1、Chapter 2 System Modeling第二章第二章 系统建模系统建模2.1 Traditional scientific methods and modeling2.1 Traditional scientific methods and modeling ( (传统的科学方法与建模传统的科学方法与建模) )1.Obtained experimental evidence through the observation of a phenomenon2.Presents a theoretical assumption of this phenomenon (induction);
2、3.Using a new experiment to verify this hypothesis4.If the experiment fails, return to the second step;5.If successful, it may be obtain Nobel Price.6.Using this theory describe the same phenomenon with (deduction).Ex.1 Pythagorean theorem and mathematical modeling Ex.1 Pythagorean theorem and mathe
3、matical modeling ( (勾股定理与数学建模勾股定理与数学建模) )n在我国古代，人们就知道直角三角形三个在我国古代，人们就知道直角三角形三个边长之间存在边长之间存在“勾三股四弦五勾三股四弦五”的关系，的关系，称为称为“勾股定理勾股定理”。当时西方还远没有涉。当时西方还远没有涉及这一问题。及这一问题。n但是我国的古代学者没有把这一现象上升但是我国的古代学者没有把这一现象上升为一种理论，即为一种理论，即“数学模型数学模型”；而西方科；而西方科学家后来对此做出了贡献。学家后来对此做出了贡献。弦弦=5勾勾=3股股=475？xyzF(x,y,z)=?Induction(归纳归纳)Dedu
4、ction(推演推演)znynxnzyxzyx,22, 211, 1222zyxComposition and decomposition of the force 力的合成与分解力的合成与分解2221FFFEx.2 The discovery of electromagnetic waves and the Ex.2 The discovery of electromagnetic waves and the mathematical model(mathematical model(电磁波的发现与数学模型电磁波的发现与数学模型) )1 In 19 century, Faraday (179
5、1-1867) discovered 1 In 19 century, Faraday (1791-1867) discovered electromagnetic induction;electromagnetic induction;1919世纪，法拉第发现世纪，法拉第发现“电磁感应定律电磁感应定律”；2 Maxwell (1831-1879) On the basis of induction, 2 Maxwell (1831-1879) On the basis of induction, deduced and established Maxwells equations;deduc
6、ed and established Maxwells equations; 麦克斯韦在此基础上归纳、推演建立了麦克斯韦在此基础上归纳、推演建立了“麦克斯韦方程麦克斯韦方程组组”; ;3 And then electromagnetic waves, light waves were 3 And then electromagnetic waves, light waves were obtained;obtained; 继续推演得到了电磁波、光波继续推演得到了电磁波、光波4 phones, wireless communication was invented4 phones, wirele
7、ss communication was invented 电话、无线通讯等成果。电话、无线通讯等成果。 Ex.2(Ex.2(实例实例2 2续续) )法拉第：实验、归纳法拉第：实验、归纳电磁感应定律电磁感应定律麦克斯韦：归纳、推演麦克斯韦：归纳、推演麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁波的存在！电磁波的存在！电磁波的速度约等于光速电磁波的速度约等于光速光也是电磁波光也是电磁波Modeling method建模方法建模方法nPropose a hypothesis according to the observation of Propose a hypothesis according to th
