1、第八章专题07立体几何综合期末复习（七）外接球的表面积与体积一选择题（共12小题）1长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积为（）A10B20C30D402已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（）A34B43C53D353设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB6，三棱锥PABC的体积为18，则球O的体积为（）A23463B3436C276D24324三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（）A13abcB16abc
2、C112abcD124abc5已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为323，则圆柱的体积为（）A16B8C42D226一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为223，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（）A2(2-1)B8(2-2)3C8(2-1)3D8(2+1)37已知正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，则此三棱锥的外接球的表面积为（）AB3C6D98已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于6，则下列结论正确的个数为（）四面体ABCD的棱长均为2：四面体ABCD的体积等于223；异面直线AC与BD所成角为60A0B1
3、C2D39在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120，AB1，AC2，SA3，则该四面体外接球面积为（）A503B553C653D70310若棱长分别为3，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A64B16C643D16311在四面体SABC中，SA平面ABC，ABC为正三角形，且边长为23，SA4，则该四面体的外接球的表面积是（）A253B323C2053D3212已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为（）A23B49C269D827二填空题（共8小题）13一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条
4、棱的长分别为1、2、3，则此球的体积为 14在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC=23，BB14，则长方体外接球的表面积为 15已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为 16在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC是等腰三角形，其中ABBC2，ABC120，PA4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为 17已知体积为2的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是 18 如图三棱锥PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC=5，球O是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积是 19已知正四棱
5、锥PABCD中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为 20已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积为（）A10B20C30D40【解答】解：如图，不妨设ABa，BCb，CC1c，则abc120，则VE-BCD=13SBCDCE=1312ab12c=112abc=112120=10故选：A2已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（）A
6、34B43C53D35【解答】解：下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，由已知条件得AO=42-22=23，AOBDCB，AODC=OBCB，即l=3(2-r)，其中0r2，圆柱的体积为V=r2l=3(2r2-r3)，又V=3(4r-3r2)，函数在(0，43)上为单调递增，在(43，2)上单调递减，函数在r=43时，圆柱的体积V取得最大值故选：B3设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB6，三棱锥PABC的体积为18，则球O的体积为（）A23463B3436C276D2432【解答】解：P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB
7、，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，因为PA3，PB6，三棱锥PABC的体积为18，所以VP-ABC=13PC12PAPB=18，即VP-ABC=13PC1236=18，所以PC6，所以（2R）2PA2+PB2+PC281，所以R=92，故球O的体积V=43R3=2432，故选：D4三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（）A13abcB16abcC112abcD124abc【解答】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为：V=13Sh=1312abc=16abc故选：B5已知一个圆柱的高
8、是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为323，则圆柱的体积为（）A16B8C42D22【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为2r，球O的半径为R，由题可知4R33=323，解得R2，则r2+r2R24，可得r=2，所以Vr22r42故选：C6一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为223，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（）A2(2-1)B8(2-2)3C8(2-1)3D8(2+1)3【解答】解：设底面半径为r，由题知：13r2r=223，所以r=2，设正方体棱长为a，如图，由轴截面可知2a22=2-a2，所以a2（2-1），所以Va38（2-1）3故选：C7
