1、 广东省揭阳市广东省揭阳市 2020-2021 学年高二下学期教学质量测试数学试卷学年高二下学期教学质量测试数学试卷 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1.已知全集 = 0,1,2,3,4 ，集合 = 1,2,3, = 2,4 ，则 (U) = （ ） A.4 B.2 C.0,2,4 D.0,2,3,4 2.设 l 是直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 /,/ ，则 / B.若 ,/ ，则 C
2、.若 , ，则 / D.若 , ，则 3.复数 =i2i （i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A.(15,25) B.(15,25) C.(15,25) D.(15,25) 4.2020 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过 1 倍.某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对 2000 头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A.这 2000 头生猪体重的众数为 160kg B.这 2000 头生猪体重的中位数落在区间16
3、0，180）内 C.这 2000 头生猪中体重不低于 200kg 的有 40 头 D.这 2000 头生猪体重的平均数为 152.8kg 5.已知双曲线 2222= 1 （a0，b0）的两条渐近线斜率分别为 1,2 ，若 1 2= 4 ，则该双曲线的离心率为（ ） A.5 B.5 C.52 D.52 6.设变量 x，y 满足约束条件 0 + 02 + 1 ，则 24 的最大值是（ ） A.3 B.13 C.1 D.8 7.已知函数 = 2+ 1 （a0， 且 a1） 过定点 P， 若点 P 在直线 2mxny60 （mn0） 上， 则 1+2 的最小值为（ ） A.2 B.83 C.8 D.5
4、3 8.已知 = () 为奇函数， = ( + 1) 为偶函数，若当 0,1 时， () =log2( + ) ，则 (2023) = （ ） A.1 B.0 C.1 D.2 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9.已知函数 () = cos( 3) + 1 ，则下列结论正确的是（ ） A.g（x）的图象关于直线 =3 对称 B.
5、g（x）的图象关于点 (56,0) 对称 C.g（x）在区间 (6,6) 上单调递增 D.g（x）在区间 (0,76) 上有两个零点 10.已知 ( 1)8= 0+ 1 + 22+ 33+ + 88 ，则下列结论错误的是（ ） A.0= 1 B.1+ 2+ 3+ + 8= 1 C.3= 56 D.12+222+323+ +828=255256 11.下列命题中，真命题的是（ ） A.0 , sin0+ cos0= 2 B.已知 , ，则“ + 0 ”是“ + sin + sin ”的充要条件 C.命题 P：“ 0 , 0 0+ 1 ”的否命题为 ：“ , 0),( 0) ，且关于 x 的方程
6、f（x）xa 恰有两个互异的实数解的充要条件是a1 12.如图点 M 是正方体 1111 中的侧面 11 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A.若点 M 为线段 1 的中点，则 CM 1 B.不存在点 M 到直线 AD 和直线 11 的距离相等 C.若正方体的棱长为 1，则三棱锥 1 的体积为 16 D.在线段 1 上不存在点 M，使异面直线 1 与 CD 所成的角是 30 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知向量 , 都为单位向量， |2 | = 7 ，则向量 , 的夹角为_. 14.明朝著名易学家来知德以
7、其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”，下图是来氏太极图，其大圆半径为 5，大圆内部的同心小圆半径为 2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为_. 15.已知函数 () = log2 ，给出三个条件： () = 2 ； () = ； () =1 .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 的前 n 项和 _. 16.已知点 P 是地物线 =142 上的一个动点，则点 P 到直线 1:4 3 12 = 0 和 2: + 1 = 0
8、 的距离之和的最小值为_. 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）步骤） 17.已知函数 () = 2sin(2 +6) . （1）将 f(x)的图象向右平移 6 个单位得到 g(x)的图象，求函数 g(x)的解析式和最小正周期； （2）在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(A)=1，a= 7 ，b=2，求ABC 的面积. 18.已知等比数列 各项都是正数，且 1= 1, 2+ 3= 12 ；数列 的前 n 项和 满足 =2 . （1）
