1、 宝安区宝安区 2020- -2021 学年第一学期期末调研测试卷高一数学学年第一学期期末调研测试卷高一数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 50 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数01( )(3)2f xxx=+的定义域是 A. 2
2、,)+ B. (2,)+ C. (2,3)(3,)+ D. 3,)+ 3. 命题:pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根，则（ ） A. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =没有实根 B. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =没有实根 C. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根 D. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根 4. 设当x=时，函数3sincosyxx=取得最大值，则sin=（ ） A. 1010 B. 1010 C. 3 1010 D. 3 1010 5. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log
3、1SCWN=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式， 若不改变带宽W， 而将信噪比SN从 1000 提升至 4000， 则C大约增加了 （ ） 附：lg20.3010 A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 6. 将函数sin(2)6yx=图象向左平移4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 3x= B. 6x= C. 12x= D. 12x= 7. 已知1tan()42+=，且02，则22sins
4、in2cos()4+= A. 2 55 B. 3 510 C. 3 1010 D. 2 55 8. 已知22( )log (1)24f xxxx=+，若()2120f xx+，若不等式3103mabab+恒成立，则m的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10. 函数2(0)1axyax=+的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 10 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分
5、，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的的分，有选错的的 0分分. 11. 下表表示 y 是 x的函数，则（ ） x 05x 510 x 1015x 1520 x y 2 3 4 5 A. 函数的定义域是(0,20 B. 函数的值域是2,5 C. 函数的值域是2,3,4,5 D. 函数是增函数 12. 已知2,1( )2,1xxf xkkxx +时，( )f x在 R 上单调递减 B. 当12k 时，( )f x没有最小值 C. 当1k = 时，( )f x的值域为(0,)+ D. 当3k = 时，11x，21x的图像恒过定点的坐标为_. 15. 若( )f x是定义在 R 上的奇
6、函数，当0 x 时，( )122xf xxm=+(m为常数)，则当0 x 个单位长度， 得到( )yg x=的图象 若( )yg x=图象的一个对称中心为5(,0)12，求的最小值 20. 已知不等式()()22log1log72xx+. （1）求不等式的解集A； （2）若当xA时，不等式 1114242xxm+总成立，求m的取值范围. 21. 已知函数 f (x)xaxb+(a，b 为常数，且 a0)满足 f (2)1，方程 f (x)x 有唯一解， （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若2x ，解得2x 且3x 函数01(3)2yxx=+的定义域为(2,3)(3,)+ 故选：C 3.
7、命题:pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根，则（ ） A. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =没有实根 B. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =没有实根 C. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根 D. :pmR，一元二次方程210 xmx+ =有实根 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定为特称命题可得出. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题， 所以:pmR，一元二次方程210 xmx+ =没有实根. 故选：B. 4. 设当x=时，函数3sincosyxx=取得最大值，则sin=（ ） A. 1010 B. 1010 C. 3 1010 D
8、. 3 1010 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：( )10sin()f xx=，并求出cos和sin，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出的表达式，由诱导公式求出sin的值 【详解】解：函数( )3sincosyf xxx= 3110(sincos )1010 xx= 10sin()x=（其中3cos10=，1sin)10= 又x=时( )f x取得最大值， 22k=+，kZ，即22k=+，kZ， sinsin(2)sin()22k=+=+ 33 10cos1010=， 故选：D 5. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香
