1、 2020-2021 学年度第一学期期终高中一年级质量测试学年度第一学期期终高中一年级质量测试 数学科试题数学科试题 本试题共本试题共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 说明：说明：1答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，并在填写在答题卡上，并在“考场号考场号”、“座位号座位号”栏内填涂考场号、座位号栏内填涂考场号、座位号. 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；铅笔把答题卡上
2、对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上. 3非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不不按以上要求作答的答案无效按以上要求作答的答案无效. 4考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存考生必须保持
3、答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存. 一、单项选择题（一、单项选择题（8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分；在每小题提供的分；在每小题提供的 4 个选项中，只有一项符个选项中，只有一项符合题目要求）合题目要求） 1. 设集合 U=1,2,3,4, = 1,2,3, = 2,3,4,则U（ ）= A. 1，2 B. 2，3 C. 2，4 D. 1，4 2. 已知命题 p： ，2 2021那么为（ ） A. ，2 2021 B. ，2 2021 C. ，2 2021 D. ，2 2021 3. 若 0，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. 1 D. 1 4
4、. 已知函数 = ， = ， = 的图象如图所示，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若sin =13，则sin =（ ） A. 13 B. 13 C. 223 D. 223 6. 已知奇函数()在上是增函数，若 = log215， = (log24.1)， = (20.8)，则,的大小关系为 A. B. C. D. 0,| 0且 1，函数() = 1 1的图像恒过定点_ 14. 已知角 A为 的内角，cos = 45，则sin =_ 15. 若函数() = ( 0, 1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函
5、数() = (1 4)在0,+)上是增函数，则 a_. 16. 已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增.若实数 a满足 f（2|a-1|）f（2），则 a 的取值范围是_. 四、解答题（四、解答题（6 道大题，共道大题，共 70 分）分） 17 已知tan 4 =12 （1）求tan的值； （2）求sin2sin2+sincoscos21值 18. 已知函数() = 2+ + ，不等式() 0的解集为|1 0的解集； （2）当() = () 在 1,2上具有单调性，求的取值范围 19. 已知函数() = 4cossin( +6) 1. （）求()的最小正周期： （）
6、求()在区间6,4上的最大值和最小值. 20. 已知 a、 0且都不为 1，函数() = + （1）若 = 2， =12，解关于 x 的方程() = ( + 1)； （2）若 = 2，是否存在实数 t，使得函数() = + log2()为上的偶函数？若存在，求出 t的值，若不存在，说明理由 21. 某地区今年 1月、2 月、3月患某种传染病的人数分别为 52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，.的 根据今年 1 月、2月、3月的数据，甲选择了模型() = 2+ + ，乙选择了模型 = + ，其中y 为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数 （1）如果 4月、5 月、6月份的
7、患病人数分别为 66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由； （2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题 （参考数据：210= 1024，7793 88.28） 22. 对于函数()，若在定义域内存在实数0，满足(0) = (0)，则称()为“类函数”. （1）已知函数() = sin( +3)，试判断()是否为“类函数”？并说明理由； （2）设() = 2+ 是定义在1,1上的“类函数”，求是实数的最小值； （3）若() = log2(2 2)3, 2, 2021那么为（ ） A. ，2 2021 B. ，2 2021 C.