9、求数列 ， 的通项公式； （2）设 = ，求数列 的前 n 项和 . 19.如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为正三角形，四边形 ABCD 为梯形，二面角 PADC 为直二面角，且 ABDC，ABAD，ADAB 12 DC，F 为 PC 的中点. （1）求证：BF平面 PAD； （2）求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值. 20.为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了 2010 年到 2019 年天猫双十一的销售额数据 y（单位：十亿元），绘制如表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号 x 1 2
10、3 4 5 6 7 8 9 10 销售额 y 0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268 根据以上数据绘制散点图，如图所示： （1）根据散点图判断， = + 与 = 2+ 哪一个适宜作为销售额 y 关于 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测 2021 年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位） （3）把销售额不超过 150（十亿元）的年份叫“平销年，把销售额低于 30（十亿元）的年份叫“试销年”，从 2010 年到 2019 年这十年的“平销年”中任取
11、3 个，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望. 参考数据：= 2 10=1= 1020 10=1= 8088 10=1= 385 210=1 25380 10=1 67770 ()2 1483 参考公式： 对于一组数据(1,1),(2,2),(,)，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=1 2=1 2， = 21.已知椭圆 E： 22+22= 1 （ab0） 的左、 右焦点分別为 1,2 ， 离心率为 =32 ， 过左焦点 1 作直线 1 交椭圆 E 于 A，B 两点， 2 的周长为 8. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 2 ：y=kx+m(km0)与圆
12、 O： 2+ 2= 1 相切，且与椭圆 E 交于 M，N 两点， |2| + |2| 是否存在最小值？若存在，求出 |2| + |2| 的最小值和此时直线 2 的方程. 22.已知函数 () = ln + 2+ (2 + 1) + 1 . （1）若 () 在点 (1,(1) 处的切线的斜率为 10，求此切线方程； （2）当 0 时，证明： () 34 1 . 答案解析部分答案解析部分 一、单选题一、单选题 1.已知全集 = 0,1,2,3,4 ，集合 = 1,2,3, = 2,4 ，则 (U) = （ ） A.4 B.2 C.0,2,4 D.0,2,3,4 【答案】 A 【考点】交集及其运算，
13、补集及其运算 【解析】【解答】解：因为全集 = 0,1,2,3,4 ，集合 = 1,2,3, = 2,4 ，所以 U = 0,4 ， 所以 (U) = 4 ； 故答案为：A 【分析】 进行补集和交集的运算即可. 2.设 l 是直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 /,/ ，则 / B.若 ,/ ，则 C.若 , ，则 / D.若 , ，则 【答案】 C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：若 / ， / ，则 / 或 与 相交，A 不符合题意； 若 ， / ，则 或 / 或 与 相交，相
14、交也不一定垂直，B 不符合题意； 若 ， ，由直线与平面垂直的性质，可得 / ，C 符合题意； 若 ， ，则 或 / ，D 不符合题意 故答案为：C 【分析】 由平行于同一直线的两平面的位置关系判定 A;由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析 B;由直线与平面垂直的性质判断 C;由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析 D. 3.复数 =i2i （i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A.(15,25) B.(15,25) C.(15,25) D.(15,25) 【答案】 B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因 =i2i=
15、i(2+i)(2i)(2+i)=1+2i5= 15+25i ，则 = 1525i ， 所以 在复平面内对应的点是 (15,25) . 故答案为：B 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出. 4.2020 年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过 1 倍.某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对 2000 头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A.这 2000 头生猪体重的众数为 160kg B.这 2000 头生猪体重