9、农公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式， 若不改变带宽W， 而将信噪比SN从 1000 提升至 4000， 则C大约增加了 （ ） 附：lg20.3010 A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算出22log 4000log 1000的值即可； 【详解】当1000SN=时，2log 1000CW=，当4000SN=时，2log0004C
10、W=， 因为22log 4000lg400032lg23.60201.2log 1000lg100033+= 所以将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则C大约增加了 20%， 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6. 将函数sin(2)6yx=图象向左平移4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 3x= B. 6x= C. 12x= D. 12x= 【答案】C 【解析】 【 详 解 】 试 题 分 析 ： 将 函 数sin 26yx=图 象 向 左 平 移4个 单 位 得 到sin 2sin 2463yxx=+=+，令232
11、122kxkx+=+=+，当0k =时得对称轴为12x= 考点：三角函数性质 7. 已知1tan()42+=，且02，则22sinsin2cos()4+= A. 2 55 B. 3 510 C. 3 1010 D. 2 55 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用两角和的正切公式求得 tan 的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得2224sinsincos+的值 【详解】解：tan（4+）1112tantan+=，则 tan13= ， tansincos=，sin2+cos21，（2，0） ， 可得 sin1010= ()2222coscos44sinsincossinsin+
12、= ()()42sinsincossincos+=+22sin22（1010）2 55= 故选 A 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题 8. 已知22( )log (1)24f xxxx=+，若()2120f xx+，解得：1x ， 并且在区间()1,+上，函数单调递增，且( )22f=， 所以()()( )2212012f xxf xxf+ ，解得：1512x+或1502x，若不等式3103mabab+恒成立，则m的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】用分离参数法转
13、化为()313mabab+恒成立，只需()min313mabab+， 再利用基本不等式求出()313abab+的最小值即可. 【详解】因为0,0ab，所以30ab+， 所以()313mabab+恒成立，只需()min313mabab+ 因为0,0ab， 所以()3133333=91 10216ababababbaba+ +=， 当且仅当33=abba时，即ab=时取等号. 所以16m . 即m的最大值为 16. 故选：D 10. 函数2(0)1axyax=+的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正
14、确结论 【详解】 记2( )1axf xx=+， 函数定义域为R， 则2()1axfxx= +( )f x= ， 函数为奇函数， 排除 BC， 又0 x 时，( )0f x ，排除 D 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 10 分，在每小题给分，在每小题给出的四个选
15、项中，出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的的分，有选错的的 0分分. 11. 下表表示 y 是 x 的函数，则（ ） x 05x 510 x 1015x 1520 x y 2 3 4 5 A. 函数的定义域是(0,20 B. 函数的值域是2,5 C. 函数的值域是2,3,4,5 D. 函数是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断. 【详解】由表格可知：函数的定义域是(0,20，值域是2,3,4,5， 此函数为分
16、段函数，在各自的区间内都是常函数， 故函数不是增函数； 故选：AC. 12. 已知2,1( )2,1xxf xkkxx +时，( )f x在 R 上单调递减 B. 当12k 时，( )f x没有最小值 C. 当1k = 时，( )f x的值域为(0,)+ D. 当3k = 时，11x，21x时，121 +=，2221kkk+=+，221k +，( )f x在R上不是减函数，A 错； 由上面讨论知0k 时，( )f x在1,)+上是减函数，无最小值而1x 时2( )f xx= +递减，也无最小值，因此( )f x无最小值， 当102k，不是( )f x的最小值， 综上，( )f x无最小值，B
17、正确； 1k = 时，1x ，( )2(1,)f xx= + +， 1x时，11( )121f xxx= += +是增函数，(1)0f=，1( )1 0,1)f xx= + ， ( )f x的值域是0,1)(1,)+，C 错； 3k = 时，1x时，3( )1 4, 1)f xx= ，而1x 时，( )2(1,)f xx= + +， (1,4(1,)+，因此11x，21x的图像恒过定点的坐标为_. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】 令真数211x =，求出x的值和此时y的值即可得到定点坐标 【详解】令211x =得：1x =， 此时log 12022ay =+=+=， 所以函数的图象恒过