8、e observation of a phenomenon and confirmed it, that it is a a phenomenon and confirmed it, that it is a mathematical modelingmathematical modeling对观察的现象提出一种理论假设并证实它，是一种数学建模对观察的现象提出一种理论假设并证实它，是一种数学建模nUsing existing theories describe a particular Using existing theories describe a particular phenomen
9、on, also is a kind of mathematical modelingphenomenon, also is a kind of mathematical modeling用已有的理论描述某一特定的现象，也是一种数学建模用已有的理论描述某一特定的现象，也是一种数学建模nExperiment, induction, deduction is a major means of Experiment, induction, deduction is a major means of mathematical modelingmathematical modeling 实验、归纳、推演
10、是建立数学模型的重要手段、方法和途径。实验、归纳、推演是建立数学模型的重要手段、方法和途径。n我国古代科技比西方国家发达，但是到我国古代科技比西方国家发达，但是到了近代，远落后于西方了。一个重要的了近代，远落后于西方了。一个重要的原因是思维方式不同。原因是思维方式不同。n爱因斯坦曾说过：西方科学的发展是以爱因斯坦曾说过：西方科学的发展是以两个巨大的成就为基础，即希腊哲学家两个巨大的成就为基础，即希腊哲学家发明的形式逻辑（欧几里得几何）和通发明的形式逻辑（欧几里得几何）和通过系统试验有可能发现因果关系（文艺过系统试验有可能发现因果关系（文艺复兴时期）。中国的先哲们没有做到这复兴时期）。中国的先哲
11、们没有做到这一点。一点。 2.2 System Modeling (系统建模)n模型是系统某种特定性能的一种抽象形式。模型是系统某种特定性能的一种抽象形式。通过模型可以描述系统的本质和内在的关通过模型可以描述系统的本质和内在的关系。而数学模型是用数学方法描述系统的系。而数学模型是用数学方法描述系统的特征和行为。特征和行为。n我们把建立描述系统特征和行为的数学模我们把建立描述系统特征和行为的数学模型的过程称为系统建模。型的过程称为系统建模。 Classified according to system state changes按系统状态变化分类按系统状态变化分类n连续系统：连续系统：（C Co
12、ntinuous System） 系统的状态随时间连续的有规律的变化。系统的状态随时间连续的有规律的变化。 实例：汽车在道路上行驶，机器人的运动，实例：汽车在道路上行驶，机器人的运动， 机械运动类大多属连续系统机械运动类大多属连续系统。n离散事件系统：离散事件系统：（Discrete-event System）n系统的状态变化是偶然的随机的变化。系统的状态变化是偶然的随机的变化。 实例：交叉口等待的车流，交通流量，密度，流速实例：交叉口等待的车流，交通流量，密度，流速等，物流系统。等，物流系统。 管理类绝大多数系统属离散事件系统。管理类绝大多数系统属离散事件系统。2.3 Modeling Me
13、thods2.3 Modeling Methods ( (建模方法建模方法) )2.3.1 Experimental Modeling Method 2.3.1 Experimental Modeling Method 实验建模法实验建模法 Experimental modeling method is Experimental modeling method is to use the special to the general to use the special to the general inductive methodinductive method 实验建模法就是采用由特殊到一
14、般实验建模法就是采用由特殊到一般的归纳方法。的归纳方法。 Ex.1Ex.1 ：Tire Cornering CharacteristicsTire Cornering Characteristics 汽车轮胎侧偏特性汽车轮胎侧偏特性1 The phenomenon of tire 1 The phenomenon of tire corneringcornering 轮胎的侧偏现象。轮胎的侧偏现象。 Tire deformation figures轮胎变形图对轮胎进行实验，求轮胎侧向力与对轮胎进行实验，求轮胎侧向力与侧偏角之间的关系。侧偏角之间的关系。 Experimental data -6