16、的中位数落在区间160，180）内 C.这 2000 头生猪中体重不低于 200kg 的有 40 头 D.这 2000 头生猪体重的平均数为 152.8kg 【答案】 D 【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数 【解析】【解答】由频率分布直方图知，数据落在区间140，160)内的频率最大，众数约为 150kg，A 不正确； 数据落在区间80，140)内的频率为 0.30.5，中位数落在区间140，160)内，B 不正确； 体重不低于 200kg 的频率为 0.04，2000 头生猪中约有 80 头体重不低于 200kg，C 不正确； 2000 头生猪体重的平均数约为 90 0.02 +
17、110 0.08 + 130 0.2 + 150 0.32 + 170 0.24 +190 0.1 + 210 0.04 = 152.8 kg，D 符合题意. 故答案为：D 【分析】 由众数的概念，结合频率分布直方图可判断 A;由中位数的概念和图象，可判断 B;由图象找出体重不低于 200kg 的那段，计算可判断 C;由平均数的概念,结合图象计算可判断 D. 5.已知双曲线 2222= 1 （a0，b0）的两条渐近线斜率分别为 1,2 ，若 1 2= 4 ，则该双曲线的离心率为（ ） A.5 B.5 C.52 D.52 【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 222
18、2= 1( 0, 0) 的两条渐近线方程分别为 = ， = ， 不妨取 1= ， 2= ， 由 1 2= 4 ，得 22= 4 ，即 2= 42 ， 所以 = 1 +22=52 故答案为：D 【分析】 写出双曲线的渐近线方程，求得 k1 , k2的值，代入1 2= 4 ，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率. 6.设变量 x，y 满足约束条件 0 + 02 + 1 ，则 24 的最大值是（ ） A.3 B.13 C.1 D.8 【答案】 D 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立 + = 02 + = 1 ，解得 = 1 = 1 ，即 (1,1) ， 令 =
19、2 ，得 =22 ，由图可知，当直线 =22 过 A 时，直线在 轴上的截距最小， 有最大值为 3，则 24= 22= 8 故答案为：D 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可. 7.已知函数 = 2+ 1 （a0， 且 a1） 过定点 P， 若点 P 在直线 2mxny60 （mn0） 上， 则 1+2 的最小值为（ ） A.2 B.83 C.8 D.53 【答案】 B 【考点】基本不等式 【解析】【解答】当 = 2 时， = 0+ 1 = 2 . 函数 = 1+ 1( 0, 1) 过定点 (2,2) ， 点 在直线 2 + 6 = 0( 0) 上， 4
20、 + 2 6 = 0 ，化为 2 + = 3 . 则 1+2=13(2 + )(1+2) =13(4 +4) 13(4 + 24) =83 ， 当且仅当 =4, = 2 =32 时取等号. 1+2 的最小值为 83 . 故答案为：B. 【分析】 先求出点 P 的坐标，然后代入直线方程，利用 1 的代换以及基本不等式即可求解. 8.已知 = () 为奇函数， = ( + 1) 为偶函数，若当 0,1 时， () =log2( + ) ，则 (2023) = （ ） A.1 B.0 C.1 D.2 【答案】 A 【考点】函数的周期性，函数的值 【解析】【解答】因为 = () 为奇函数，所以 (0)
21、 =log2 = 0 = 1 ， 因此当 0,1 时， () =log2( + 1) ，. 因为 = ( + 1) 是偶函数，所以 ( + 1) = ( + 1) ，而 = () 为奇函数， 所以 ( + 1) = ( + 1) = ( 1) ( + 1) = ( 1) ， 因此有 ( + 1 + 1) = ( + 1 1) () = ( + 2) ， 因此有 ( + 2) = ( + 2 + 2) ，所以 () = ( + 4) ， 因此 = () 的周期为 4， (2023) = (4 506 1) = (1) = (1) = log2(1 + 1) = 1 ， 故答案为：A 【分析】 根
22、据题意,由函数的奇偶性和对称性分析可得 f(x+4)=-f(x+2)= f(x),即函数是周期为 4 的周期函数,由此可得 f (2023)= -f(1),又由函数的解析式和奇函数的定义可得 a 的值,即可得 f (1 )的值，分析可得答案. 二、多选题二、多选题 9.已知函数 () = cos( 3) + 1 ，则下列结论正确的是（ ） A.g（x）的图象关于直线 =3 对称 B.g（x）的图象关于点 (56,0) 对称 C.g（x）在区间 (6,6) 上单调递增 D.g（x）在区间 (0,76) 上有两个零点 【答案】 A,C 【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的单调性，余弦函数的
23、零点与最值 【解析】【解答】A 选项， (3) =cos(33) + 1 = 2 ，取到最大值，A 选项说法正确； B 选项， () 的图象为 =cos( 3) 向上平移 1 个单位， 故对称中心的纵坐标为 1，B 选项说法错误； C 选项，当 (6，6) 时， 3 (2，6) ， 又 = cos 在 (2，0) 上单调递增， 所以 () 单调递增，C 选项说法正确； D 选项，令 () = 0 ，得 3= + 2， ， 即 =43+ 2 ，故在区间 (0，76) 上没有零点， D 选项说法错误 故答案为：AC 【分析】 利用对称轴处有最值判断 A 选项;从图象的平移角度判断 B 选项; C