8、，2 2021 D. ，2 2021的否定为： ，2 2021. 故选：A 3. 若 0，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. 1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数 = 的单调性，即可判断选项 A是否正确；根据函数 =1在(,0)上单调递减，即可 判断选项 B是否正确；在根据不等式的性质即可判断选项 C，D 是否正确. 【详解】因为 0，又函数 = 在0， + 上单调递增，所以 ，故A错误； 因为 1，故 B 错误； 因为 0，又| = ，所以| ，故 C 正确； 因为 1，故 D 错误. 故选：C. 4. 已知函数 = ， = ， = 的图象如图所示，则、的大小关系为（
9、） A. B. C. D. 1， =12， 1， = 的图象经过点(4,2)， =12 当 = 1时， = = 12， ， 故选： 【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题. 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若sin =13，则sin =（ ） A. 13 B. 13 C. 223 D. 223 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边关于 y 轴对称可得关系 + = + 2, ，再利用诱导公式，即可得答案； 【详解】在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， + =
10、+ 2, ， sin =13， sin = sin( + 2 ) = sin =13, 故选：B. 【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6. 已知奇函数()在上是增函数，若 = log215， = (log24.1)， = (20.8)，则,的大小关系为 A. B. C. D. log24.1 2,1 20.8 log24.1 20.8， 结合函数的单调性有：(log25) (log24.1) (20.8)， 即 , 0,| 02 0，即函数()的定义域为(0,2)； 所以() = ln(2+ 2),(0,2) 又函数 = 2+ 2 = ( 1)2+ 1
11、，在区间(,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， 又函数 = ln在(0,+)上单调递增， 所以函数()在区间(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故 A错误； 由函数()在区间(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以()max= (1) = 0，即函数 = ()有只有一个零点 = 1，故 B 正确， C错误； 又(2 ) = ln(2 )2+ 2(2 ) = ln2+ 2 = ()，所以函数 = ()的图像关于直线 = 1对称，故 D 正确. 故选：BD. 11. 已知()，()均为定义在R上的函数，以下论断正确的是（ ） A. 若()，()均是奇函数，则() + ()
12、是奇函数 B. 若()，()均是奇函数，则()()是奇函数 C. 若()，()均是增函数，则() + ()是增函数 D. 若()，()均是增函数，则()()是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数与单调性的定义即可判断答案. 【详解】对 A，设() = () + ()，则() = ()+ () = () () = ()+ () =()，即() + ()是奇函数，A正确； 对 B，设() = ()()，则() = ()() = ()() = ()() = ()，即()()是偶函数，B错误； 对 C，设1 2，则(1) (2),(1) (2)，则(1) + (1) 0且 1，函数()
13、= 1 1的图像恒过定点_ 【答案】(1,0) 【解析】 【分析】令指数为 0 即可求得函数图象所过的定点. 【详解】由题意，令 1 = 0 = 1, = 1 1 = 0，则函数的图象过定点（1,0）. 故答案为： （1,0）. 14. 已知角 A为 的内角，cos = 45，则sin =_ 【答案】35#0.6 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角 A的范围，即可得答案. 【详解】因为角 A 为 的内角，所以 (0,)， 因为cos = 45， 所以sin = 1 cos2 =35. 故答案为：35 15. 若函数() = ( 0, 1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且
14、函数() = (1 4)在0,+)上是增函数，则 a_. 【答案】14 【解析】 【详解】 当 1时，有2= 4,1= ，此时 = 2, =12，此时() = 为减函数， 不合题意.若0 (2)可化为(2|1|) (2)，则2|1| 2，| 1| 12，解得12 0的解集为|1 0的解集； （2）当() = () 在 1,2上具有单调性，求的取值范围 【答案】 （1） 12,1 （2） 1或 1 【解析】 【分析】 （1）由不等式() 0的解集为|1 0求解即可； （2）由题意可得() = 2+ (3 ) 2，在 1,2上具有单调性可得区间1,2在对称轴的左侧或者右侧，列不等式，求解即可 【详
15、解】 （1）由() 0的解集为|1 0的解集为|1 2 ，则2 0的解集为|1 0 22+ 3 0 22 3 + 1 0且都不为 1，函数() = + （1）若 = 2， =12，解关于 x 的方程() = ( + 1)； （2）若 = 2，是否存在实数 t，使得函数() = + log2()为上的偶函数？若存在，求出 t的值，若不存在，说明理由 【答案】 （1） = 12 （2）存， = 12 【解析】 【分析】(1)根据题意可得2+ 2= 2+1+ 21，解方程即可； (2)由题意可得() = + log2(1 + 2)，结合偶函数的概念可得() = ( + 1) + log2(1+ 2)
16、，进而得到 = ( + 1)，解方程即可. 【小问 1 详解】 因为 = 2， =12，所以() = 2+ 2， 方程() = ( + 1)即为2+ 2= 2+1+ 21， 化简得2= 21，所以 = 1，解得 = 12； 【小问 2 详解】 因为 = 2，故() = + (2)= (1 + 2)， () = + log2()= + log2(1 + 2)， 因为()是偶函数，故() = ()对任意的实数 x成立， 而() = + log2(1 + 2) = + log21+22= ( + 1) + log2(1 + 2)， 于是 = ( + 1)对任意的实数 x 成立，解得 = 12 21.
17、 某地区今年 1月、2 月、3月患某种传染病的人数分别为 52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年 1 月、2月、3月的数据，甲选择了模型() = 2+ + ，乙选择了模型 = + ，其中y 为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数 （1）如果 4月、5 月、6月份的患病人数分别为 66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由； 在 （2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题 （参考数据：210= 1024，7793 88.28） 【答案】 （1）应将 = 2+ 50作为模拟函数，理由见解析 （2）至少
18、经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000人 【解析】 【分析】 （1）分别将 = 1，2，3代入两个解析式，求得 a，b，c，p，q，r，求得解析式，并分别检验 = 4，5，6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案. （2）令2+ 50 2000，可求得 x的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案. 【小问 1 详解】 由题意，把 = 1，2，3代入()得： + + = 52,4 + 2 + = 54,9 + 3 + = 58, 解得 = 1， = 1， = 52，所以() = 2 + 52， 所以(4) = 42 4 + 52 = 64，(5) = 52 5 + 52 = 72，(
19、6) = 62 6 + 52 = 82， 则|(4) 66| = 2，|(5) 82| = 10，|(6) 115| = 33； 把 = 1，2，3代入 = () = + ，得： + = 52,2+ = 54,3+ = 58, 解得 = 1， = 2， = 50，所以() = 2+ 50， 所以(4) = 24+ 50 = 66，(5) = 25+ 50 = 82，(6) = 26+ 50 = 114， 则|(4) 66| = 0，|(5) 82| = 0，|(6) 115| = 1 因为(4)，(5)，(6)更接近真实值，所以应将 = 2+ 50作为模拟函数； 【小问 2 详解】 令2+ 5
20、0 2000，解得 log21950 由于210= 1024 1950 2048 = 211即log21950 (10,11)， 所以至少经过 11个月患该传染病的人数将会超过 2000 人 22. 对于函数()，若在定义域内存在实数0，满足(0) = (0)，则称()为“类函数”. （1）已知函数() = sin( +3)，试判断()是否为“类函数”？并说明理由； （2）设() = 2+ 是定义在1,1上的“类函数”，求是实数的最小值； （3）若() = log2(2 2)3, 2, 2为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围. 【答案】 （1）函数() = sin( +3)是“类函数”；
21、 （2）54； （3）1,1). 【解析】 【详解】试题分析：(1) 由() = ()，得sin( +3) = sin( +3)整理可得0=2 满足(0) =(0) (2) 由题存在实数0 1,1满足(0) = (0)，即方程2+ 2+ 2 = 0在1,1上有解.令 = 212,2分离参数可得 = 12( +1)，设() = 12( +1)求值域，可得 取最小值54 (3) 由题即存在实数0，满足(0) = (0)，分0 2，2 0 0对 2恒成立，得 1 因为若() = log2(2 2)3, 2, 2为其定义域上的“类函数” 所以存在实数0，满足(0) = (0) 当0 2时，0 2，所以
22、3 = log2(02 20)，所以 =12040 因为函数 =12 4（ 2）是增函数，所以 1 当2 0 2时，2 0 2，所以3 = 3，矛盾 当0 2时，0 2，所以log2(02+ 20) = 3，所以 = 120+40 因为函数 = 12 +4( 2)是减函数，所以 1 综上所述，实数的取值范围是1,1) 点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数图像，然后数形结合求解. 的