15、000-4000-2000-800004681012Modeling according to the experimental results 当轮胎侧偏角比较小时（侧偏角小于当轮胎侧偏角比较小时（侧偏角小于6 6度），度），对对6 6度以内的数据进行线性回归，得：度以内的数据进行线性回归，得： 1000yF 对其他轮胎进行多次实验后，发现在小侧偏角对其他轮胎进行多次实验后，发现在小侧偏角范围内，轮胎的侧向力与侧偏角都具有线性的范围内，轮胎的侧向力与侧偏角都具有线性的关系，即：关系，即： kFy 上式称轮胎侧偏模型。称为侧偏刚度，通上式称轮胎侧偏模型。称为侧偏刚度，通过实验确定。过实验确定。
16、 当轮胎的侧偏交比较大时，用线性模型表当轮胎的侧偏交比较大时，用线性模型表示轮胎的侧偏特性就不适合了。有人提出了如示轮胎的侧偏特性就不适合了。有人提出了如下非线性模型：下非线性模型：)1 (byeaFba, 为模型系数，通过实验确定。为模型系数，通过实验确定。Linear regression and exponential regression线性回归和指数回归600040002000800004681012模型模型1模型模型22.3.2 Mechanism Modeling2.3.2 Mechanism Modeling( (机理建模法机理建模法) ) 机理建模法就是采用由一般到机理建模法
17、就是采用由一般到特殊的推理演绎方法。特殊的推理演绎方法。 Basic thinkingBasic thinking基本思路基本思路 根据研究对象的内部特征，寻找根据研究对象的内部特征，寻找“活动机理活动机理”这种这种“机理机理”一般由前一般由前人发现的人发现的“一般原理和方法一般原理和方法”所组成。所组成。 EX4：Solution vehicle power and maximum speed求汽车的动力性和最高车速求汽车的动力性和最高车速 nSystem(系统)：Automotive Systems Throttle gear boxpower maximum speed Mechanis
18、m analysis of the system? 系统机理分析 ?nMotion mechanism is based on rigid body dynamics, Newtons Theorem. 运动机理是基于刚体动力学，牛顿定理。运动机理是基于刚体动力学，牛顿定理。nAuto power of description? 汽车动力性描述汽车动力性描述? The balance of car driving force and driving resistance 汽车的驱动力与行驶阻力平衡。汽车的驱动力与行驶阻力平衡。nAccording to the mechanical balan
19、ce According to the mechanical balance principle:principle: driving force = driving resistance tfwijFFFFF0tqgTTiitrFfFG f221.15DCAwaFuiFG id ujd tFm驱动力驱动力 滚动阻力滚动阻力 风阻风阻 坡阻坡阻 加速阻力加速阻力 0221.15tq gTDT i iC AduardtGfuGimThe balance equation: n求最高车速：坡度为零，加速度为零。求最高车速：坡度为零，加速度为零。 平衡方程简化为：平衡方程简化为： 2015.21aD
20、TgtquACGfriiT23401234( )tgTnaa na na na n0377.0iirnuga40206080100120Ft1Ft2Ft3Ft4Ff+FwFt5uamax1014128642（KN）（km/hkm/h）图 汽车驱动力-行使阻力平衡图EX5：Car following modelCharacteristic of car following ：1)1) Restriction(制约性制约性)n紧随要求：必须紧跟前车紧随要求：必须紧跟前车n车速条件：只能在前车速度附近摆动车速条件：只能在前车速度附近摆动n间距条件：保持安全距离间距条件：保持安全距离n2) Hyste
21、retic(2) Hysteretic(迟滞性迟滞性) )nState changes of the front car State changes of the following car But not synchronous.The reason: The drivers response delay. Perception stage Cognition stage Determine stage Execution stagen四个阶段所需时间为反应时间，设为四个阶段所需时间为反应时间，设为 t t，前，前车在时刻车在时刻t t 动作，后车在（动作，后车在（t + t + t t）时
