1、向量法求空间角练习一、选择题1.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cos m，n，则l与所成的角为()A.30 B.60 C.120D.1502.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题3.已知点M(0，1，2)，平面过原点，且平面的法向量n(1，2，2)，则点M到平面的距离为_.4.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_.5.在空间中，已知平面过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a0)，如果平面与平面Oxy所成的角为45，
2、则a_.三解答题6.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.7.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角.8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：ABPM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.9.
3、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.10.在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA，QC3.(1)证明：平面QAD平面ABCD；(2)求平面BQD与平面AQD夹角的余弦值.11.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.(1)证明：OACD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.12.如图，三棱柱
4、ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.13.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求平面CPB与平面APB夹角的余弦值.14.在三棱锥ABCD中，已知CBCD，BD2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO2，E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BFBC，设平面DEF与平面CDE夹角的大小为，求sin 的值.15.如图，四棱锥PABCD的底面
5、是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM.(1)求BC；(2)求二面角APMB的正弦值.16.如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为，求线段CF的长.17.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.答案：1. B2
6、. D3. 24. 305. 6. (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC.(2)解：设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)，所以(1，2)，(0，2，0).设PB与AC所成角为，则cos .(3)解：由(2)知(1，0).设P(0，t)(t0)，则(1，t).设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z，所以m.同理，平面PDC的法向量n.因为
7、平面PBC平面PDC，所以mn0，即60，解得t，所以PA.7. 解：以B为原点，分别以直线BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图).设AB1，则B(0，0，0)，E，F，C1(1，0，1)，所以，(1，0，1).于是cos，所以直线EF和BC1所成角的大小为60.8. (1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且M为BC的中点，所以CM2，CD1，DCM60，易得CDDM.又PDDC，且PDDMD，PD，DM平面PDM，所以CD平面PDM.因为ABCD，所以AB平面PDM.又PM平面PDM，所以ABPM.(2)解：法一因为PMMD，由(1)知
8、PMDC，又MD，DC平面ABCD，MDDCD，所以PM平面ABCD.连接AM，则PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以AM.又PA，所以PM2.由(1)知CDDM，过点M作MECD交AD于点E，则MEMD.故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，2，0)，P(0，0，2)，C(，1，0)，所以N，所以.易知平面PDM的一个法向量为n(0，1，0).设直线AN与平面PDM所成的角为，则sin |cos，n|.故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为.法二由(1)知AB平面PDM，所以NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角.
9、连接AM，因为PMMD，由(1)知PMDC，又MD，DC平面ABCD，MDDCD，所以PM平面ABCD.又AM平面ABCD，所以PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以由余弦定理得AM.又PA，所以PM2，所以PBPC2.连接BN，结合余弦定理得BN.连接AC，则由余弦定理得AC，在PAC中，结合余弦定理得PA2AC22AN22PN2，所以AN.所以在ABN中，cosBAN.设直线AN与平面PDM所成的角为，则sin cos BAN.故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为.9. (1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又AD
10、BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解：取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1).于是|cosn，|.直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.10. (1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QAQD，OAOD，则QOAD.又AD2，QA，故QO2
11、.在RtODC中，CO.因为QC3，故QC2QO2OC2，故QOC为直角三角形且QOOC.因为OCADO，OC，AD平面ABCD，故QO平面ABCD.因为QO平面QAD，故平面QAD平面ABCD.(2)解：在平面ABCD内，过O作OTCD，交BC于T，则OTAD，结合(1)中的QO平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系，则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，1，0)，故(2，1，2)，(2，2，0).设平面QBD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z，故n.易知平面QAD的一个法向量为m(1，0，0)，故cosm，n.所以平面BQD与平面AQD夹角的余弦值为.11.(1)
