1、 第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 主讲 贾启芬Mechanical and Structural Vibration工程振动与测试工程振动与测试目录Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural VibrationtxcFddc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 Mechanical and Structural Vibration运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O
2、为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxtxctxmdddd220dd2dd222xptxntxn0222 npnrr 222221nnpnnrpnnrmkpn 22ncm衰减系数，单位1/秒(1/s) rtex Mechanical and Structural Vibration22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt 222221nnpnnrpnnr运动微分方程运动微分方程 0dd2dd222xptxntxnMechanical and Structura
3、l Vibration设设cc为临界阻尼系数，由于为临界阻尼系数，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由Mechanical and Structural Vibration临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发
4、生变化的重要临界值。发生变化的重要临界值。具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，通常要求发射后以最短时间回到原射炮弹时要出现反弹，通常要求发射后以最短时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二
5、发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。Mechanical and Structural VibrationtntnCCx21-2-1ee1zznnppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxntMechanical and Structural Vibrationdnpprj z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解00vvxx，dpvnxC002C1=x0 Mechanical and Str
6、uctural Vibration000220020tan)(nxvpxpnxvxAdd)sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zp n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。Mechanical and Structural Vibration衰减振动衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它
7、的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 )sin(e tpAxdntMechanical and Structural Vibration2222111 ()ddnnTTppnpzT=2p p/pn为无阻尼自由振动的周期。为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常由于阻尼的存
8、在，使衰减振动的周期加大。通常z z 很小，阻很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当尼对周期的影响不大。例如，当z z=0.05时，时，Td=1.00125T，周，周期期 Td 仅增加了仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比。当材料的阻尼比 z z1时，可近似时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 阻尼对周期的影响Mechanical and Structural Vibration设衰减振动经过一周期设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振，在同方向的相邻两个振幅分别为幅分别为Ai和和Ai+1，即，即)(sine
9、)sin(e)(1 didTtniidntiTtpAAtpAAdii两振幅之比为两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 37. 1ednT阻尼对振幅的影响Mechanical and Structural Vibration振幅减缩率的自然对数称为振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率对数减缩率或对数减幅或对数减幅系数，以系数，以d d 表示表示dlnzd2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系统中，）的系统中，在
10、振幅衰减曲线的包络线上，已测在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔得相隔N个周期的两点个周期的两点P、R的幅值的幅值之比之比xP/xR=r r，如图所示，试确定此，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比振动系统的阻尼比z z。 dnTpTtptpTpeeedndnnzzzzlnln)(11212zzddnT212zndpT阻尼对振幅的影响Mechanical and Structural Vibration解解：振动衰减曲线的包络线：振动衰减曲线的包络线方程为方程为ntAxe设设P、R两点在包络线上的幅值两点在包络线上的幅值为为xP、xR ，则有，则有rdnNTRPxxe当z 21时 此式对估算小阻
11、尼系统的此式对估算小阻尼系统的z z值是很方便的。例如，经过值是很方便的。例如，经过10个周个周期测得期测得P、R两点的幅值比两点的幅值比r r=2，将，将N=10、r r=2代入上式，得代入上式，得到该系统的阻尼比到该系统的阻尼比011. 0202lnzNN2lnln2rzrzrzzln122NMechanical and Structural VibrationMechanical and Structural Vibration 质量为质量为m = 2450kg的汽车，压在的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个个车轮弹簧上，可使每个弹簧压缩弹簧压缩d dst = 150mm，当每个弹簧都并
12、联上一个粘性阻尼器，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器后，振幅衰减为后，振幅衰减为A1/A3 = 10；求；求1）振幅减缩率）振幅减缩率 和对数减缩率和对数减缩率d d ；2）衰减系数）衰减系数n = c/2m和衰减振动的周期和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼）临界阻尼系数系数cc。 044kxxcxm 解：画车身铅垂振动的受力图，解：画车身铅垂振动的受力图，坐标坐标x的原点为车身的静平衡位置的原点为车身的静平衡位置，车身的运动微分方程为，车身的运动微分方程为Mechanical and Structural Vibration044kxxcxm dnTAA231e162. 3e,151. 11
13、0ln21ln212121ddAAAA由已知条件和定义，得：由已知条件和定义，得：取对数得，dnTAA2ln31d2s790. 012,211,222stzdzdndnTgs/mkN63.392, s/1456. 1ncdmcTnd例例 题题 Mechanical and Structural VibrationOmgXOYOFKFC一长度为一长度为l、质量为、质量为m的均质刚性杆铰接于的均质刚性杆铰接于O点并以弹点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。0220aklcI 2013Iml当npn时，ccC323232mklampnmcnC解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：2230ckamml22233,2nkacpnmlm
