1、第三章第三章 序列算子与灰色序列生成序列算子与灰色序列生成 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生称之为灰色序列生成成一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性显现规律性.算子算子 是处理数据的一种方法。是处理数据的一种方法。 图3 .100.511.522.533.5系列1121.531234图3.202468系列1系列1134.57.512343.1 序列算子一 冲击扰动系统预
2、测陷阱定义 3.1.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为:其中,为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.本节的讨论围绕一个总目标:由 展开)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX) 0() 0(2) 0(1) 0()() 2 (,) 1 ()(,),2 (),1 (XnxxxnxxxXn， ),(21nX)0(X二、缓冲算子公理定义3.1.2 设系统行为数据序列为X（x(1),x(2),x(n),若1、任意k=2,3,n,总有x(k)-x(k-1)0, 则称X为单调增长序列；2、1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；3、存在 有则称X为随机振荡序列。设M
3、=max m=min称M-m为序列X的振幅。nkk,3,2,0) 1()(kxkx0)1()(kxkxnkkx,2, 1)(nkkx,2, 1)(定义3.1.3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理3.1.1 （不动点公理） 设X为系统行为序列，D为序列算子，则D满足 * 涉及到不动点公理 即布劳威尔不动点定理 )(,)2(,)1(dnxdxdxXD321,DD
4、D21DD321DDD21DXD321DDXD)()(nxdnx公理3.1.2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据 都应该充分的参与算子作用的全过程。nkkx,2, 1),(公理3.1.3 （解析化、规范化公理）任意的 ， 都可以由一个统一的 的初等解析式表达。dnx)(nk, 2 , 1 )(,),2(),1 (nxxx上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子。设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时：1、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，称缓冲算子D为弱化算子。2、若缓冲序列
5、XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，称缓冲算子D为强化算子。三、缓冲算子的性质定理3.1.1 设X为单调增长序列，XD为其缓冲序列，则有1、D为弱化算子2、D为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。定理3.1.2 设X为单调衰减序列，XD为其缓冲序列，则有1、D为弱化算子2、D为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx四、实用缓冲算子的构造定理
6、3.1.4 设原始数据序列X=令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子。（证明从略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxXDnknxkxkxkndkx,2, 1;)()1()(11)(四、实用缓冲算子的构造定理3.1.4 设原始数据序列X=令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为强化算子。（证明从略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxXD1,2, 1;12)()1()2()1 ()(nkkkkxkxxxdkx3.2 均均 值值 生生 成成定义 3.2.1 设序列 与 为X的一对
7、紧邻值， 称为前值，称为后值，若 为新信息，则对任意 为老信息。)(),1(),(,),2(),1 (nxkxkxxxX)(kx) 1( kx)(kx) 1( kx)(nx)(, 1kxnk定义3.2.2 设序列X在k处有空穴，记为 ，即则称 与 为 的界值为前界， 为后界。当 由 和生成时，称生成值 为 的内点。)( k)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxX) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)(kx)1(),(kxkx定义3.2.3 设 与 为序列X中的一对紧邻值，若有1、 为老信息， 为新信息；2
8、、则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 =0.5，称 的生成为非偏生成。定义3.2.4 设为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列。)(kx) 1( kx) 1( kx)(kx 1 , 0),1()1 ()()(*kxkxkx)(*kx)(*kx)(*kx)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxXk)( k) 1(5 . 0) 1(5 . 0)(*kxkxkx定义 3.2.5 设序列 若
9、则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成，它是以原始序列为基础构造新序列的方法。注意：设 为n元序列，Z为X的紧邻均值生成序列，则Z为 元序列： 无法由X生成z(1).)(),2(),1 (nxxxX) 1(5 . 0)(5 . 0)(*kxkxkx)(*kx)(),2(),1 (nxxxX)(),3(),2(nzzzZ1n3.4 级比和光滑比当序列的起点x(1)和终点x(n)为空穴，就无法采用均值生成填补空缺，只有转而采用别的方法，级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。定义3.4.1 设序列称为序列X的级比，称
10、为序列X的光滑比。)(),2(),1 (nxxxXnkixkxkki,3 ,2;)()()(11nkkxkxk, 3 , 2;)1()()(定义3.4.2 设X为端点是空穴的序列：若用 右邻的级比（或光滑比）生成 ，用左邻的级比（或光滑比）生成 ，则称 与为级比（或光滑比）生成，按级比生成（或光滑比生成）填补空穴所得的序列称为级比生成（或光滑比生成）序列。命题 3.4.1 设X是端点为空穴的序列，则1、若采用级比生成，则2、若采用光滑比生成，则)(),1(,),2(),1 (nnxxX) 1 () 1 (x)(n)(nx) 1 (x)(nx)1()1()(),3(/)2()1 (nnxnxxx
11、)1(1)(1()(,)2() 3()2() 1 (2nnxnxxxxx命题3.4.2 级比与光滑比有下述关系：定义3.4.3 若序列X满足：1、2、3、则称X为准光滑序列。定义 3.4.4 设X为有空穴的序列，若新序列生成满足准光滑条件，则称为准光滑生成。nkkkkk, 3 ,2);(1 ()()1()1(; 1)() 1(kk1,3,2nknkk,4,3;,0)(5.03.5 累加生成算子和累减生成算子定义 3.5.1 设 为原始序列D为序列算子，其中则称D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO（Accumulating Generation Operator),称r阶算子 为 的r次累加
12、生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)0(X)(,) 2(,) 1 ()0()0()0()0(dnxdxdxDXkinkixdkx1)0()0(,2, 1);()()0(XrD)0(X)(,)2(,) 1 ()1()1()1()1()0(dnxdxdxXDX)(,)2(,) 1 ()()()()()0(dnxdxdxXDXrrrrr其中定义3.5.2 设 为原始序列，D为序列算子，其中，则称D为 的一次累减生成算子，r 阶算子 称为 的r 次累减生成算子。定理 3.5.1 累减算子是累加算子的逆算子。( )(1)1( )( );1,
13、2,krrixkxi kn(0)X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)(0)(0)(0)(1) ,(2) ,( ) ),XDxd xdxn d(0)(0)(0)( )( )(1);1,2,xk dxkxkkn(0)XrD(0)X命题 3.5.1 设 为非负序列其中 ，且为 的r次累加生成序列，则当r充分大的时候，对于 存在N，使得 有下式成立：这就是说，对于有界非负序列，经过多次累加生成后，所得序列可以充分光滑，且光滑比(0)X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)( )0 xk(0)( ) , ;1,2, .xka bkn( )( )( )(
14、 )(1),(2),( )rrrrXxxxn(0)X0 ,kNkn()1()1()( )rkrixkxi( )0()kk 3.6 累加生成的灰指数律 一般得非负准光滑序列经过累加生成以后，都会减少随机性，呈现出近似得指数增长规律，原始序列越光滑，生成后得指数规律越明显。定义 3.6.1 （见教材P37）定义 3.6.2 定理 3.6.1 设 为正序列，而 为 的次累加生成，则 必为 r 阶弱随机序列。定理 3.6.3 设 为非负准光滑序列，则 的一次累加生成序列 具有准指数规律。即 。如果 的 r 次累加生成序列已经具有明显的指数规律，再作AGO生成反而会破坏其规律。因此累加生成应适可而止，对非负准光滑序列，只需进行一次累加生成即可建立指数模型。( 0 )( 0 )( 0 )( 0 )(1),(2 ),()Xxxxn( )rX(0)X( )rX(0)X(0)X(1)X0.5