9、已知正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，则此三棱锥的外接球的表面积为（）AB3C6D9【解答】解：由题意，正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，此三棱锥SABC可补形为一个棱长为1的正方体，三棱锥SABC的外接球与补成的棱长为1的正方体的外接球为同一个球，设正方体的外接球的半径为R，可得2R=3，即R=32，所以此三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4(32)2=3故选：B8已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于6，则下列结论正确的个数为（）四面体ABCD的棱长均为2：四面体ABCD的体积等于223；异面直线AC与BD所成角为60A0B1C2D3【解答
10、】解：由题意知，可以设该正四面体的棱长为a，底面正三角形BCD的中心为G，该正四面体的外接球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AGB中，BG=2332a=33a，AG=a2-(33a)2=63a，在直角三角形OBG中，R2=(63a-R)2+(33a)2，所以R=64a，由外接球的体积为6，可得R3=364，所以a38，解得：a2，故正确；由得：正四面体的高AG=263，故正四面体的体积为V=131222sin60263=223，故正确；设BD的中点为E，连接AE，CE，因为三角形ABD与三角形BCD均为等边三角形，由三线合一得：BDAE，BDCE，因为AECEE，所以BD平面AEC，因为A
11、C平面AEC，所以BDAC，故错误；故选：C9在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120，AB1，AC2，SA3，则该四面体外接球面积为（）A503B553C653D703【解答】解：如图所示，该四面体的外接球的球心O必经过ABC外接圆的圆心O且垂直于平面ABC的直线上，且到A，S的距离相等在ABC中，由余弦定理得BC=1+4-212cos120=7，又因为OS=OA=R，OO=12SA=32，所以R2=94+73=5512，所以外接球的表面积为S=4R2=553，故选：B10若棱长分别为3，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A64B16C643D163【解答】解：
12、长方体的体对角线的长度为3+4+9=4，因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为4，故表面积为16故选：B11在四面体SABC中，SA平面ABC，ABC为正三角形，且边长为23，SA4，则该四面体的外接球的表面积是（）A253B323C2053D32【解答】解：如图所示：过SA的中点D作DOSA交直线于O因为ABC为正三角形，且边长为23，所以AO1=233223=2，因为SA平面ABC，OO1面ABC，所以OO1SA因为DOSA，SA平面ABC，DO平面ABC，所以DO平面ABC又面ADOO1面ABCAO1，所以DOAO1所以四边形ADOO1为平行四边形，所以OO1
13、AD2所以外接球的半径R=AO12+OO12=22+22=22所以外接球的表面积为S=4R2=4(22)2=32故选：D12已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为（）A23B49C269D827【解答】解：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，记球的体积为V1，圆锥的体积为V2，所以r=33RV1=43r3=43(33R)3=4327R3，V2=13R23R=33R3，所以球与圆锥的体积之比为4327R333R3=49，故选：B二填空题（共8小题）13一个长方体
14、的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的体积为 43【解答】解：长方体外接球直径即为其体对角线长，根据三条棱长，可得体对角线长为1+2+9=23，外接球半径为r=3，球的体积为：4r33=43故答案为：4314在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC=23，BB14，则长方体外接球的表面积为 64【解答】解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2RBD1=AB2+BC2+BB12=8，R4，因此，该长方体的外接球的表面积为4R244264故答案为：6415已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为
15、2：3【解答】解：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，球的体积与圆柱的体积之比是（43r3）：（r22r）2：3；故答案为：2：316在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC是等腰三角形，其中ABBC2，ABC120，PA4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为32【解答】解：将此三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设底面外接圆的半径为r，则2r=ACsinABC，而ABC是等腰三角形，其中ABBC2，ABC120，所以AC2ABsinABC2=2232=23，所以2r=2332，所以r2，设外接球的半径R，则R2r2+（PA2）24+48，所以三棱锥PABC的
16、外接球的表面积S4R232，故答案为：3217已知体积为2的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是 8【解答】解：圆柱的高h为圆柱的体积除以圆柱的底面积，所以h=2=2，设圆柱底面半径为r，则底面面积为r2，解得r1，这个球是这个圆柱的外接球，作圆柱的轴截面，则截面经过球心O，如图所示，OA为球的半径R，则AB1，AC1，ROA=AB2+OB2=2，故球的表面积为4R2428故答案为：818如图三棱锥PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC=5，球O是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积是 414【解答】解：设
17、该几何体的外接球的半径为R，如图所示：设点E为PBC的中心，所以PEECEB，利用CE212+（2PE）2，由于PECE，所以PE=54，故OD=2-54=34，在ABC中，利用勾股定理：AC=22，所以BD=2，所以R2=BO2=(34)2+(2)2=4116，故S表=44116=414故答案为：41419已知正四棱锥PABCD中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为 92【解答】解：设正四棱锥的侧棱长为b，又侧面积为45，4122b2-1=45，解得b=6，正四棱锥PABCD的高h=6-2=2，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在正四棱锥PABCD的高所在直线上，如图，设球O的半径为R，则（2R）2+（2）2R2，解得R=32，则球O的体积为V=43R3=43(32)3=92故答案为：9220已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为44【解答】解：设正四棱柱的高为h，则该正四棱柱的体积为22h24，解得h6，设外接球的半径为R，则2R=22+22+62=211，因此，该正四棱柱的外接球的表面积为4R2（2R）244故答案为：44
