1、 2021 学年第一学期天河区期末考试学年第一学期天河区期末考试 高一数学高一数学 一、选择题一、选择题 1. 下列函数中，既在 R 上单调递增，又是奇函数的是（ ） A. sinyx= B. 3yx= C. 1yx=+ D. 2xy = 2. 已知集合1,2,3,4,5,2,3,5,2,5UAB=，则（ ） A. AB B. 1,3,4UB = C. 2,5AB = D. 3AB= 3. 设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c=，则 a，b，c的大小关系是（ ） A. abc B. bac C. cba D. cab，0b ，若54abab=+，则 ab 的最小值是（ ）
2、 A. 5 B. 9 C. 16 D. 25 7. 使不等式260 xx成立的充分不必要条件是（ ） A. 20 x B. 23x C. 05x D. 24x ”是“22xy”的充分不必要条件 B. 命题“Zx ，20 x ”的否定是“0Zx，200 x ” C. 若不等式20 xaxb+的解集是( 3,2) D. “,0()3k ”是“不等式23208kxkx+，0c B. 若0 x 且1x ，则2loglog 2xx+的最小值是 2 C. 2x 时，22xxx+的最小值是2 21 D. (10)xx取得最大值时，5x = 11. 已知函数( )sin 26f xx=，则下列说法正确的是（
3、） A. 直线43x=是函数( )f x图象的一条对称轴 B. 函数( )f x在区间7,4 12上单调递减 C. 将函数( )f x图象上所有点向左平移6个单位长度，得到函数sin 26yx=+的图象 D. 若( )6f xaf对任意的0,2x恒成立，则1a ，令( )( )h xf xk=，则下列说法正确的是（ ） A. 函数( )f x的单调递增区间为()0,+ B. 当(43k, 时，( )h x有 3 个零点 C. 当2k = 时，( )h x所有零点之和为-1 D. 当(), 4k 时，( )h x有 1 个零点 三、填空题三、填空题 13. 函数1( )211xf xx= +的定
4、义域为_ 14. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为43( ,)55P，则tan()4=_ 15. 已知函数( )( )2 ,0,0 xxf xg xx为奇函数，则(2)g=_ 16. 若函数2( )61f xaxx=+在( 1,1)内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围为_ 四、解答题四、解答题 17. 已知集合1 |32Axx=，2 |40Bx x=， |0Mx xa=. （1）求AB，R() AB （2）若AMA=，求实数 a的取值范围 18. 已知cos() cos()2( )sin(2)f+= （1）若1( )3f=，求cos2值； （2）若1()63f=，且263 20. 已
5、知函数( )sin(4 )cos(4)36f xxx=+ （1）求函数( )f x的最小正周期和单调递增区间； 的的 （2）若( )f x在区间0,m上存在唯一的最小值为-2，求实数 m的取值范围 21. 某企业生产 A，B两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y与投资 x成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润 y 与投资 x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润 y 与投资 x的单位均为万元） （1）分别求 A，B 两种产品的利润 y 关于投资 x的函数解析式； （2）已知该企业已筹集到 200 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产 若将 200 万元资
6、金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？ 如果你是厂长，怎样分配这 200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？ 22. 设Ra，函数2( )2xxaf xa+= （1）若0a ，判断并证明函数( )f x单调性； （2）若0a ，函数( )f x在区间,m n（mn）上的取值范围是,22mnkk（kR） ，求ka的范围 的 2021 学年第一学期天河区期末考试学年第一学期天河区期末考试 高一数学高一数学 一、选择题一、选择题 1. 下列函数中，既在 R 上单调递增，又是奇函数的是（ ） A. sinyx= B. 3yx= C. 1yx=+ D. 2xy = 【答
7、案】B 【解析】 【分析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】sinyx=是奇函数，但在 R 上不单调递增，故 A不满足题意； 3yx=既在 R上单调递增，又是奇函数，故 B 满足题意； 1yx=+、2xy =不是奇函数，故 C、D不满足题意； 故选：B 2. 已知集合1,2,3,4,5,2,3,5,2,5UAB=，则（ ） A. AB B. 1,3,4UB = C. 2,5AB = D. 3AB= 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题BA，故 A 错； 1,2,3,4,5U =，2,5B =，1,3,4UB =，B
