1、 20052005年中国大学生数学建模竞赛的年中国大学生数学建模竞赛的A A题：题：“长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测”问题的第一部份给出了问题的第一部份给出了1717个观测站（城市）的最个观测站（城市）的最近近2828个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐指数（）、高锰酸盐指数（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求综合这四种污染指标的值，要求综合这四种污染指标的2828个月的个月的检测数据对检测数据对1717
2、个城市的水质情况做出综合评价。个城市的水质情况做出综合评价。 1. 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 在在以以上上综综合合加加权权评评价价方方法法中中，关关于于权权值值(1,2,)jwjm都都是是属属于于定定常常权权，即即权权值值均均为为常常数数。虽虽然然这这种种方方法法简简单单易易行行，对对某某些些较较简简单单的的实实际际问问题题也也是是可可行行的的，但但是是主主观观性性强强、科科学学性性差差，有有些些时时候候不不能能很很好好地地为为决决策策提提供供有有效效的的依依据据。 根据国标（根据国标（GB 3838GB 383820022002）的规定，关于地表水的水）的规定，关
3、于地表水的水质可分为质可分为类、类、类、类、类、类、类、类、类、劣类、劣类共六个类类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中以实际中不同类别的水质有很大的差别不同类别的水质有很大的差别，而且，而且同一类别的水同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别在污染物的含量上也有一定的差别。 在对在对1717个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的标值不同类别水的
4、“质的差异质的差异”和同类别水的和同类别水的“量的差异量的差异”, ,在此简称为在此简称为“质差质差”和和“量差量差”。因此，这是一个较复。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。杂的多因素多属性的综合评价问题。 1. 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 动态加权综合评价问题的一般提法：动态加权综合评价问题的一般提法： 现现设设有有n个个被被评评价价对对象象（或或系系统统） ，分分别别记记为为12,(1)nS SS n，每每个个系系统统都都有有m属属性性（或或评评价价指指标标） ，分分别别记记为为12,(1)mx xxm，对对于于每每一一个个属属性性ix都都可可以以
5、分分为为K个个等等级级，记记为为12,Kp pp (1)K 。而而对对于于每每一一个个等等级级kp都都包包含含一一个个区区间间范范围围，记记为为( )( ),)iikkab，且且( )( )iikkab(1,2, ;1,2,)im kK，即即当当属属性性( )( ),)iiikkxab时时，则则属属性性ix属属于于第第k类类kp (1)kK。也也就就是是对对于于每每一一个个属属性性而而言言，既既有有不不同同类类别别的的差差异异，同同类类别别的的又又有有不不同同量量值值的的差差异异。对对于于这这种种既既有有“质质差差” ，又又有有“量量差差”的的问问题题，如如果果用用通通常常的的定定常常权权综综
6、合合评评价价法法做做综综合合评评价价显显然然是是不不合合理理的的，然然而而合合理理有有效效的的方方法法是是动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法。 根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的解决问题的主要过程分三步完成主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；将各评价指标作标准化处理；根据各属性的特性构造动态加权函数；根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种
7、情况，也有时各有不同的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。化指标。 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 2.1 评价指标的标准化处理评价指标的标准化处理 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 2.1 评价指标的标准化处理评价指标的标准化处理 2022-6-22信息工程大学 信息工程学院7 考虑到评价指标的考虑到评价指标的“质差质差”与与“量差量差”的关
8、系，的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的根据实际问题具体取什么样的动态加权函数动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。取不同的权函数。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （1
9、） 分分段段变变幂幂函函数数 如如果果某某项项评评价价指指标标ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加而而按按正正幂幂次次增增加加，同同时时在在某某一一类类中中随随着着指指标标值值的的增增加加按按相相应应的的一一个个幂幂函函数数增增加加，则则对对指指标标ix可可以以设设定定分分段段 幂幂函函数数为为变变权权函函数数。即即 1( )( )( ),(1,2,)iikikkw xxxabkK， 其其中中1im 。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （2 2）偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数 如如果果某某项项指指标标