18、定点(1,2)， 故答案为：(1,2) 15. 若( )f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，( )122xf xxm=+(m为常数)，则当0 x 时，( )f x =_. 【答案】221xx+ 【解析】 【分析】 根据( )00f=得到1m = ，再取0 x ，根据函数奇偶性得到表达式. 【详解】( )f x是定义在 R 上的奇函数，则( )011020fmm=+= +=，故1m = ， 0 x ，则( )()1212212xxf xfxxx= = = +. 故答案为：221xx+. 16. 幂函数( )()254mmfxxmZ+=为偶函数且在区间()0,+上单调递减，则m =_，1
19、2f=_. 【答案】 (1). 2m =或 3 (2). 4 【解析】 【分析】 根据题意可得：2540mm+ 【详解】( )f x区间()0,+上单调递减，254014mmm+ ， mZ2m =或 3， 当2m =或 3 时，都有2542mm+= ， ( )2f xx=， 142f=. 故答案为：2m =或 3; 4. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤） 17. 已知函数( )f x满足(1)f xxa+=+，且(1)1f=. （1）求 a 和函数( )f x
20、的解析式； （2）判断( )f x在其定义域的单调性. 【答案】 （1）1a =；( )f xx=； （2）( )f x在其定义域为单调增函数. 【解析】 【分析】 （1）由(1)f xxa+=+，可得( )1f xxa= +，再由(1)1f=，可求出a的值，从而可得函数的解析式； （2）利用函数的单调性定义进行判断即可 【详解】解： （1）由(1)f xxa+=+， 得( )1f xxa= +， (1)1 11faa= +=， 得1a =； 所以( )f xx=； （2）该函数的定义域为0,)+， 令12xx， 所以2121()()f xf xxx= 2121212121()()xxxxxx
21、xxxx+=+， 因为210 xx，210 xx+， 所以21()()0f xf x， 所以( )f x在其定义域为单调增函数. 18. 已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（3455，） （）求 sin（+）的值； （）若角 满足 sin（+）=513，求 cos的值 【答案】（）45；（）5665 或1665 . 【解析】 【分析】分析： （）先根据三角函数定义得sin，再根据诱导公式得结果， （）先根据三角函数定义得cos，再根据同角三角函数关系得()cos+，最后根据()=+，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解： （）由角的终边过点34
22、,55P得4sin5= ， 所以()4sinsin5+= =. （）由角的终边过点34,55P得3cos5= ， 由()5sin13+=得()12cos13+= . 由()=+得()()coscoscossinsin=+， 所以56cos65= 或16cos65=. 点睛：三角函数求值的两种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 19. 某同学用“五点法”画函
23、数( )sin()(0,)2f xAx=+个单位长度， 得到( )yg x=的图象 若( )yg x=图象的一个对称中心为5(,0)12，求的最小值 【答案】 （）( )5sin(2)6f xx=； （）6 【解析】 【详解】 （）根据表中已知数据，解得5,2,6A= 数据补全如下表： x+ 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 sin()Ax+ 0 5 0 5 0 且函数表达式为( )5sin(2)6f xx= （）由（）知 ( )5sin(2)6f xx=，得( )5sin(22)6g xx=+ 因为sinyx=的对称中心为( ,0)k，kZ 令226xk+=，解得212
24、kx=+，kZ 由于函数( )yg x=的图象关于点5(,0)12成中心对称，令521212k+=， 解得23k=，kZ由0可知，当1k =时，取得最小值6 考点： “五点法”画函数( )sin()(0,)2f xAx=+ + ，因此，原不等式的解集为(1,2； （2）令( )1114242xxf x=+，则原问题等价( )minf xm， 且( )1144242xxf x= +，令11,224xt=， 可得( )221442412f xttt=+=+， 当12t =时，即当1x =时，函数( )yf x=取得最小值，即( )( )min11f xf=，1m. 因此，实数m的取值范围是(,1.
25、 【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题在转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 21. 已知函数 f (x)xaxb+(a，b 为常数，且 a0)满足 f (2)1，方程 f (x)x 有唯一解， （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若2x ，求函数( )( )g xxf x=的最大值. 【答案】 （1）f(x)=22xx+； （2）16. 【解析】 【分析】 （1）由( )f xx=可得2(1)0axbx+=，由此方程的解唯一，可得 2(1)0b =，可求出1b =，再由f (2)1，可求出a的值，进而可求
26、出函数 f(x)的解析式； （2）由题意可得2222( )122xg xxxx=+，然后求出 22121112()48xxx+=+的最小值，可得( )g x的最大值 【详解】解： （1）由( )f xx=，得xxxab=+，即 2(1)0axbx+=. 因为方程( )f xx=有唯一解， 所以2(1)0b =，即1b =， 因为 f (2)1，所以22ab+1， 所以12a =， 所以( )112xf xx=+ 22xx+； （2）因为2x 、0a =、0a 时，若xa，由基本不等式可得( )()2222af xxaaaaxa+=+， 若xa，由基本不等式可得( )()()22222aaf xaxaaxaaaaxax= + +=. 此时，函数( )f x的值域为(),2222,aaaa+， 当0a =时，( )22xaaf xxa+=的值域为()(),00,+， 当0a 或0a =，由此得到04a. 因此，实数a的取值范围是)0,4.