12、证明：因为ABAD，O为BD的中点，所以OABD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD.又CD平面BCD，所以AOCD.(2)解：法一如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.因为OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OCOBOD1，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，C.设A(0，0，a)，a0，因为DE2EA，所以E.由题意可知平面BCD的一个法向量为n(0，0，1).设平面BCE的法向量为m(x，y，z)，因为，所以即令x1，则y，z，所
13、以m.因为二面角EBCD的大小为45，所以cos 45，得a1，即OA1.因为SBCDBDCDsin 6021，所以VABCDSBCDOA1.法二因为OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OCOBOD1，所以BCD是直角三角形，且BCD90，BC，所以SBCD.如图，过点E作EFAO，交BD于F，过点F作FGBC，垂足为G，连接EG.因为AO平面BCD，所以EF平面BCD.又BC平面BCD，所以EFBC.又FGBC，且EFFGF，EF，FG平面EFG，所以BC平面EFG，又EG平面EFG，所以BCEG，则EGF为二面角EBCD的平面角，所以EGF45，则GFEF.因为DE2EA，所
14、以EFOA，DF2OF，所以2.因为FGBC，CDBC，所以GFCD，则，所以GF，所以EFGF，所以OA1，所以VABCDSBCDAO1.12. (1)证明：连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABAB2BB2ABBB1cosABB13，AB1，BBAB2AB，AB1AB.又ABC为等腰直角三角形，且ABAC，ACAB.ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，ABB1C.(2)解：AB1，ABAC1，B1C2，B1C2ABAC2，AB1AC.如图，以A为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1
15、(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，(1，0，)，(1，1，0).设平面BCB1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z1，得xy，平面BCB1的一个法向量为n(，1).(0，1，0)(1，0，)(1，1，)，cos，n，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.13.(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA垂直于圆所在的平面，得PA平面ABC.由BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.又因为BC平面PBC，据面面垂直判定定理，平面PAC平面PBC.(2)解：过点C作CMAP，由(1)知CM平面ABC.如图所示，以点C为坐
16、标原点，分别以直线CB，CA，CM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中，AB2，AC1，所以BC.又PA1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1).故(，0，0)，(0，1，1).设平面CPB的法向量为n1(x1，y1，z1)，则不妨令y11，则z11，故n1(0，1，1).设平面APB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由同理可得n2(1，0).于是|cosn1，n2|.平面CPB与平面APB夹角的余弦值为.14.解：(1)如图，连接OC，因为CBCD，O为BD的中点，所以COBD.又AO平面BCD，OB，OC平面BCD，所以AOOB，AOOC.以，为基底
17、，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BD2，CBCD，AO2，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2).因为E为AC的中点，所以E(0，1，1)，所以(1，0，2)，(1，1，1)，所以|cos，|.因此，直线AB与DE所成角的余弦值为.(2)因为点F在BC上，BFBC，(1，2，0)，所以.又(2，0，0)，故.设n1(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，则即取x12，得y17，z15，所以n1(2，7，5).设n2(x2，y2，z2)为平面DEC的一个法向量，又(1，2，0)，则即取x22，得y21，z21，所以n2(2，1，1).故|cos |.所
18、以sin .15.解：(1)因为PD平面ABCD，AD，DC平面ABCD，所以PDAD，PDDC.在矩形ABCD中，ADDC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设BCt，则A(t，0，0)，B(t，1，0)，M，P(0，0，1)，所以(t，1，1)，.因为PBAM，所以10，得t(t舍去)，所以BC.(2)由(1)可得(，0，1)，(，1，1).设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x1，则z12，y11，所以平面APM的一个法向量为n1(，1，2).设平面PMB的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即得x20，令y21，则z21，所以平面PMB的一个法向量为n2
19、(0，1，1).cosn1，n2，所以二面角APMB的正弦值为.16.解：依题意，建立以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2).设CFh(h0)，则F(1，2，h).(1)证明依题意，(1，0，0)是平面ADE的一个法向量，又(0，2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1，1，0)，(1，0，2)，(1，2，2).设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n (2，2，1).因此有cos，n.所以，直线CE与
20、平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m .又n(2，2，1)为平面BDE的一个法向量，故由题意，有|cosm，n|.解得h.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为.17.(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD.又BCAD，所以EF綉BC，所以四边形BCEF是平行四边形，则CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解：由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，(1，0，)，(1，0，0).设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z).因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由，解得(舍去)，所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2).于是|cosm，n|.因此平面MAB与平面DAB夹角的余弦值为.
