1、时滞系统中的LMI 自动化学院 李晓萌 学号：1013203012主要内容 背景简介 模型建立 问题求解现实中许多系统的变化趋势不仅与当前状态有关，还取决与过去的状态，这种现象称为“时滞”。具有时滞的系统称为时滞系统。电力系统中含有很多时滞元件，如电感，电容等。传统电力系统的控制器往往只基于本地信号进行控制，量测和通信环节中的延时很小，对系统稳定性分析和控制效果的影响也较小，在研究中一般都忽略时滞环节的影响。随着现代大型互联电网的建立，电力系统的网络结构与动态行为更加复杂，传统的沿用局部信息的电力系统控制和保护设计方法将无法满足超大规模电力系统振荡抑制、系统保护和动态安全防御的要求。采用同步相
2、量测量和现代通信技术，建立广域测量系统。而广域测量信息中存在明显的延时，不能完全忽略，因此研究广域信号的时滞对电力系统稳定性的影响，具有十分重要的现实意义。时滞系统的系统方程是微分-代数方程组，其求解过程需要用到数值微分、积分等方法。 背景介绍标称系统的稳定性分析 频域方法时域方法 Lyapunov-Krasovskii泛函 时滞无关条件 时滞相关条件 ,0dttthttth xAxA xx时滞系统模型取Lyapunov-Krasovskii泛函为标称系统的稳定性分析 1,ttt hV t xttss ds xP xxQ x 1,dtdttVt xthth xxA PPAQPAxxA PQ0d
3、dA PPAQPAA PQ与时滞大小无关缺点稳定性判据为取Lyapunov-Krasovskii泛函为标称系统的稳定性分析 02,tttt hh tVt xttss dsss dsd xP xxQ xxR x离散Lyapunov函数方法模型变换方法参数化模型变化方法和时滞大小相关 2,tdtt hdtthVt xss dsthth xxA PPAQRPAxRxxxA PQ处理二次型积分项的方法有处理二次型积分项的方法有模型变换1 标称系统的稳定性分析 tdddt httss h ds xA A xAAxA x模型变换2 tddt hdts dstdt xAxA A x模型变换3 tddt ht
4、ts ds xA A xAx模型变换4 tddt htttts ds xyyA A xAy模型变换的目的：在系统方程中产生积分项，并且使导数中产生交叉项 常用的Lyapunov-Krasovskii泛函及其导数有标称系统的稳定性分析 012,tttt hh thth tV t xttss dsss dsdss dsd xP xxQ xxR xxR x1. 1212,tt htt hthVt xss dsss ds xRxxR x其中 12dthtthth xP A AQR RxxQ x 12tdt hts ds xPA Ax 22t hdthts ds xPA Ax交叉项12a ba Rab
5、R b2.标称系统的稳定性分析 0,tttt hh tV t xttss dsss dsd xP xxQ xxR x 3,ttt hVt xss ds xRx其中 2dttththhtt xP A AQ xxQ xxRx 2tdt hts ds xPA x 交叉项 1tddt hhttss ds xPA R A PxxRx对交叉项进行界定结论： 为获得时滞相关稳定性条件，在Lyapunov-Krasovskii泛函中引入双积分项，这样就不可避免地在泛函的导数中出现二次型积分项。 （1）为处理泛函导数中的二次型积分项，就要进行模型变换 （2）模型变化的目的是让泛函的导数中出现交叉项 （3）通过对
6、交叉项的界定可以抵消泛函导数中的二次型积分项，得到稳定性判据标称系统的稳定性分析 中立时滞系统中立时滞系统的稳定性分析 1,0,0ttttttttt xCxAxAxBux构造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函： 000tttttttVxttss dsss dsdss dsd d PQ Z xRx其中 ttttts ds xxx， sssxx 中立时滞系统的稳定性分析 02212tttttV xttttttttss dsttss dsd PQQZ Z xRxxRx其导数为：应用模型变换方法，引入自由权矩阵 20tt ttts ds Yxxx 020tttttts dss dsd N
7、xxx 20ttttt 1MxAxA xCx其中 ttttt xxxx1234MMMMM1234NNNNN1234YYYYY，把上式中的模型变化加到导数表达式中得到中立时滞系统的稳定性分析 0221222tttttttV xttttttttss dsttss dsd ttts dst PQQZ Z xRxxRxY xxxNx 02ttttts dss dsdttttt 1xxMxAxA xCx交叉项下面对交叉项进行界定，进而消去二次型积分项中立时滞系统的稳定性分析 1323331122222tttttttttttcct ts dsts dss dsts dsts dsttttss ds YxN
8、xxP xxP xxPxx Z Z 0021212ttttts dsdttss dsd NxNR N xRx基本不等式12a ba Rab R b(*)(*)将(*)和(*)代入到中立时滞系统的稳定性分析 tVx中，并整理得 112112tccVxtt ZNRN由Schur补定理得稳定性判据为22120012c NZR 另一种处理二次型积分项的方法，不采用自由权矩阵，而是利用积分不等式 中立时滞系统的稳定性分析 02212tttttV xttttttttss dsttss dsd PQQZ Z xRxxRx 因为如下积分不等式成立： 111222211ttttttss dss dss dsZZ
9、 11122222212ttttttss dsds dsds dsd Z Z 1ttttttss dss dss dsZZ 0002222ttttttttttss dsds dsds dsdts dsts ds xRxxRxxxRxx(*)(*)中立时滞系统的稳定性分析 所以有：中立时滞系统的稳定性分析 将(*)和(*)代入到tVx中，并整理得 tccVxttA S A其中 tttttts ds xxxx11121314222324333444，中立时滞系统的稳定性分析 由Schur补定理得稳定性判据为1112131422232413334440A SA SC S0S中立时滞系统的稳定性分析 00 ttss dsd d xRx t tts dsx总结： 通过构造一种新型的Lyapunov泛函，得到了新的时滞相关稳定性判据。这种新的泛函包括三重积分项 此三重积分项对于减小结果的保守性起到了至关重要的作用。此外，在增广向量 中包含一重积分项 ，此一重积分项对于减小结果的保守性也尤为重要。且，此一重积分项与三重积分项必须同时存在于Lyapunov泛函中，缺少其中任何一项而单独保留另外一项均对减小结果的保守性不起作用。谢谢！