24、选项,通过 3的范围判断单调性; D 选项，求出 g (x )的零点判断. 10.已知 ( 1)8= 0+ 1 + 22+ 33+ + 88 ，则下列结论错误的是（ ） A.0= 1 B.1+ 2+ 3+ + 8= 1 C.3= 56 D.12+222+323+ +828=255256 【答案】 B,D 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】 ( 1)8= 0+ 1 + 22+ 33+ + 88 ， 令 = 0 ，可得 0= 1 ，A 正确，不符合题意； 令 = 1 ，可得 1 + 1+ 2+ 3+ + 8= 0 ， 故 1+ 2+ 3+ + 8= 1 ，B 错误，符合题意； 3= 85
25、(1)3= 56 ，C 正确，不符合题意； 令 =12 ，可得 1 +12+222+ +828=128=1256 ， 12+222+ +828=128 1 = 255256 ，D 错误，符合题意. 故答案为：BD 【分析】 注意根据题意,分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案. 11.下列命题中，真命题的是（ ） A.0 , sin0+ cos0= 2 B.已知 , ，则“ + 0 ”是“ + sin + sin ”的充要条件 C.命题 P：“ 0 , 0 0+ 1 ”的否命题为 ：“ , 0),( 0) ，且关于 x 的方程 f（x）xa 恰有两
26、个互异的实数解的充要条件是a1 【答案】 A,B,C 【考点】命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】解：对于 :sin0+ cos0= 2(22sin0+22cos0) = 2(sin0cos4+ cos0sin4) = 2sin(0+4) ， 所以要使 sin0+ cos0= 2 ， 令 2sin(0+4) = 2 ， 所以 sin(0+4) = 1 ， 所以 0+4= 2 +2 ， ， 所以 0= 2 +4 ， ， 所以 0 ， sin0+ cos0= 2 ，故 A 正确； 对于 ：设函数 () = sin ， () = 1 cos ，
27、因为 1 cos 1 ， 所以 () = 1 cos 0 ， 所以函数 () 在 (,+) 上单调递增， 若 + 0 ，则 ， 所以 () () ， 所以 sin () sin() = sin ， 所以 + sin + sin ， 所以若 + 0 ，则 + sin + sin ， 所以 ， ，“ + 0 “是“ + sin + sin “的充分条件， 若 + sin + sin ，则 sin sin = () sin() ， 所以 () () ， 所以函数 () 在 (,+) 上单调递增， 所以 ，即 + 0 ， 所以若 + sin + sin ，则 + 0 ，” 所以 ， ，“ + 0 ”是
28、“ + sin + sin ”的必要条件，故 B 正确； 对于 ：命题 ：“ 0 ， 0 0+ 1 ”的否命题为“ 0 ， 0 0+ , 0 ， 若关于 的方程 () = 恰有两个互异的实数解， 则函数 () 有两个零点， 当 = 1 时，函数 () 表达式可化为 () = ln + 1, 0+ 1, 0 ， 所以当 0 时， () = + 1 0 ， () 单调递增， 当 0 时， () =1+ 1 0 ， () 单调递增， 因为 (0) = 0+ 0 1 = 0 ， (1) = ln1 + 1 1 = 0 ， 所以此时函数 () 有两个零点， 所以当 = 1 时，关于 的方程 () = 恰
29、有两个互异的实数解成立， 所以“ 1 ”不是“关于 的方程 () = 恰有两个互异的实数解”的必要条件，故 D 错误 故答案为：ABC 【分析】 对于 A:利用三角函数辅助角公式可得2sin(0+4) = 2 ， 解得 x0,即可判断 A 是否正确; 对于 B:由充要条件的定义判断,即可判断 B 是否正确；对于 C:由特称命题的否定，可得 ,即可判断 C是否正确；对于 D:由充要条件的定义判断，即可判断 D 是否正确。 12.如图点 M 是正方体 1111 中的侧面 11 上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A.若点 M 为线段 1 的中点，则 CM 1 B.不存在点 M 到直线 AD 和
30、直线 11 的距离相等 C.若正方体的棱长为 1，则三棱锥 1 的体积为 16 D.在线段 1 上不存在点 M，使异面直线 1 与 CD 所成的角是 30 【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角 【解析】【解答】 选项，连接 、 、 1 ，则 1 为等边三角形 当 为 1 的中点时，由三线合一可知 1 ，故 说法正确； B 选项，当 为 1 为中点时， 到直线 为 ， 到直线 11 的距离为 1 ， = 1 ，B 说法错误； C 选项， 1= 1=13 (12 1) =16 ， C 说法正确； D 选项， 1 到平面 11 的距离为 =131 =33 ， 所
31、以直线 11 与平面 11 所成角的正弦值为 11=33 ， 所以直线 11 与 1 所成角的正弦值不小于 33 ，所成角大于 30 ， 因为 11/ ，所以异面直线 1 与 所成角大于 30 ， D 说法正确 故答案为：ACD 【分析】 A 选项，CM 在平面 ADD1A1的射影为 DM,利用三垂线定理证明 CMAD1; B 选项，M 为 DD1为中点时，M 到直线 AD 和直线 C1D1的距离相等；C 选项,利用等体积法求体积; D 选项,因为11/ ，所以异面直线 B1M 与 CD 所成角等于直线 A1B1 与 B1M 所成角,利用线面角最小判断. 三、填空题三、填空题 13.已知向量
