 几个几个同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相加相加，所，所得的不等式与原不等式得的不等式与原不等式同向同向。推论推论1：如果如果ab0，cd0，则，则acbd.性质性质4：如果如果ab，c0，则，则acbc；如果；如果ab，c0，则，则acb，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。 几个两边都是正数的几个两边都是正数的同向不等式同向不等式的两边的两边分别分别相乘相乘，所得的不等式与原
4、不等式，所得的不等式与原不等式同向同向。推论推论2：如果如果ab0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 000ababnab 个，个，根据性质根据性质4的推论的推论1，得，得anbn.推论推论3：如果如果ab0，则，则，(nN+，n1).nnab证明：用反证法，假定证明：用反证法，假定 ，即，即 或或 ， nnabnnabnnab 根据性质根据性质4的推论的推论2和根式性质，得和根式性质，得ab矛盾，因此矛盾，因此nnab 注注: :一定要在理解的基础上一定要在理解的基础上, ,记准、记熟不等式的这些记准、记熟不等式的这些基本性质基本性质 , ,这是我们对不等式进行变形的基
5、础这是我们对不等式进行变形的基础. .例例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知）已知ab，ab0，求证：，求证： ；11ab证明：证明： （1）因为）因为ab0，所以，所以10ab又因为又因为ab，所以，所以 11ababab即即 11ba因此因此 11ab（2）已知）已知ab， cbd；证明：（证明：（2）因为）因为ab，cb，cd， 根据性质根据性质3的推论的推论2，得，得a+(c)b+(d)，即，即acbd.（3）已知）已知ab0，0cd，求证：，求证：abcd证明：（证明：（3）因为）因为0cb0，所以，所以 11abcd即即 abcd例例
6、2. 已知已知ab，不等式，不等式:（1）a2b2；（2） ；（；（3）成立的个数是（成立的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）311ab11abaA例例3设设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则，则A，B的大小关系是的大小关系是 。 AB （2）若若3ab1，2c1，求求(ab)c2的取值范围。的取值范围。 因为因为4ab0，1c24， 所以所以16(ab)c20例例4（1）如果）如果30 x36，2y6，求，求x2y及及 的取值范围。的取值范围。 xy18x2y32， 518xy例例5若若 ，求，求的取值范围。的取值范围。22,22 ,0222224(1)1,1(2)5f
7、f )3(f例例6 6求求: :的取值范围的取值范围. .已知已知: :函数函数,)(2caxxf 解：因为解：因为f(x)=ax2c,所以所以(1)(2)4fa cfa c 解之得解之得1 (2)(1)314(2)(1)33affcff所以所以f(3)=9ac=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff 因为因为所以所以8840(2)333f5520(1)333f两式相加得两式相加得1f(3) 20.练习已知练习已知4ab1，14ab5，求，求9ab的取值范围。的取值范围。解：设解：设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，令令m+4n=9，(m+n)=1，解得，解得，58,33mn 所以所以9ab= (ab)+ (4ab)5383由由4ab1，得，得 5520()333ab由由14ab5，得，得 8840(4)333ab以上两式相加得以上两式相加得19ab20.
