1、第四章第四章 弯弯 曲曲材 料 力 学第四章第四章 弯弯 曲曲4.1 弯曲内力弯曲内力4.2 弯曲应力弯曲应力 4.3 弯曲变形弯曲变形 一、一、 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例4.1 弯曲内力弯曲内力1 1、弯曲实例、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：FF火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：2 2、弯曲的概念：、弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯
2、曲变形的杆- - 梁梁。3 3、平面弯曲的概念、平面弯曲的概念：qPMARBN受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）弯曲中心）。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q平面弯曲平面弯曲二、二、 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2 2、
3、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）1 1、弯曲内力的确定（截面法）：、弯曲内力的确定（截面法）：例例已知：如图，已知：如图，F，a，l。 求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）0 , 0AXFXFAX =0 以后可省略不求以后可省略不求0 , 0FalFmBYA0F , 0BYAYFFYlalFlFaFAYBY)(F ,三、三、 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程ABFFAYFAXFBYmmx求内力求内力FsMMFs 弯
4、曲构件内力：弯曲构件内力：剪力，剪力，弯矩。弯矩。FAYACFBYFClalFFFAY)( s , 0Y. 0sAYFFxlalFxFMAY)( , 0Cm.0 xFMAY研究对象：研究对象：m - m 截面的左段：截面的左段：若研究对象取若研究对象取m - m 截面的右段：截面的右段： , 0Y. 0BYsFFF , 0Cm. 0)()(MxaFxlFBY,)(lalFFsxlalFM)( sFM以以C处处为旋转为旋转中心中心以以C处为旋转中心处为旋转中心ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs（1）. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩存在垂
5、直于截面的内力偶矩（弯矩）。（弯矩）。AFAYCFBYFC（2）. 剪力：剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。平行于截面的内力（剪力）。2、弯曲内力的正负号规定: 剪力剪力FsFs : 弯矩弯矩M M：Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()M(+)M(+)M()M()在保留段内任取一点，剪力对该点有顺时针方向的力矩为正。在保留段内任取一点，剪力对该点有顺时针方向的力矩为正。弯矩使保留段下凸为正。弯矩使保留段下凸为正。1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例 ：梁梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处
6、的内力。解解：（：（1）确定支座反力）确定支座反力RARB032 . 18 . 0, 0BARRY)(9 . 2),(5 . 1kNRkNRBA8 . 01AsRF(2) 1-1(2) 1-1截面左段右侧截面截面左段右侧截面：截面处为旋转中心065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0ABRM5 . 08 . 021ARM8 . 05 . 1)(7 . 0kN5 . 08 . 025 . 1)(6 . 2mkN 2-22-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：9 . 25 . 12 . 12sF)( 1 . 1kN75. 05 . 12 . 15 . 12BRM75. 05 . 12
7、. 15 . 19 . 2)(0 . 3mkNRA1sF1M8 . 02sF2MBRq3 3、剪力方程、弯矩方程、剪力方程、弯矩方程： 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。)(SSxFF 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力剪力图图和
8、和弯矩图弯矩图。LqAB,)(qxxFs,21)(2qxxM)0(lx )0(lx xsFx( (- -) )Mxql25 . 0 ql以以A处为旋转中心处为旋转中心:注意注意:关于弯矩符号确定问题关于弯矩符号确定问题:不必考虑顺时针还是逆时针不必考虑顺时针还是逆时针,将不同方向的弯矩分别写在等号两端即可将不同方向的弯矩分别写在等号两端即可.F(x)xFFFxFAYs)(解：求支反力)( )(LxFMxFxMAAY写出内力方程FL MFFAAY ; 根据方程画内力图例 列出梁内力方程并画出内力图。FAB)0(lx )0(lx FAYMALxxM(x)FL注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正
9、的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。以以X处截面为旋转中心处截面为旋转中心例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图2max,SqlF82maxqlM 222qxq
10、lxxM qxqlxF2SBlAq* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称* 剪力为零的截面弯矩有极值。例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段 lxalFaFxFBS axlFbxF0S lxaxllFaxlFxMB)( axxlFbxM0FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图
11、xllFaxM)(2 lFbxFS1 xlFbxM1 lFaxFS2FS FblxFblMxFablBFBFAxlAF abCFS FblxFblMxFabl为极大值。为极大值。时，时，42/maxFlMlba* 在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAF abC例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBe 0AM0elFMAMe FA FBBlACab2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分
12、段：剪力方程无需分段： lxlMFxFA0eS弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段： xlMxFxMAe xllMMxFxMAeelxaax 0FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右侧FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、写出内力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC
13、D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY例 画出梁的内力图。画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY3、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:323333332222111
14、11xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系1 1、支反力：、支反力：2qlFFBYAYLqFAyFBy2 2、内力方程、内力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、讨论如下、讨论如下qxqldxxdM21)(qdxxdFs)(x),(xFs)(xqsFMARA对dx 段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxqdxxq(x)q(
15、x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFdds 剪力图上某点处的切线剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大斜率等于该点处荷载集度的大小。小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxMxxFxMxMsFs(x)+dFs (x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的
16、微分关系的微分关系二、微分关系的应用二、微分关系的应用-作作Fs 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x) = = 常数时常数时1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0时时 （无分布载荷）（无分布载荷）Fs 图：图：M图：图： CxFxqxxFs)(0ddsDCxxMCxFxxMs)()(d)(d CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM 剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线； 弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线。剪力图为一条剪力图为一条斜直线斜
17、直线； 弯矩图为一条弯矩图为一条二次曲线二次曲线。（1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时, 0q剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线。的二次曲线。 CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时Fs图：图：M图：图：M(x), 0q剪力图为剪力图为斜向下斜向下的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线。的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图： 利用微分
18、关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 212121)()()()()(dd1s2ssssxxxxQQdxxqFFdxxqxdFdxxqxdFxqxxF 212121)()()()()(dd12xxsxxsMMssdxxFMMdxxFxdMdxxFxdMxFxxM 梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包差等于两截面间载荷图所包围的面积围的面积 梁上任意两截面的弯矩
19、梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包差等于两截面间剪力图所包围的面积围的面积积分关系积分关系: :例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图、画内力图Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；, 0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFB
20、sMqa2(Fs 0, 所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)( 积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零2. 画画 FS 图图水平直线水平直线3. 画画 M 图
21、图直线直线23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/23Fa/2四、平面刚架和曲杆的内力图四、平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。1、刚架刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点刚性接头的特点： 约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩既可传力，也可传递力偶矩2、平面刚架内力图规定、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画
22、在各杆的受拉拉一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。 4、平面曲杆内力图规定：、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉拉的一侧。的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与平面刚架相同。内力分析内力分析1. 外力分析
23、外力分析 0 , 0 , 0 yAxFMF /2 ,qaFFqaFAyCyAx 2. 建立内力方程建立内力方程BC 段：段： ,2S1qaF AB 段：段： ,2S2qxF 2N2qaF 112xqaM 22222xqaqaM 3. 画内力图画内力图2S2S1 ,2qxFqaF 2 , 0N2N1qaFF 2221122 ,2xqaqaMxqaM 弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续图图M22qa曲杆未受力时，轴线即为曲线的杆件未受力时，轴线即为曲线的杆件曲杆内力曲杆内力 sinSFF cosNFF )cos(1 FRMM使杆微段
24、愈弯的弯矩为正使杆微段愈弯的弯矩为正FS，FN正负符号规定同前正负符号规定同前 三内力分量三内力分量 符号规定符号规定与弯矩相对应的与弯矩相对应的点，画在横截面点，画在横截面弯曲时受拉一侧弯曲时受拉一侧 画弯矩图画弯矩图OFRAB图图M图图M轴线轴线5-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参
25、数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。例按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x +M2x例例 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x0.5F0.5F0.5F+FF0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFL例例 绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFa
