1、第2课时直线与椭圆,9.5椭圆,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,题型分类深度剖析,题型一直线与椭圆的位置关系,自主演练,1.若直线ykx1与椭圆 总有公共点，则m的取值范围是A.m1 B.m0C.0m0且m5，m1且m5.,解答,2.已知直线l：y2xm，椭圆C： .试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；,解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，,将代入，整理得9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.,解答,(2)有且只有一个公共点；,可知原方程组有两组相
2、同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.,解答,(3)没有公共点.,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.,研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.,题型二弦长及弦中点问题,多维探究,答案,解析,命题点1弦长问题,解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，,命题点2弦中点问题,答案,解析,解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,联立直
3、线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，,又因为a2b29，解得b29，a218.,命题点3椭圆与向量等知识的综合,解答,解由椭圆的焦距为2，知c1，,故b2a2c23，,解答,(2)求实数的值.,若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1).,(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.,(3)利用公式
4、计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,跟踪训练 (2018长春调研)已知椭圆 (ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e ，直线l交椭圆于M，N两点.(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长；,解答,将4x25y280与yx4联立，,解答,(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,解椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，,又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，,即Q的坐标为(3，2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，,即6x5y280.,高考中求椭圆的离心率问题,
5、高频小考点,离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,考点分析,解析,答案,1b2.,解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.,典例2(12分)(2016浙江)如图，设椭圆方程为 y21(a1).(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长
6、(用a，k表示)；,规范解答,规范解答解设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，,得(1a2k2)x22a2kx0，2分,(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.,规范解答,规范解答解假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分,因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，,因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a ，10分,课时作业,1.若直线mxny4与O：x2y24没有
7、交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆 的交点个数是A.至多为1 B.2C.1 D.0,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
8、(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
9、,16,答案,解析由题意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn2，,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知椭圆C： (ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF
10、，若|AB|10，|AF|6，cosABF ，则椭圆C的离心率e_.,解析,解析设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，且AFB90，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e .,解析,答案,3,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知F1，F2是椭圆C： (ab0)的左、右焦点，过F1
11、的直线l与椭圆交于A，B两点.若|AB|BF2|AF2|345，则椭圆C的离心率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,11.如图，椭圆C： (ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB| |BF|.(1)求椭圆C的离心率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，3a24c2，,(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
12、2,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.,得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.,即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2016全国)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为
13、定值，并写出点E的轨迹方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,解因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
14、,11,12,13,14,15,16,解答,解当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,点(1,0)在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两交点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.,技能提升练,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析方法一|OA|OF2|2|OM|，M在椭圆C的短轴上，设椭圆C
15、的左焦点为F1，连接AF1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AF1AF2，从而AF1F2OMF2，,又|AF1|2|AF2|2(2c)2，,又|AF1|AF2|2a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二|OA|OF2|2|OM|，,设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设|AF1|x(x0)，则|AF2|2x，,解析,答案,14.(2017安庆二模)已知椭圆 (ab0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于 ，则点P到直线QM的距离为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设A(x0，y0)，则B点坐标为(x0，y0)，,不妨取M(a,0)，则直线QM的方程为bxayab0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由题易知|x0|a，因为存在点P，