32、, 都为单位向量， |2 | = 7 ，则向量 , 的夹角为_. 【答案】23 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】因向量 , 都为单位向量，且 |2 | = 7 ， 于是得 (2 )2= 7 ，即 5 4 = 7 ，解得 = 12 ， 从而有 cos , = | |= 12 ，而 0 , ，因此得 , =23 ， 所以向量 , 的夹角为 23 . 故答案为： 23 【分析】 根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解. 14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收
33、冬藏，一年不过如此”，下图是来氏太极图，其大圆半径为 5，大圆内部的同心小圆半径为 2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为_. 【答案】2150 【考点】几何概型 【解析】【解答】设大圆面积为 1 ，小圆面积 2 ，则 1= 52= 25 ， 2= 22= 4 ， 可得黑色区域的面积为 12 (1 2) =212 ， 所以落在黑色区域的概率为 =12(12)1=21225=2150 . 故答案为： 2150 . 【分析】 根据题意，计算大圆的面积和黑色区域的面积，由几何概型公式计算可得答案. 15.已知函数 () = log2 ，给出三个条件： () =
34、2 ； () = ； () =1 .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 的前 n 项和 _. 【答案】2+1 2 【考点】对数的运算性质，等比数列，等比数列的前 n 项和 【解析】【解答】因函数 () = log2 ， 条件， () = log2= 2 ， 则有 = 22 ， 而 +1=22+122= 22+12 不是常数， 即数列 不是等比数列； 条件， () = log2=1 ，则有 = 21 ，而 +1=21+121= 21+11 不是常数，即数列 不是等比数列； 条件， () = log2= ，则有 = 2 ， +1=2+12= 2 是常数，即数列 是等比数列，
35、其首项为 2，公比 2， 所以 =2(12)12= 2+1 2 . 故答案为： 2+1 2 【分析】 对三个条件分别考虑，结合对数的运算性质、等比数列的定义和求和公式，可得所求. 16.已知点 P 是地物线 =142 上的一个动点，则点 P 到直线 1:4 3 12 = 0 和 2: + 1 = 0 的距离之和的最小值为_. 【答案】 3 【考点】点到直线的距离公式，抛物线的定义 【解析】【解答】抛物线 =142 ,即 x2=4y 的焦点坐标为 (0,1),准线方程 l2:y+1=0. 由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等, 所以抛物线上的点 P 到直线 l1:4x-
36、3y-12=0 和 l2:y+1=0 的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0 的最小值, =|0312|16+9= 3 . 故答案为:3. 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义转化为焦点到直线的距离求解即可. 四、解答题四、解答题 17.已知函数 () = 2sin(2 +6) . （1）将 f(x)的图象向右平移 6 个单位得到 g(x)的图象，求函数 g(x)的解析式和最小正周期； （2）在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(A)=1，a= 7 ，b=2，求ABC 的面积. 【答案】 （1）因 ()
37、= 2sin(2 +6) ，则 () = 2sin2( 6) +6 = 2sin(2 6) ，即 =22= 所以函数 () = 2sin(2 6) ，其最小正周期为 ； （2）在锐角ABC 中，因 () = 1 ，即 2sin(2 +6) = 1 ， sin(2 +6) =12 ， 而 0 2 ，即 6 2 +676 ，于是得 2 +6=56 ，解得 =3 ， 在ABC 中，由余弦定理 2= 2+ 2 2cos 得： 7 = 22+ 2 2 2cos3 ， 即 2 2 3 = 0 ，解得 c=3 或 c=-1(舍去)， =12sin =12 2 3 sin3=332 ， 所以ABC 的面积为
38、332 . 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换，余弦定理，正弦函数的周期性 【解析】【分析】 (1)由题意利用函数 y = A sin(wx + )的图象变换规律，求得函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论； (2)由题意利用余弦定理求得 c 的值，从而求得 =12sin的值. 18.已知等比数列 各项都是正数，且 1= 1, 2+ 3= 12 ；数列 的前 n 项和 满足 =2 . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 = ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】 （1）设等比数列 的公比为 q(q0)，依题意， 2+ 3= + 2= 12 ，解得： = 3 ， 于是得
