1、 2021 学年第一学期期末教学质量监测学年第一学期期末教学质量监测 高一数学试题高一数学试题 本试卷共本试卷共 4页，共页，共 22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写改
2、动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知集合 03Axx=，14Bxx=，则AB=（ ） A (0,1 B. )1,3 C. )3,4 D. (0,4 2. 已知是第三象限角，且3cos5= ，则sin=（ ） A. 45 B. 25 C. 25 D.
3、45 3. 已知指数函数xya=的图象过点(2,4)，则log 4 =a（ ） A. 14 B. 12 C. 2 D. 4 4 已知21,0( )2 ,0 xxf xx x+=，则22ab B. 若,ab cd，则acbd+ C. 若0abc，则ccab D. 若1a ，则131aa+ 11. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+上单调递增的函数有（ ） A. |yx= B. 3yx= C. | |2xy = D. |1|yx=+ 12. 如图，对于任意正数, ()u v uv记曲线1yx=与直线,0=xu xv y所围成的曲边梯形面积为( , )L u v，并约定( , )0=L u u和(
4、 , )( , )= L v uL u v已知(1, )ln=Lxx，则以下命题正确的有（ ） A. ()1e ,2ln21=L B. (2,3)(4,6)=LL C. 对任意正数 k和1uv，有( , )(,)=L u vL ku kv D. 对任意正数 k和1，且1a ） （1）若函数( )f x的图象过点(0,2)，求 b的值； （2）若函数( )f x在区间2,3上最大值比最小值大22a，求 a 的值 18. 在两个相邻对称中心的距离为2，两条相邻对称轴的距离为2，两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解 问题：函数( )cos()(0,0)2f xx
5、 =+的图象过点10,2，且满足_当0,2时，222= f，求sin的值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数( )1xf xx=+ （1）证明：函数( )f x在区间()1, +上单调递增； （2）已知()()()3230.2,log 5 ,log 7=afbfcf，试比较三个数 a，b，c 的大小，并说明理由 20. 已知函数( )3sin2cos2f xxxa=+的最小值为 0 （1）求 a 的值： （2）若( )f x在区间,3m上的最大值为 4，求 m的最小值 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个
6、筒车按逆时针方向匀速转动每分钟转动 5 圈，如图，将该简车抽象为圆 O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点 P，已知圆 O的半径为4m，圆心 O距离水面2m，且当圆 O上点 P从水中浮现时（图中点0P）的 开始计算时间 （1）根据如图所示的直角坐标系，将点 P到水面的距离 h（单位：m，在水面下，h 为负数）表示为时间 t（单位：s）的函数，并求13t =时，点 P 到水面的距离； （2）在点 P从0P开始转动一圈内，点 P到水面的距离不低于4m的时间有多长？ 22. 已知函数2( )2221,= +Rf xxaxaa （1）若函数( )f x在区间(0,1)上有且仅有 1 个零点，求 a的取值范
7、围： （2）若函数( )f x在区间 1,1上的最大值为12，求 a的值 的 2021 学年第一学期期末教学质量监测学年第一学期期末教学质量监测 高一数学试题高一数学试题 本试卷共本试卷共 4页，共页，共 22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改
8、动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知集合 03Axx=，14Bxx=，则AB=（ ） A. (0,1 B. )1,3 C. )3,4 D. (0,4 【答案】B 【解析】 【
9、分析】根据已知条件，由交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合03Axx=，14Bxx=， 所以13ABxx=，即)1,3AB=， 故选：B. 2. 已知是第三象限角，且3cos5= ，则sin=（ ） A. 45 B. 25 C. 25 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】由是第三象限角可判断sin0，利用平方关系即可求解. 【详解】解：因为是第三象限角，且3cos5= ， 所以24sin1 cos5= = ， 故选：A. 3. 已知指数函数xya=的图象过点(2,4)，则log 4 =a（ ） A. 14 B. 12 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数过点
10、代入求出a，计算对数值即可. 【详解】因为指数函数xya=的图象过点(2,4)， 所以24a=，即2a =， 所以2log 4log 42a=， 故选：C 4. 已知21,0( )2 ,0 xxf xx x+=，若( )10f a =，则=a（ ） A. 3或3 B. 3 或 5 C. 3或 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分0a 与0a 两种情况讨论即可求解. 【详解】解：由题意，当0a 时，( )2110f aa=+ =，解得3a =或3a = （舍去） ； 当0a ，则22ab B. 若,ab cd，则acbd+ C. 若0abc，则ccab D. 若1a
11、 ，则131aa+ 的 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可. 【详解】对于 A选项，当1,2ab= 时，满足ab，但是22ab，但是1132，所以10a ，()()1111211311aaaa+ + =，当且仅当111aa =，即2a =时，等号成立，故 D正确； 故选：BD. 11. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+上单调递增的函数有（ ） A. |yx= B. 3yx= C. | |2xy = D. |1|yx=+ 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解. 【详解】解：对 A：( )|f