22、刻才）时刻才能做出相应的动作。能做出相应的动作。 n3) Transitivity(3) Transitivity(传递性传递性) )n第一辆车制约第二辆，第二辆车制约第第一辆车制约第二辆，第二辆车制约第三辆，三辆，. . 第第n n辆车制约第辆车制约第n+1n+1辆，这辆，这就是传递性就是传递性. . 由于延迟性，信息的传递由于延迟性，信息的传递像脉冲一样间断连续。像脉冲一样间断连续。 following modeln系统机理分析系统机理分析n考虑一种刺激考虑一种刺激反应方程的形式。反应是驾反应方程的形式。反应是驾驶员对前面车辆变化的反应，反应的大小是与驶员对前面车辆变化的反应，反应的大小是
23、与时间时间t t 时刻的刺激大小成比例的加速或减速，时刻的刺激大小成比例的加速或减速，并且在并且在t + T t + T 时刻开始。基本表达式如下：时刻开始。基本表达式如下：n反应（反应（t + Tt + T）= = 灵敏度灵敏度* *刺激（刺激（t t）n 1) 1) 跟车中，后车（跟车中，后车（FOLLOWING CAR)FOLLOWING CAR)n 与前车（与前车（LEEDING CARLEEDING CAR）的距离为）的距离为hshs（t t）n 2) 2) 车速相同；车速相同；n 3) 3) 如果前车在如果前车在t t 时刻紧急停车，后车时刻紧急停车，后车 在（在（t + Tt +
24、 T）时刻也紧急停车，且停下来）时刻也紧急停车，且停下来 后，不会碰撞前车。后，不会碰撞前车。 Principle assumption Analysis diagram of car following图中：图中：nL L停止时的车头间距，停止时的车头间距，m m；nd1d1车辆车辆n+1n+1在反应时间在反应时间T T内行使的距离内行使的距离,m;,m;nd2d2车辆车辆n+1n+1从制动到完全停下所行驶的距从制动到完全停下所行驶的距离，离，m m；nd3d3车辆车辆n n 从制动到完全停下所行驶的距离，从制动到完全停下所行驶的距离，m m；nd4d4两车停车后的缓冲距离，两车停车后的缓冲
25、距离，m m；nXn(tXn(t) )第第n n辆车在辆车在t t时刻的位置，时刻的位置，m m。n因此，在时间因此，在时间t t时刻，前车突然停车而不发生时刻，前车突然停车而不发生碰撞，所要求的车头间距为碰撞，所要求的车头间距为 : :3211)()()(dLddtxtxthnns确定车辆的速度为：确定车辆的速度为：( )( )( )dx tv tx tdt加速度为加速度为:22( )( )( )d x ta tx tdt代入代入: :221111()( )( )( )( )( )2()2( )nnnsnnnnxtTxth tx txtT xtLxtTxtn假定两车停下来所需的加速度和距离都
26、相等，假定两车停下来所需的加速度和距离都相等，即即d3=d2d3=d2，车头间距为，车头间距为: : LTtxTtxtxnnn)()()(11对对t t积分：积分： )()()(11TtxTtxtxnnn n因此，在因此，在t+Tt+T时刻，后车的加速度为：时刻，后车的加速度为：111()( )( )nnnxtTxtxtTn上式是在假定两车停下来所需的加速度和距离都相上式是在假定两车停下来所需的加速度和距离都相等的情况下推导出来的。实际情况要比这个假设所等的情况下推导出来的。实际情况要比这个假设所限定的条件复杂的多，为了适应更一般的情况，上限定的条件复杂的多，为了适应更一般的情况，上式可以修改
27、为：式可以修改为：11()()() nnnxtTxtxt 式中，式中， 为反映强度系数。为反映强度系数。2.3.3 Integrated Modeling Method2.3.3 Integrated Modeling Method综合建模法综合建模法nIntegrated modeling method is a combination of mechanism modeling and experimental modeling method. 综合建模法是将机理建模法与实验建模综合建模法是将机理建模法与实验建模法有机地结合起来。法有机地结合起来。 EX5：The relationship
28、 among traffic volume, speed and density(交通流量、速度和密度之间的关系)图图 7-1 7-1 三参数计算图三参数计算图式中：式中： Q Q流量，辆流量，辆/h/h； V V区间速度，区间速度，km/h;km/h; K K密度，辆密度，辆/km/km。QK VNkLLtVNQt（7.17.1）Speed - Density?Speed - Density?( (速度速度- -密度的关系？密度的关系？) ) n1 1 Linear relationship modelLinear relationship model( (直线关系模型直线关系模型) ) 1
