1、 圆章节知识点复习一、圆的定义及性质1、圆的定义 形成性定义：以_所形成的图形叫作圆； 集合定义： 圆可以看作是_集合；2弧：圆上任意两点间的部分叫做_,_半圆的的弧称为优弧，_半圆的弧称为劣弧3弦：连接圆上任意两点的线段叫做_ ，经过圆心的弦叫做_。4能够重合的两个圆叫做_，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做_。3、圆的对称性 圆是轴对称图形，_都是它的对称轴，圆有_条对称轴； 圆是以_为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。二、垂径定理垂径定理：_平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂
2、直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论： 是直径 弧弧 弧弧3、 圆心角、圆周角、弧、弦定理1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 2、圆周角与圆心角的关系：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半
3、圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。四、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 对角互补的四边形的顶点在同一个圆上。五、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系点在圆内 点在圆内；点在圆上 点在圆上；点在圆外 点在圆外；2、过三点的圆（1）过同一条直线上的三点_确定一个圆。 过_三点确定一个圆。(2) 三角形的外接圆:_ (3)三角形的外心:_七、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；八、切线的性
4、质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线直线和圆位置关系的判定：依据定义 依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系圆的切线的判定： 定义 依据d=r用判定定理圆的切线证明的两种情况：连半径，证垂直；作垂直，证半径。（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。九、切线长定理(1) 切线长定理：从圆外一点引
5、圆的两条切线，它们的_， 这点和圆心的连线_。即：、是的两条切线 _，_(2)三角形的内切圆_(3)三角形的内心_10、 圆内正多边形的计算1.正三角形 ： 在中是正三角形，有关计算在中进行：；2.正四边形的有关计算在中进行，：3.正六边形的有关计算在中进行，.十一、弧长与扇形面积1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： 【：圆心角 r：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积】十二、圆锥1、圆锥可以看做是直角三角形绕 旋转一周所成的图形。2、扇形的半径等于圆锥的_, 扇形的弧长等于圆锥的_.3、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积： 4、圆锥的母线长，高h，底面圆半径r满足关系式 圆中
6、常做辅助线1.作弦心距：圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题. 证明弦相等或已知弦相等时也常作弦心距.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.3.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径 连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角4.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.5.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.6.有等弧时常作辅助线有以下几种：作等弧所对的弦 作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角7.圆上有四点时
7、，常构造圆内接四边形.8.两圆相交时，常连结两圆的公共弦9.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.10.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.11.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。补充内容 圆章节知识点练习考点一：垂径定理1、下列命题： 垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦的直径垂直于弦；垂直且平分弦的直
8、线必定经过圆心。其中正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2、 半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为 cm3、如图，O的直径CD=5cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OD=3：5则AB的长是（）A、2cmB、3cm C、4cmD、2cm考点二：圆周角、圆心角定理1、 下列说法： 等弦所对的弧相等； 等弧所对的弦相等； 圆心角相等，所对的弦相等； 弦相等，所对的圆心角相等； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。 正确的个数为（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30,
9、 O的半径为，则弦CD的长为（ ）ABCDCBAO3、如图，A是O的圆周角，且A35,则OBC=_.BOCA4、如图，在O中，CBO=45，CAO=15，则AOB的度数是（ ）(A)75. (B)60. (C)45. (D)30.5、如图，在O中，ACOB，BAO=25，则BOC的度数为（A）25 （B）50 （C）60 （D）80考点三：直线与圆的关系1.如图，已知PA，PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P=40，则BAC度数是（ ） A70 B40 C50 D202、如图，在ABC中，AB2，AC1，3、以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（ ）。A、 B
10、、 C、 D、4、直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆半径为 ，内切圆半径为 5如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，且ABCD，AOCDBBBEFGB若OB=6，OC=8，则 ，O的半径= ，BE+CG= ABODPE6、如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且PDA=PBD。 (1) 判断直线PD是否为O的切线，并说明理由； (2) 如果BDE=60，PD=，求PA的长。7、如图，点A、B、C分别是O上的点，B=60，AC=3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：AP是O的切线；（2）求PD的长ABCODE
11、8、如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以BC为直径的O与底边AB交于点D，过D作，垂足为E.（1）证明：DE为O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求OEC的面积.考点：弧长、扇形面积（阴影面积）、圆锥1. 在中，如果的圆心角所对应的弧长为，则的半径为2. 圆心角为，半径为的弧长为3.半径是6，圆心角为120的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的 底面半径为。4、 如图，有一圆心角为120，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ） A. 4cm B. C. D. 5、 如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为
12、6 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（ ） A2 B4 C4 D57、 如图，AB=12，C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为 8、如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）9、 如图，在ABC中，ACB=， E为BC上一点，以CE为直径作O,AB与O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2.（1）求证：A=2DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）圆的基本性质基础练习一、选择题1、如图，是的外接圆，是直径，若，则
13、等于（ ）ADCB 第3题 A60 B50 C40 D30第2题OBDAC 第1题2、如图，AB是的直径，点C、D在上，则（ ）A70B60C50D403、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD/BC，AC平分，四边形ABCD的周长为10cm图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4、如图3，AB是O的弦，ODAB于D交O于E，则下列说法错误的是 A. AD=BDB.ACB=AOE C.AE=BED.OD=DE5、如图已知O的两条弦AC，BD相交于点E，A=70o，c=50o，那么sinAEB的值为（） A. B. C. D. 6、如图，直线AB与O相切于点A，O的半径为2，
14、若OBA = 30，则OB的长为（ ） A B4 C D27、如图5，AB是O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1h2| 等于（ ）A、5 B、6 C、7 D、8OAB第6题 第5题 第7题 二、填空题1、如图5，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cmCABS1S2 第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，A、B、c是0上的三点，以BC为一边，作CBD=ABC，过BC上一点P，作PEAB交BD于点E若AOC=60，BE=3，
15、则点P到弦AB的距离为_3、如图，ABC内接于O，AB=BC，ABC=120，AD为O的直径，AD6，那么BD_4、如图，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 5、如图，O的半径OA10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为_cm。BCAO 第5题 第6题 第7题 第8题6、如图7，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 .7、如图，在O中，ABC=40，则AOC 度8、如图，AB是O的直径，AC是弦，若ACO = 32，则COB的度数等于 9、（2009温州）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，0的半径为2
16、，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与0相切于点A (EFA与0除切点外无重叠部分)，延长FA交CD边于点G，则AG的长是 。10、如图6，已知AB是O的直径，PB是O的切线，PA交O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC= 11、已知O的直径AB=8cm，C为O上的一点，BAC=30，则BC=_cm.三、解答题1、如图，等腰中，以点为圆心作圆与底边相切于点求证： 2、如图8，半圆的直径，点C在半圆上，（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长PBCEA（图8）3、如图，AB为O的直径，D是O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，
17、F为CE上一点，且FDFEABCDEF(第21题图)O(1)请探究FD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为2，BD，求BC的长4、如图10，在O中，ACB=BDC=60，AC=，（1）求BAC的度数； （2）求O的周长ACDEBO（第43题图）l5、如图，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与O交于点 E (1) 求AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形 C6、如图，AB是O的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦AD/OC,弦DFAB于点G。 （1）求证：点E是的中点； （2）求证：CD是O的切线； （
18、3）若，O的半径为5，求DF的长。7、如图，在ABCD中，BAD为钝角，且AEBC，AFCD(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N求证：BM=ND8、已知：如图，O的直径AB与弦CD相交于，弧BC弧BD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F(1)求证:CDBF(2)连结BC,若O的半径为4,cosBCD=,求线段AD、CD的长9、如图11，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC，交AB的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线DE是O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值10、已知，如图在矩形ABCD中，点0在对
19、角线AC上，以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。ACB=DCE(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论； (2)若tanACB=，BC=2，求O的半径11、如图，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E。1、 求证：DE是O的切线；2、 作DGAB交O于G，垂足为F，若A30，AB8，求弦DG的长。12、如图，在ABC中，C=90，AC=3，BC=40为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE。 (1)当BD=3时，求线段DE的长； (2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F求证：
20、FAE是等腰三角形提升练习1正方形ABCD内接于半径为 的O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于_ABCDOE2已知正方形ABCD的边长为4，以AB为直径在正方形内作半圆，E是半圆上一点，且CECB，延长CE交BA延长线于点F，则EF的长为_ABCEFD3如图，在平面直角坐标系中，直线y x6分别与轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以CA为直径的D交x轴于另一点E，连接BE当D与直线BE相切时，点D的坐标为_ABCEDyxO4如图，O的半径为3，PA切O于点A，PA4，PO的延长线交O于点B，则弦AB的长为_ABPOABCODE5在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD
21、90，AD4，BC9，以AB为直径的O与CD相切于点E，则弦AE的长为_BCADO6如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODB_CBADEFO7如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，OD与BE交于点F若AB ，DE ，则AE的长为_8如图，边长为1的正方形ABCD内接于O，E为边CD的中点，连接AE并延长交O于点F则DF的长为_BCDAOEFABCDEFO9如图，正方形ABCD的边长为2，O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在O上的F点，则BE的长为_ABCDEPOMyx10如图，在平面直角坐标
22、系中，四边形OABC是矩形，OA4，AB2，直线yx 与x轴、y轴分别交于点D、E，M是AB的中点，P是线段DE上的动点若以PM为直径的圆与BC边相切，则点P的坐标为_11如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，AOB的外接圆与y轴交于点C（0，），AOB45，BAO60，则点A的坐标为_xyMOMABC历年成都中考数学汇编：圆(2021-2006)真题20（10分）如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且BCDA（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为，ABC的面积为2，求CD的长；（3）在（2）的条件下，E为O上一
23、点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长27. 如图，已知O的半径为2，以O的弦AB为直径作M，点C是O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2.(1)求C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tanABC=y，=x（0x3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.27已知：如图，与相交于两点，分别是两圆的圆心，内接于，弦交于点，交的直径于点，连结（1）求证：；（2）求证：；（3）若，的直径分别为，且，求和的长AEODCBGF模拟题A组最后一题20（10分）如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且DBA=B
24、CD（1）证明：BD是O的切线（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为16，cosBFA=，那么，你能求出ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由20（10分）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OMBC，交AC于点M（1）求AMO；（2）延长OM交O于点E，过E作O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G试判断四边形CFEM的形状，并说明理由； 若AG=2，CM=3，求四边形CFEM的面积20（10分）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边
25、相交于点E、F，连接EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：PEF的大小是否发生变化？请说明理由； 求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长20（10分）如图1，在O中，弦AB与弦CD相交于点G，OACD于点E，延长CD，过点B作BF交CD的延长线于点F，使FB=FG（1）判断FB与O的位置关系并证明你的结论；（2）如图2，连接BD，AC，若BD=BG，求证：ACBF；（3）在（2）的条件下，若tanF=，GD=3，求O的半径及BF的长20（10
26、分）如图，AB是圆O的直径，D、E为圆心O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，连接AC交圆心O于点F，连接AE、DE、DF，已知E=C（1）证明：CD=BD；（2）若E=55，求BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，E是弧AB的中点，cosB=，求EGED的值20（12分）已知，如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB=2PCB，AC=PC（1）求证：OCCP；（2）求cosPAC的值；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MNMC的值21（10分）如图，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于
27、点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB=2BCP（1）求证：直线CP是O的切线（2）若BC=2，sinBCP=，求点B到AC的距离（3）在第（2）的条件下，求ACP的周长20（10分）如图，在RtABC中，C=90，BD为ABC的平分线，DFBD交AB于点F，BDF的外接圆O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交O于点N，交AB于点H，连接FN（1）求证：AC是O的切线；（2）若AF=1，tanN=，求O的半径r的长；（3）在（2）的条件下，求BE的长20（10分）如图1，ABC内接于O，BAC的平分线AD交O于点D，交BC于点E，过点D作DFBC，交AB的延长线于点F（1）
28、求证：BDEADB；（2）试判断直线DF与O的位置关系，并说明理由；（3）如图2，条件不变，若BC恰好是O的直径，且AB=6，AC=8，求DF的长20（10分）已知：AB为O的直径，C是O上一点，如图，AB=12，BC=4BH与O相切于点B，过点C作BH的平行线交AB于点E（1）求CE的长；（2）延长CE到F，使EF=，连接BF并延长BF交O于点G，求BG的长；（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交BH于点D，求证：BD=BG20（10分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M（1）求证：BCCE=ACMC
29、；（2）若点D是劣弧AC的中点，tanACD=，MDBD=10，求O的半径（3）若CDAB，过点A作AFBC，交CD的延长线于点F，求的值基础题1如图，AB是O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CDAB，且CDAB，连接CB，与O交于点F，在CD上取一点E，使EFEC（1）求证：EF是O的切线；（2）若D是OA的中点，AB4，求CF的长2如图，在RtABC中，BAC90，以AB为直径的O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE（1）求证：DE是O的切线（2）若CE1，OA，求ACB的度数3如图，AB是O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分DAE交O于点C，ADDE于点D（1）求证
30、：直线DE是O的切线（2）如果BE2，CE4，求线段AD的长4如图，在ABC中，ABAC，点D在BC边上，且ADBD，O是ACD的外接圆，AE是O的直径（1）求证：AB是O的切线；（2）若AB2，AD3，求直径AE的长5如图，BC是O的直径，AD是O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EFAB，垂足为F，AEFD（1）求证：ADBC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，DAG2D求证：AG与O相切；当，CE4时，直接写出CG的长6四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，ADCD（1）如图1，求证ABC2ACD；（2）过点D作O的切线，交BC延长线于点P（如图2）若tanCAB，BC1，求PD的长7如图，AB是O的直径，点C，点D在O上，AD与BC相交于点E，AF与O相切于点A，与BC延长线相交于点F（1）求证：AEAF（2）若EF12，sinABF，求O的半径8如图，AB是O的直径，AC是O的一条弦，点P是O上一点，且PAPC，PDAC，与BA的延长线交于点D（1）求证：PD是O的切线；（2）若tanPAC，AC12，求直径AB的长40