8、正确； 2,3,5AB =，C 错； 2,5AB=，D 错； 故选:B 3. 设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c=，则 a，b，c的大小关系是（ ） A. abc B. bac C. cba D. cab 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对数函数的知识判断出, ,a b c的范围即可. 【详解】因为50log 41a=，15log 30b = 所以cab 故选：B 4. 已知是锐角，那么2是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于 180的正角 D. 第一或第二象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由题知0,2，故()20,，进而得答案. 【详解】因
9、为是锐角,所以0,2,所以()20,满足小于 180的正角. 其中 D选项不包括90，故错误. 故选：C 5. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 2.0 1.0 0 1.00 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（ ）. A. yabx=+ B. xyab=+ C. logbyax=+ D. byax=+ 【答案】B 【解析】 【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察实验室指数型函数图象 【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示， 观察图象，类似于指数函数 对
10、于 A，是一次函数，图象是一条直线，所以 A 错误， 对于 B，是指数型函数，所以 B正确， 是 对于 C，是对数型函数，由于表中的x取到了负数，所以 C错误， 对于 D，是反比例型函数，图象是双曲线，所以 D错误， 故选：B 6. 设0a ，0b ，若54abab=+，则 ab 的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得ab的最小值. 【详解】0,0ab，542 44ababa bab=+=， ()()45510abababab=+， 50,25abab， 当且仅当4ab=时等号成立，由5425410baaababb=+=
11、. 故选：D 7. 使不等式260 xx成立的充分不必要条件是（ ） A. 20 x B. 23x C. 05x D. 24x 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答. 【详解】解不等式260 xx得：23x ， 对于 A，因 | 20 xx | 23xx ，即20 x 是260 xx成立的充分不必要条件，A正确； 对于 B，23x 是260 xx成立的充要条件，B不正确； 对于 C，因 |05xx | 23xx ，且 | 23 |05xxxx ， 则05x是260 xx成立的不充分不必要条件，C不正确； 对于 D，因 | 2
12、3xx | 24xx ，则24x 是260 xx”是“22xy”的充分不必要条件 B. 命题“Zx ，20 x ”的否定是“0Zx，200 x ” C. 若不等式20 xaxb+的解集是( 3,2) D. “,0()3k ”是“不等式23208kxkx+”的否定是“0Zx，200 x ”，故 B正确； 对于 C，若不等式 x2+axb0的解集是（2，3） ，则2，3 是方程 x2+axb0 的两个根， 由根与系数的关系可得a2+3，b6，可得 a1，b6， 所以 ax2x+b0即为x2x+60，即 x2+x60，解得3x2，可得不等式 ax2x+b0的解集为（3，2） ，故 C正确； 对于 D
13、，不等式23208kxkx+对一切 x都成立，当 k0 时，不等式38 0恒成立， 当 k0 时，0,k ，0c B. 若0 x 且1x ，则2loglog 2xx+的最小值是 2 C. 2x 时，22xxx+的最小值是2 21 D. (10)xx取得最大值时，5x = 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断 A，利用基本不等式判断 B，C，D，注意基本不等式成立的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可 【详解】对于选项 A，0ab，11ab， 又0c ，故选项 A正确， 对于选项 B，当01x时，2log0 x ， 2221loglog 2log0logxxxx+=+，2221
14、 2 21xxxxx+=+，当且仅当2xx=即2x =时，等号成立， 显然x取不到2，所以等号不能成立，故选项 C 错误， 对于选项 D：由(10) 0 xx可得010 x ， (10)(10)52xxxx+=，当且仅当10 xx=即5x =时，等号成立，故选项 D 正确， 故选：AD 11. 已知函数( )sin 26f xx=，则下列说法正确的是（ ） A. 直线43x=是函数( )f x图象的一条对称轴 B. 函数( )f x在区间7,4 12上单调递减 C. 将函数( )f x图象上的所有点向左平移6个单位长度，得到函数sin 26yx=+的图象 D. 若( )6f xaf对任意的0,
15、2x恒成立，则1a ，整理得1sin(2)62ax，令( )( )h xf xk=，则下列说法正确的是（ ） A. 函数( )f x的单调递增区间为()0,+ B. 当(43k, 时，( )h x有 3 个零点 C. 当2k = 时，( )h x的所有零点之和为-1 D. 当(), 4k 时，( )h x有 1 个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】画出( )f x的图象，然后逐一判断即可. 【详解】( )f x的图象如下： 由图象可知，( )f x的增区间为() ()1,0 , 0,+，故 A错误 当(43k, 时，( )yf x=与yk=有 3个交点，即( )h x有 3个零点，故 B正