29、933 1933年格林息尔治年格林息尔治( (GreenshieldsGreenshields) )在对大量在对大量观测数据进行分析之后观测数据进行分析之后, ,提出了速度提出了速度- -密度的单密度的单段式直线性关系模型。段式直线性关系模型。bKaV式中式中a a、b b是常数。当是常数。当K=0K=0时，时，V V值可以达到理论最高车速，值可以达到理论最高车速，即畅行速度代入公式得：即畅行速度代入公式得： fV，faVn当密度达到最大值，即时，车速当密度达到最大值，即时，车速V=0V=0，代入式得：，代入式得： fjVbK将将a a、b b代入式得：代入式得： （7.27.2）)1 (ff
30、jffKKVKKVVVn2 Logarithmic relationship model( (对数关系模型对数关系模型) ) 当车流密度大时，速度当车流密度大时，速度- -密度的关系用格林伯格密度的关系用格林伯格（GrenbergGrenberg）提出的对数模型就比较符合实际，）提出的对数模型就比较符合实际，其公式如下：其公式如下：ln()jmKVVK式中：式中：mV对应最大交通量的速度，对应最大交通量的速度，km/hkm/h； （7.37.3） 这种模型和交通流拥挤情况的现场数据很符合，如图。这种模型和交通流拥挤情况的现场数据很符合，如图。但是当交通密度小时，就不能用这种关系式。但是当交通密
31、度小时，就不能用这种关系式。 图图7-2 7-2 速度速度- -密度对数曲线（大密度）密度对数曲线（大密度） n3 3 Exponential relationship modelExponential relationship model( (指数关系模型指数关系模型) ) 当车流密度较小时，安德五德（当车流密度较小时，安德五德（UnderwoodUnderwood）提出的）提出的对数模型就比较符合实际，其公式如下：对数模型就比较符合实际，其公式如下：)1(mjKKfeVV式中：式中：mK 为最大交通流量时的密度，辆为最大交通流量时的密度，辆/km/km；e e 自然对数的底数；自然对数的底
32、数；（7.47.4）图图7-3 7-3 速度速度- -密度对数曲线（小密度）密度对数曲线（小密度）The relationship between traffic volume and densityThe relationship between traffic volume and density( (交通流量交通流量- -密度的关系密度的关系) ) n根据根据GreenshieldsGreenshields公式（公式（7-27-2）和基本公式（）和基本公式（7-17-1）可）可以得到：以得到： 2(1)()ffjjKKQKVKVVKKK（7.57.5）由式（由式（7-37-3）知，交通流
33、量与密度的关系是）知，交通流量与密度的关系是二次函数关系，如图二次函数关系，如图7-37-3所示所示 图图 7-3 7-3 交通流量交通流量- -密度曲线图密度曲线图 n如果用不同的速度如果用不同的速度- -密度公式，则根据式（密度公式，则根据式（7-37-3）或（或（7-47-4）可以到处不同的交通流量）可以到处不同的交通流量- -密度公式密度公式以及相应的曲线图。以及相应的曲线图。 The relationship between speed and traffic volumeThe relationship between speed and traffic volume( (速度速度
34、- -交通流量的关系交通流量的关系) )n从前面论述可知，以速度从前面论述可知，以速度- -密度关系式为基础，不同的密度关系式为基础，不同的速度速度- -密度关系式将产生不同的速度密度关系式将产生不同的速度- -交通流量关系式。交通流量关系式。若速度若速度- -密度模型为直线型。由式（密度模型为直线型。由式（7-27-2）知：）知： (1)jfVKKV将密度表示式代入（将密度表示式代入（7-17-1），得到），得到 2()jfVQKVV图图 7-4 7-4 交通流量交通流量- -速度曲线图速度曲线图 EX.7 The problem of stockEX.7 The problem of st
35、ock( (库存问题库存问题) ) 某企业有一简单的库存政策，即当库存量某企业有一简单的库存政策，即当库存量减到减到P P件时，就向生产厂家订货，订货量为件时，就向生产厂家订货，订货量为Q Q。如果需求量超过库存量，则遭受损失如果需求量超过库存量，则遭受损失1.81.8元元/ /件；如果库存量过多，则要增加保管费、资件；如果库存量过多，则要增加保管费、资金占用费等金占用费等0.750.75元元/ /件件/ /天。每次订货的手续天。每次订货的手续费为费为7575元，从订货之日算起到货日期为元，从订货之日算起到货日期为3 3天。天。 Stock Strategy(库存策略) The Storeho