39、= 31( ) ， 因数列 的前 n 项和 满足 = 2 ， 则 2 时， = 1= 2 ( 1)2= 2 1 ，而 1= 1 满足上式， 所以 = 2 1( ) （2）由（1）得： = = (2 1) 31 ， 于是得： = 1 30+ 3 31+ 5 32+ 7 33+ + (2 1) 31 ， 两边都乘 3 得： 3= 1 31+ 3 32+ 5 33+ + (2 3) 31+ (2 1) 3 ， 两式相减得： 2= 1 + 2 31+ 2 32+ 2 33+ + 2 31 (2 1) 3= 1 + 2 3(131)13 (2 1) 3= (2 2) 3 2 ， 所以 = ( 1) 3+
40、 1 . 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】 (1) 设等比数列 的公比为 q(q0)， 结合 a1 = 1,a2 + a3 = 12 即可求出 q 值从而得出an;由 = 2可得 2 时， = 1 ， 计算出 bn后再检验 b1的值是否满足改式即可确定 bn； (2)易知 = = (2 1) 31 ,从而利用错位相减求和法即可求出数列 的前 n 项和 。 19.如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为正三角形，四边形 ABCD 为梯形，二面角 PADC 为直二面角，且 ABDC，ABAD，ADAB 12 DC，F 为 PC 的中点. （1）求证：BF平面 PAD； （2）求直
41、线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值. 【答案】 （1）证明：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， 为 的中点， /, =12 又 /, =12 ， / 且 = 四边形 为平行四边形 / 又 平面 ， 平面 ， / 平面 （2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， 取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形， / 为二面角 的平面角 又二面角 为直二面角， = 90 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 设 = 2 ，则 (0,0,3) ， (1,0,0) ， (1,2,0) ， (1,4,0) ， 故 = (1,2,3),= (0
42、,2,0) ， = (1,4,3) 设平面 的一个法向量为 = (,) ，则 = 2 + 3 = 0 = 2 = 0 则可取 = (3,0,1) 设直线 与平面 所成的角为 sin = |cos | =|=|3+03|21+16+3=1510 (0,2 ， cos = 1 sin2 =8510 故直线 与平面 所成的角的余弦值为 8510 【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】 (1)取 PD 的中点 G,连接 GF, AG.证明四边形 ABFG 为平行四边形，推出 BF/AG，然后证明 / 平面 ； (2)取 AD 的中点 O,连接 OP,说明POE 为
43、二面角 P- AD 一 C 的平面角， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 PAB 的一个法向量，设直线 PC 与平面 PA B 所成的角为 ， 利用空间向量的数量积求解即可. 20.为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了 2010 年到 2019 年天猫双十一的销售额数据 y（单位：十亿元），绘制如表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 编号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额 y 0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5
44、172.5 218 268 根据以上数据绘制散点图，如图所示： （1）根据散点图判断， = + 与 = 2+ 哪一个适宜作为销售额 y 关于 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测 2021 年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位） （3）把销售额不超过 150（十亿元）的年份叫“平销年，把销售额低于 30（十亿元）的年份叫“试销年”，从 2010 年到 2019 年这十年的“平销年”中任取 3 个，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望. 参考数据：= 2 10=1= 1020 10
45、=1= 8088 10=1= 385 210=1 25380 10=1 67770 ()2 1483 参考公式： 对于一组数据(1,1),(2,2),(,)，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=1 2=1 2， = 【答案】（1）由散点图可得， = 2+ 适宜作为销售额 y 关于 x 的回归方程类型. （2）令 = 2，则 = + ，根据题中数据可得： =11010=1=38510= 38.5， =11010=1=102010= 102， =10=1110 210=1102677701038.510225380103852 2.7， = = 102 2.7 38.5 2.