16、确； 当2k = 时，由2232xx+= 可得12x = ，由2ln2x += 可得1x = 所以( )h x的所有零点之和为1212 + = ，故 C 错误； 当(), 4k 时，( )yf x=与yk=有 1个交点，即( )h x有 1个零点，故 D正确； 故选：BD 三、填空题三、填空题 13. 函数1( )211xf xx= +的定义域为_ 【答案】)()0,11,+ 【解析】 【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由2101xx ，解得0 x 且1x ，因此定义域为)()0,11,+. 故答案为：)()0,11,+. 14. 在单位圆中，已知角的
17、终边与单位圆的交点为43( ,)55P，则tan()4=_ 【答案】7 【解析】 【分析】先由三角函数定义得3tan4= ，再由正切的两角差公式计算即可. 【详解】由三角函数的定义有335tan445= ， 而311tan4tan()7341tan14+=+. 故答案为：7 15. 已知函数( )( )2 ,0,0 xxf xg xx为奇函数，则(2)g=_ 【答案】14#0.25 【解析】 【分析】利用奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为( )f x是奇函数，所以有21(2)(2)( 2)24gff= = = ， 故答案：14 16. 若函数2( )61f xaxx=+在( 1,1)内恰
18、有一个零点，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 3,3 【解析】 【分析】根据实数 a 的正负性结合零点存在原理分类讨论即可. 为 【详解】当0a =时，1( )610( 1,1)6f xxx= = ，符合题意， 当0a 时，二次函数2( )61f xaxx=+的对称轴为：3xa= ， 因为函数2( )61f xaxx=+在( 1,1)内恰有一个零点，所以有： (1)( 1)031ffa，或(1)( 1)031ffa ，即(5)(7)031aaa+或(5)(7)031aaa+ ， 解得：30a ，或03a， 综上所述：实数 a的取值范围为 3,3， 故答案为： 3,3 四、解答题四、解答题
19、17. 已知集合1 |32Axx=，2 |40Bx x=， |0Mx xa=. （1）求AB，R() AB （2）若AMA=，求实数 a的取值范围 【答案】 （1） | 23xx ；1 | 22xx . 【解析】 【分析】(1)解不等式化简集合 B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答. (2)由已知可得AM，再利用集合的包含关系列式计算作答. 【小问 1 详解】 解240 x 得：22x ，则 |22Bxx ，而1 |32Axx=， 所以 | 23ABxx= ，R1 |2Ax x=，R1() | 22ABxx= . 【小问 2 详解】 |Mx xa=， 所以实数 a 的取值范围是3a .
20、 18. 已知cos() cos()2( )sin(2)f+= （1）若1( )3f=，求cos2的值； （2）若1()63f=，且263，求sin的值 【答案】 （1）79 （2）2 616+ 【解析】 【分析】 （1）利用诱导公式化简可得( )cosf=，然后利用二倍角公式求解即可； （2）由条件可得1cos63=，sin632 2=，然后根据sinsinsincoscossin666666=+=+求解即可. 【小问 1 详解】 cos() cos()cos sin2( )cossin(2)sinf+= 因为1( )cos3f=，所以27cos22cos19= = 【小问 2 详解】 因为
21、1()cos663f=，263 所以062 【答案】 （1）f（x）为奇函数，证明见解析； （2）当 a1时，不等式的解集为（0，1） ；当 0a1时，不等式的解集为（1，0） 【解析】 分析】 （1）先求出函数的定义域，再求出 f（x）与 f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论； （2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得 x 的范围 【小问 1 详解】 对于函数( )log (1)log (1)aaf xxx=+， 由1 010 xx+，求得1x1，故函数的定义域为（1，1） ， 再根据( )()log (1)log (1)aafxxxf x= += 可得 f（x
22、）为奇函数 【小问 2 详解】 不等式 f（x）0，即 loga（x+1）loga（1x） ， 当 a1时，可得 x+11x，且 x（1，1） ，求得 0 x1 当 0a1 时，可得 x+11x，且 x（1，1） ，求得1x0， 综上，当 a1 时，不等式的解集为（0，1） ；当 0a1时，不等式的解集为（1，0） 20. 已知函数( )sin(4 )cos(4)36f xxx=+ （1）求函数( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）若( )f x在区间0,m上存在唯一的最小值为-2，求实数 m的取值范围 【答案】 （1）2T=,5,Z242242kkk+ （2）719,)2424 【