12、xx=，定义域为 R，因为()( )|fxxxfx=，所以( )f x为偶函数，且,()0 x+时，( )f xx=，由幂函数的性质知函数( )f x在(0,)+上单调递增，故选项 A正确； 对 B：( )3f xx=，定义域为 R，因为()()( )33fxxxf x= = = ，所以( )f x为奇函数，故选项 B错误； 对 C：( )| |2xf x =，定义域为 R，因为()( )| |22xxfxf x=，所以函数( )f x为偶函数，且,()0 x+时，( )2xf x =，由指数函数的性质知函数( )f x在(0,)+上单调递增，故选项 C正确； 对 D：( )|1|f xx=+
13、，定义域为 R，因为()( )|1|fxxf x= +，且()( )|1|fxxf x= + ，所以函数( )f x不具有奇偶性，故选项 D 错误. 故选：AC. 12. 如图，对于任意正数, ()u v uv记曲线1yx=与直线,0=xu xv y所围成的曲边梯形面积为 ( , )L u v，并约定( , )0=L u u和( , )( , )= L v uL u v已知(1, )ln=Lxx，则以下命题正确的有（ ） A. ()1e ,2ln21=L B. (2,3)(4,6)=LL C. 对任意正数 k 和1uv，有( , )(,)=L u vL ku kv D. 对任意正数 k和1uv
14、，有()( , ),=kkkL u vL u v 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据题意，得到()()()11e ,21,e1,2LLL= +，再进行求解即可；同样的方法使用与BCD选项. 详解】()()()()1111e ,2e ,11,21,eln2ln21 llnn2eLLLL=+= += += +，A选项错误； 3(2,3)(2,1)(1,3)(1,2)(1,3)ln2ln3ln2LLLLL=+= += +=，63(4,6)(4,1)(1,6)(1,4)(1,6)ln6ln4lnln42LLLLL=+= +=，(2,3)(4,6)=LL，B选项正确； 对任意正数 k和1uv
15、，( , )(1, )(1, )lnlnlnvL u vLuLvvuu= +=，(,)(1,)(1,)lnlnlnvL ku kvLkuLkvkvkuu= +=，故( , )(,)=L u vL ku kv，C 正确； 对任意正数 k和1，解得：2x ，所以定义域为()2,+. 故答案为：()2,+ 14. 已知tan3=，则sincossincos+=_ 【答案】2 【解析】 【分析】将齐次式弦化切即可求解. 【详解】解：因为tan3=， 所以sincostan13 12sincostan13 1+=， 故答案为：2. 15. 已知命题p：x R，都有20 xaxa+是真命题，则实数a取值范
16、围是_ 【答案】0,4 【解析】 【分析】 由于x R，都有20 xaxa+，所以0 ，从而可求出实数a的取值范围 【详解】解：因为命题p：x R，都有20 xaxa+是真命题， 所以0 ，即240aa，解得04a， 所以实数a的取值范围为0,4， 故答案为：0,4 16. 已知函数( ) |lg(1)|=f xxk有两个零点分别为 a，b，则ab+的取值范围是_ 【答案】(4,)+ 【解析】 【分析】根据函数零点可转化为|lg(1)|xk=有 2 个不等的根，利用对数函数的性质可知111ba =，由均值不等式求解即可. 详解】不妨设ab， 1112212411abaaaa += + +=，
17、当且仅当111aa =，即2a =时等号成立，此时ab=不满足题意， 4ab+， 即(4,)ab+ +， 故答案为：(4,)+ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数( )xf xab=+（0a ，且1a ） （1）若函数( )f x的图象过点(0,2)，求 b的值； （2）若函数( )f x在区间2,3上的最大值比最小值大22a，求 a的值 【答案】 （1）1 （2）12a =或32 【解析】 【分析】 （1）将点坐标代入求出 b的值； （2）分01a两种情况，根据函数单
18、调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解 a的值. 【小问 1 详解】 0(0)12fabb=+= +=，解得1b =. 【小问 2 详解】 当01a时，( )f x在区间2,3上单调递增，此时( )( )2min21f xfa=+，( )( )3max31f xfa=+，所以()232112aaa+ +=，解得：32a =或 0（舍去）. 综上：12a =或32 18. 在两个相邻对称中心的距离为2，两条相邻对称轴的距离为2，两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解 问题：函数( )cos()(0,0)2f xx =+，解得：2=，因为图象过点10,2，所以
19、1cos2=，因为02，解得：2=，因为图象过点10,2，所以1cos2=，因为02，所以3=，所以( )cos(2)3f xx=+，因为222= f， 所以cos()322+= ，因为0,2，所以 5336,+，所以22212sin2()3= =+，sinsinsin()()cos()sin333cos333=+ 21232622224+=+=； 19. 已知函数( )1xf xx=+ （1）证明：函数( )f x在区间()1, +上单调递增； （2）已知()()()3230.2,log 5 ,log 7=afbfcf，试比较三个数 a，b，c 的大小，并说明理由 【答案】 （1）证明见解析
20、 （2）acb 【解析】 【分析】 （1）根据函数单调性的定义即可证明； （2）先比较3320.2 log 7,log 5,三个数的大小，再利用函数( )f x的单调性即可比较 a，b，c 的大小. 【小问 1 详解】 证明：函数1( )111xf xxx= +， 任取()12,1,x x +，且12xx， 则()()1212122121111()()111111111xxf xf xxxxxxx= =+， 因为()12,1,x x +，且12xx+ ，120 xx， 所以12()0(f xf x，即12()()f xf x， 所以函数( )f x在区间()1, +上单调递增； 【小问 2 详
21、解】 解：由（1）可知函数( )f x在区间()1, +上单调递增， 因为300.21，22log 53，31log 72， 所以3320.2log 7log 5， 所以()()()3320.2log 7log 5fff，即acb，解得：1124a， 综上：a的取值范围是1 1,2 4 【小问 2 详解】 ( )f x对称轴为2ax =，当12a ，即2a 时，( )f x在 1,1上单调递减，()max1( )112f xf= ，舍去； 当112a ，即22a 时，22max1( )21222aaf xfaa= + =，解得：23a = +或232a = ，即2a 时，( )f x在 1,1上单调递增，( )max1( )1412f xfa= =，解得：328a =（舍去） ； 综上：23a = + 的