10、ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加，先先是是缓缓慢慢增增加加，中中间间有有一一个个快快速速增增长长的的过过程程，随随后后平平缓缓增增加加趋趋于于最最大大， 相相应应的的图图形形呈呈正正态态分分布布曲曲线线 （左左侧侧） 形形状状。 那那么么，此此时时对对指指标标ix的的变变权权函函数数可可以以设设定定为为偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数。即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 当时,当时, 其其中中参参数数i可可取取( )( )11,)iiab中中的的某某 定定值值，在在此此不不妨妨取取( )( )11(
11、)/2iiiba， i由由( )()0.9(1)iiKw aim 确确定定。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （3 3）S S 型型分分布布函函数数 如如果果某某项项指指标标ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加而而增增加加的的过过程程，呈呈一一条条“S S”曲曲线线，那那么么，此此时时对对指指标标ix的的变变权权函函数数可可以以设设定定为为 S S 型型分分布布函函数数。即即 2( )( )11( )( )12( )( )( )( )12,( )12,iiiiKiiiKKiiKxaaxcbaw xxbcxb
12、ba 其其中中参参数数( )( )11(),( )0.52(1)iiKicabw cim 且。 2.3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 根根据据标标准准化化后后的的各各评评价价指指标标值值，不不妨妨仍仍用用 ix表表示示，以以及及相相应应的的动动态态权权函函数数( )(1,2, )iw x im， 建建立立综综合合评评价价模模型型来来对对 n个个被被评评价价对对象象做做出出综综合合评评价价。在在此此，取取综综合合评评价价模模型型为为各各评评价价指指标标的的动动态态加加权权和和，即即 1( )miiiiXw xx。 以以此此作作为
13、为问问题题的的综综合合评评价价指指标标函函数数，如如果果每每个个被被评评价价对对象象的的 m个个属属性性都都有有N N 组组样样本本观观测测值值 (1,2, ;1,2,)ijxim jN，代代入入上上式式计计算算，则则每每一一个个被被评评价价对对象象都都有有N N个个综综合合评评价价指指标标值值( )(1,2, ;kXj kn 1,2,)jN。由由此此按按其其大大小小排排序序，可可以以给给出出 n个个被被评评价价对对象象的的N N个个排排序序方方案案。 2.3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 利利用用决决策策分分析析中中的的 B
14、 Bo or rd da a 函函数数方方法法来来确确定定综综合合排排序序方方案案。记记在在第第j个个排排序序方方案案中中排排在在第第k个个被被评评价价对对象象kS后后面面的的个个数数为为()jkB S，则则被被评评价价对对象象kS的的 B Bo or rd da a 数数为为 1()() (1,2, )NkjkjB SB Skn 由由此此式式的的计计算算结结果果按按其其大大小小排排序序， 就就可可以以得得到到n个个被被评评价价对对象象的的综综合合评评价价结结果果，即即总总排排序序结结果果。 针针对对长长江江水水质质的的综综合合评评价价这这一一问问题题，采采用用动动态态加加权权综综合合评评价价
15、方方法法来来解解决决。假假设设1 17 7个个城城市市为为被被评评价价对对象象1217,S SS，共共有有四四项项评评价价指指标标（或或属属性性）D DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH H值值，分分别别记记为为321,xxx和和4x，前前三三项项指指标标都都有有 6 6 个个等等级级126,p pp，相相应应的的分分类类区区间间值值如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值没没有有等等级级之之分分。 表表（1）: 地地表表水水环环境境质质量量标标准准 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4个个主主要要项
16、项目目标标准准限限值值 单单位位：mg/L 指指 标标 类类 类类 类类 类类 类类 劣劣类类 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高锰锰酸酸盐盐指指数数( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（无无量量纲纲） 6 , 9 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的标标准准化化 注注
17、意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）为为极极大大型型指指标标，首首先先将将数数据据指指标标作作极极小小化化处处理理，即即令令倒倒数数变变换换111xx ，相相应应的的分分类类标标准准区区间间变变为为 1111 11 11 11(0,(, ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通过过极极差差变变换换5 . 011xx 将将其其数数据据标标准准化化，对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.2667,(0.2667,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 1. 指标数据的标准化
18、处理指标数据的标准化处理（）高高锰锰酸酸盐盐指指数数（CODMn）的的标标准准化化 高高猛猛酸酸盐盐指指数数本本身身就就是是极极小小型型指指标标，即即由由极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化， 即即令令1522xx , , 对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的标标准准化化 氨氨氮氮也也是是极极小小型型指指标标， 对对指指标标数数据据作作极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化，即即令令233xx ，对对应应的的分分