23、解析】 【分析】 （1）用诱导公式将函数化为sin()yAx=+，然后可解； （2）根据 m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解. 【小问 1 详解】 ( )sin(4 )cos(4)sin(4 )cos(4)2sin(4)363323f xxxxxx=+=+=+ 所以( )f x的最小正周期242T=， 由242,232kxkkZ+，解得5,242242xkkkZ+， 【 所以( )f x的单调递增区间为5,Z242242kkk+. 【小问 2 详解】 令4232xk+= +，得5,242kxkZ= + 因为( )f x在区间0,m上存在唯一的最小值为-2， 所以，5524224m+
24、+，即7192424m 所以实数 m的取值范围是719,)2424. 21. 某企业生产 A，B两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y与投资 x成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润 y 与投资 x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润 y 与投资 x的单位均为万元） （1）分别求 A，B 两种产品的利润 y 关于投资 x的函数解析式； （2）已知该企业已筹集到 200 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产 若将 200 万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？ 如果你是厂长，怎样分配这 200万元资金，可使该企业获得总利润最大？其最大利润
25、为多少万元？ 【答案】 （1）A 产品的利润 y关于投资 x 的函数解析式为：0.25 (0)yx x=； B 产品的利润 y关于投资 x的函数解析式为：2(0)yx x=. （2）45万元；当投入 B产品的资金为16万元，投入 A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元. 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可； （2）：利用代入法进行求解即可； 利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【小问 1 详解】 的 因为 A产品的利润 y与投资 x成正比， 所以设(0)ykx k=，由函数图象可知，当1x =时，
26、0.25y =， 所以有0.25k=，所以0.25 (0)yx x=； 因为 B产品的利润 y与投资 x的算术平方根成正比， 所以设(0)ym x m=，由函数图象可知：当4x =时，4y =， 所以有442mm=，所以2(0)yx x=； 【小问 2 详解】 : 将 200 万元资金平均投入两种产品的生产， 所以 A产品的利润为0.25 10025=， B 产品的利润为2 10020y =， 所以获得总利润为252045+=万元； ：设投入 B 产品的资金为(0200)xx万元，则投入 A 产品的资金为(200)x万元， 设企业获得的总利润为w万元， 所以10.25(200)22504wxx
27、xx=+= +，令(010 2)xtt= ， 所以2211( )250(4)5444wf tttt= += +， 当4t =时，即当16x =时，w有最大值，最大值为54， 所以当投入 B 产品的资金为16万元，投入 A产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元. 22. 设Ra，函数2( )2xxaf xa+= （1）若0a ，判断并证明函数( )f x的单调性； （2）若0a ，函数( )f x在区间,m n（mn）上的取值范围是,22mnkk（kR） ，求ka的范围 【答案】 （1）( )f x在R上递增，证明见解析. （2）()0,32 21 【解析】 【分析
28、】 （1）根据函数单调性的定义计算()()12f xf x的符号，从而判断出( )f x的单调性. （2）对a进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得ka的范围. 【小问 1 详解】 2222( )1222xxxxxaaaaf xaaa+= +， 当0a 时，( )f x的定义域为R， ( )f x在R上递增，证明如下： 任取()()()()21121212122222,22222xxxxxxaaxxf xf xaaaaa，所以( )()( )()12120,f xf xf xf x，所以( )f x在R上递增. 【小问 2 详解】 由于mn，所以22mn， 由,22mnkk知22mnkk
29、，所以0k . 由于0a ，所以0a . 当0a ，可化为()20tak tak+=， 其中0,0,0akak， 所以()202400akakakak，22600kakakaak+， 2016100kakkaaak，解得032 2ka时，函数2( )12xaf xa= +的定义域为2|logx xa， 函数( )f x在() ()22,log, log,aa+上递减. 若()2,log,m na+，则( )1f x ，于是02mk，这与0k 矛盾，故舍去. 所以()2,logm na ，则( )1f x ， 于是( )( )()()()()22222222222222mnmmmnnnmnnmnmakkf makaakakakaf na+=+=+=， 两式相减并化简得()()220nmak+=，由于,22nmmn， 所以0ak+=，所以1ka= . 综上所述，ka的取值范围是()0,32 21. 【点睛】函数( )f x在区间, a b上单调，则其值域和单调性有关，若( )f x在区间, a b上递增，则值域为( )( ),f af b；若( )f x在区间, a b上递减，则值域为( )( ),f bf a.