46、0， 所以 = 2.7 2.0，因此 y 关于 x 的回归方程为 = 2.72 2.0 . 当 = 12时， = 2.7 144 2.0 = 386.8（十亿元）. 所以 2021 年天猫双十一销售额预计为 386.8（十亿元）. （3）由题意，2010 年到 2019 年这十年的“平销年”的个数为 7 个，其中“试销年”为 3 个， 因此从 2010 年到 2019 年这十年的“平销年”中任取 3 个，取到“试销年”的个数能取的值为 0，1，2，3. 则( = 0) =C43C30C73=435, ( = 1) =C42C31C73=1835,( = 2) =C41C32C73=1235，(
47、 = 3) =C40C33C73=135 . 因此的分布列如下： 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135 所以其数学期望为() = 0 435+ 1 1835+ 2 1235+ 3 135=4535=97 . 【考点】散点图，线性回归方程，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)由散点图的走势,即可判断； (2)通过已知条件,结合线性回归方程公式，可得 y 关于 x 的回归方程，将 x = 11 代入该方程，即可求解； (3)从 2010 年到 2019 年这十年的“平销年”中任取 3 个,取到“试销年”的个数 能取的值为 0,1, 2,
48、3,分别求出对应的概率，即可得 的分布列，并结合期望公式，即可求解. 21.已知椭圆 E： 22+22= 1 （ab0） 的左、 右焦点分別为 1,2 ， 离心率为 =32 ， 过左焦点 1 作直线 1 交椭圆 E 于 A，B 两点， 2 的周长为 8. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 2 ：y=kx+m(km0)与圆 O： 2+ 2= 1 相切，且与椭圆 E 交于 M，N 两点， |2| + |2| 是否存在最小值？若存在，求出 |2| + |2| 的最小值和此时直线 2 的方程. 【答案】 （1）依题意，结合椭圆定义知 2 的周长为 4a，则有 4a=8，即 a=2， 又椭圆的离
49、心率为 =32 ，得 = 3 ，于是得 2= 2 2= 1 ， 所以椭圆 E 的方程为 24+ 2= 1 ； （2）因直线 2 ：y=kx+m(km 0 ， 则 1+ 2= 81+42 ， 又 km0，且 2= 2+ 1 ，因此得 1+ 2=8|1+42=82(2+1)42+1 ， 令 = 42+ 1 1 ，则 1+ 2= 21 +232= 23(113)2+43433 ，当且仅当 1=13 ，即 t=3 时等号成立， 于是得 |2| + |2| 存在最小值，且 |2| + |2| = 4 32(1+ 2) 2 ， |2| + |2| 的最小值为 2， 由 2= 2+ 142+ 1 = 3 ，
50、且 km0，解得 =22 = 62 或 = 22 =62 . 所以所求直线 2 的方程为 =22 62 或 = 22 +62 ，即 2 3 = 0 或 + 2 3 =0 . 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)离心率为 =32 ,ABF2的周长为 8，列方程组,解得 a, b, c,即可得出答案； (2)由直线 2 ：y=kx+m(km0) 与 圆 O： 2+ 2= 1 相切，得 2= 2+ 1 , 设 (1,1),(2,2),(|1| 2,|2| 2) 由于点 M 在椭圆 E 上， 则 12= 1 124 ， 计算出|MF2|,|NF2|，再利用基本不等