19、类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.075,(0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理（）PH值值的的处处理理 酸酸碱碱度度（P PH H 值值）的的大大小小反反映映出出水水质质呈呈酸酸碱碱性性的的程程度度，通通常常的的水水生生物物都都适适应应于于中中性性水水质质， 即即酸酸碱碱度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于） ， 在在这这里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 当当P PH H 7 7. .5 5 时时偏偏酸酸性性，而而偏偏离离值值越越大大水水质质就就
20、越越坏坏，P PH H 值值属属于于中中间间型型指指标标。为为此此，对对所所有有的的P PH H 值值指指标标数数据据作作均均值值差差处处理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 则则将将其其数数据据标标准准化化。 2. 动态加权函数的确定动态加权函数的确定 根根据据对对这这一一实实际际问问题题的的分分析析，不不妨妨取取动动态态加加权权函函数数为为偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 当时,当时, 其其中中i在在这这里里取取指指标标ix的的类类水水标标准准区区间间的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由
21、由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii确确定定。 由由实实际际数数据据经经计计算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 则则代代入入上上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三项项指指标标的的动动态态加加权权函函数数。 3.综合评价指标函数的确定综合评价指标函数的确定 考考虑虑到到对对实实际际评评价价效效果果影影响响差差异异较较大大的的是是前前三三项项指指标标，以以及及指指标标P PH H值值的的特特殊殊性性，这这里里取取前前三三
22、项项指指标标的的综综合合影影响响权权值值为为0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影响响权权值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根据据综综合合评评价价模模型型，某某城城市市某某一一时时间间的的水水质质综综合合评评价价指指标标定定义义为为 4312 . 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根据据1 17 7 个个城城市市的的2 28 8 组组实实际际检检测测数数据据，经经计计算算可可得得各各城城市市的的水水质质综综合合评评价价指指标标值值，即即可可得得到到一一个个17 28阶阶的的综综合合评评价价矩矩阵阵17 28()ijX。 4.各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 由
23、由 1717 个城市个城市 2828 个月的水质综合评价指标个月的水质综合评价指标(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大说明水质越差。由此可得反映大说明水质越差。由此可得反映 1717 个城市水质污染程度的个城市水质污染程度的 2828 个排个排序结果， 根据序结果， 根据BordaBorda数的计算方法则得到第数的计算方法则得到第i个城市个城市( (被评价对象被评价对象) )iS的的 BordaBorda 数为数为 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 经计算可得到各城市的经计
24、算可得到各城市的 BordaBorda 数及总排序结果如表数及总排序结果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水质质污污染染总总排排序序结结果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda 数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217 总排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3 4 6 1 10 9 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的
25、水水质质污污染染总总排排序序结结果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217 总排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3 4 6 1 10 9 由由表表( (2 2) )可可以以看看出出， 各各观观测测城城市市所所在在的的江江段段的的水水质质污污染染的的情情况况， 水水质质最最差差的的是是观观测测城城市市是是15S， 即即是是江江西西
26、南南昌昌赣赣江江鄱鄱阳阳湖湖入入口口地地区区； 其其次次是是观观测测城城市市8S，即即四四川川乐乐山山泯泯江江与与大大渡渡河河的的汇汇合合地地区区；第第三三位位的的是是12S，即即湖湖南南长长沙沙湘湘江江洞洞庭庭湖湖地地区区；干干流流水水质质最最差差的的是是湖湖南南岳岳阳阳段段（4S） ，主主要要污污染染可可能能是是来来自自于于洞洞庭庭湖湖。干干流流水水质质最最好好的的区区段段是是江江西西九九江江( (鄂鄂赣赣交交界界) )段段 （6S） ， 支支流流水水质质最最好好的的是是湖湖北北丹丹江江口口水水库库 （11S） 。 4.各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 从实际的综合评价结果可以看出
27、，针对这样一从实际的综合评价结果可以看出，针对这样一类多因素多属性的既包含类多因素多属性的既包含“质差质差”又包含又包含“量差量差”的综合评价问题，采用动态加权综合评价方法使得的综合评价问题，采用动态加权综合评价方法使得评价结果科学合理。评价结果科学合理。主要特点有主要特点有: :充分地考虑到了每一个因素每一属性的所有充分地考虑到了每一个因素每一属性的所有“差异差异”的影响和作用的影响和作用; ;在综合评价中也充分地体现出了各属性的在综合评价中也充分地体现出了各属性的“广泛性广泛性”和和“民主性民主性”; ;避免了在一般的综合评价方法的避免了在一般的综合评价方法的“一票否决一票否决”（即（即某一指标的劣而导致结果的否定）的不合理性某一指标的劣而导致结果的否定）的不合理性; ;体现出了综合评价的体现出了综合评价的“综合综合”二字的含义。二字的含义。