36、use often uses five stock strategies; the managers want to know which cost minimum? P Q 1 150 250 2 125 250 3 175 250 4 125 150 5 175 300The problem of stockThe problem of stock ( (库存研究的问题库存研究的问题) )nObjective: To coordinate the relationship between the ordering and inventoryProblem-solving: seeking
37、the minimum cost of inventory policyRelated components: the number of spare parts, demand, order quantity, inventory strategy, fees and arrival time Stock systemStock system(库存系统库存系统) 库存库存日期日期库存策略库存策略订货量订货量需求量需求量库存费库存费订货费订货费缺货损失费缺货损失费总费用总费用Discrete Event System Modeling(离散事件系统建模）离散事件系统建模）n离散事件系统的建模方
38、法不同于连离散事件系统的建模方法不同于连续系统。所谓续系统。所谓“事件事件”就是指系统就是指系统状态发生变化的一种行动，事件是状态发生变化的一种行动，事件是在离散时刻发生，因而状态变化也在离散时刻发生，因而状态变化也在离散时刻发生。在离散时刻发生。 The Component of the discrete Event System（离散事件系统的组成）n离散事件系统有多种类型，但在离散事件离散事件系统有多种类型，但在离散事件系统中，基本上由两部分组成：一部分是系统中，基本上由两部分组成：一部分是活动的，叫活动的，叫“实体实体”，如加工的零件、运，如加工的零件、运输或库存中的货物、等待的顾客等
39、；另一输或库存中的货物、等待的顾客等；另一部分是固定的，叫部分是固定的，叫“设备设备”，用于对，用于对“实实体的体的“服务服务”是广义的，如加工机械、工是广义的，如加工机械、工作人员等。作人员等。 Modeling method for discrete Event System （离散事件系统建模方法）n离散系统既然主要由离散系统既然主要由“实体实体”和和“设备设备”组成，则系统的状态变化也就由实体或组成，则系统的状态变化也就由实体或设备的状态变化所产生。因此，这类系设备的状态变化所产生。因此，这类系统建模采用的方法一般是按照实际的工统建模采用的方法一般是按照实际的工作流程，按规定的时间顺序
40、改变实体或作流程，按规定的时间顺序改变实体或设备状态的方法。设备状态的方法。 The example of stock problem The example of stock problem (库存实例)n 在本例中，库存中的货物就是在本例中，库存中的货物就是“实体实体”；出货、订货、库存策略、算帐、运输等都出货、订货、库存策略、算帐、运输等都属属“设备设备”；实体和设备状态的变化就是；实体和设备状态的变化就是系统的系统的“运动运动”。 Flow chart for the model(模型工作流程图模型工作流程图)每日需求量每日需求量短缺损失费短缺损失费新库存量（晚）新库存量（晚）是否订货
41、？是否订货？第二日第二日库存量（早）库存量（早）是否到货是否到货？订货费订货费是否够？是否够？清仓清仓保管费保管费Mathematical model(数学模型数学模型) 设：设： I I 天数，天数， S S 库存量，库存量， N N 每日需求量，每日需求量， T T 新库存量，新库存量， P P 最低库存量，最低库存量， Q Q 订货量，订货量， D D 订货期，订货期， M1 M1 保管费，保管费，M2M2短缺费，短缺费，M3M3订货费，订货费， M M 总费用总费用 Program for the model(模型程序模型程序) nI = 1nM1 = 0nM2 = 0nM3 = 0nM1 = M1 + S * pM1 （1）n T = S - Nn 如果如果T 0， M2 = M2 + T * pM2n 如果如果 T P, S（I） = Q， M3 = M3 + pM3n M = M1 + M2 + M3n I = I + 1n 如果如果 I = D， S = S + S（I）n 回到方程（回到方程（1）END OF SECTION 返回进入第三章
