1、 2021 学年第二学期天河区期未考试学年第二学期天河区期未考试 高二数学高二数学 本试卷共本试卷共 6 页，满分为页，满分为 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上在答题卡相应的位置上. 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选
2、涂其它答案；不能答在试卷上. 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效. 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5
3、 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知函数( )sinf xxx=，那么( )fx=（ ） A. cosx B. sincosxxx C. sincosxxx+ D. sin x 2. 某校有 1200 人参加某次数学模拟考试，考试成绩近似服从正态分布()2105,N，试卷满分 150分，统计结果显示成绩优秀（高于 120分）的人数占总人数的15，则此次考试成绩在 90分以下的人数约为（ ） A 180 B. 240 C. 360 D. 480 3. 已知等比数列 na中，23468,16=a
4、a aa，则公比q =（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 或2 4. 正十边形的对角线共有（ ） A. 90 条 B. 70 条 C. 45 条 D. 35 条 5. 已知数列 na前 n 项和nS满足2nSn=，记数列11nna a+的前 n 项和为,NnT n则5T =（ ） .的 A. 49 B. 89 C. 511 D. 1011 6. 已知函数2( )af xxx=+在区间1,3上单调递增，则实数 a 的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kxyce=拟合
5、比较合适令lnzy=，得到 x，z 满足下表： 天数 x（天） 2 3 4 5 6 z 1.5 4.5 5.5 6.5 7 经计算得1.3=+zxa，则（ ） A 0.2ce= B. 0.3a = C. 5y = D. 1.3k = 8. 已知R，则函数( )exxf x=的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分
6、9. 如图，在长方体1111ABCDABC D中，E、F、G分别是棱BA、BC、1BB上的点，且满足3BABE= ，4BCBF= ，15BBBG= ，则（ ） . A. 11ACABADAA=+ B. 1345=+ BDBEBFBG C. 0ACBD+= D. 11135=+ EGABB B 10. 在二项式2(1)nx的展开式中，以下说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第 n项 B. 各项系数之和为 0 C. 当5n =时，展开式系数最大的项是第 6 项 D. 展开式共有21n+项 11. 现有两个箱子，装有除颜色外无差异的小球，其中第 1个箱子有 3个白球，2 个红球，第 2个箱
7、子有 4个白球，4个红球现从第 1个箱子中随机地取 1个球放到第 2 个箱子里，再从第 2个箱子中随机取 1 个球放到第 1 个箱子里，则（ ） A. 从第 1 个箱子里取出的球是白球的概率为35 B. 从第 2 个箱子里取出的球是红球的概率为29 C. 两次取出的球颜色不同的概率为49 D. 从第 1 个箱子里取出的球是白球的前提下，则从第 2个箱子里取出的球是白球的概率为59 12. 已知函数( )()()21 e ,01,0exxxxf xxx+在()1, +恰有两个整数解，则实数a的取值范围是232,ee 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
8、共 20 分分 13. 已知二项式612xx+，则其展开式中的常数项为_ 14. 写出一个同时满足下列条件的函数( )f x =_ 当,()0 x+时，( )0fx；( )f x是偶函数 15. 有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 5%，第 2，3台加工的次品率均为 4%，加工出来的零件混放在一起；已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%现任取一个零件，则该零件是次品的概率为_ 16. 下表是一个由()3,Nnn nn个非负实数组成的 n行 n 列的数表，其中每一行都是首项为 1 的等差数列，第 m 行的公差为(1,2,3)=mdmn以,
9、i ja表示第 i行第 j列的数( ,1,2,3)=i jn；若121,3dd=，且1,2,3,nnnn naaaa也成等差数列则 1,1a 1,2a 1,na 2,1a 2,2a 2,na ,1na ,2na ,n na （1）3,3=a_； （2）若将数列 nd分组如下：() () ()123456789,dd d dd d d d d， （每组数的个数构成等差数列） ，设前 n 组中所有数之和为nC，则数列42nCnd的前 n项和nS =_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤 1
10、7. 在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查共随机调查了 18名男生和 12名女生，调查发现，男、女生中分别有 12 人和 6人喜爱运动，其余不喜爱 （1）根据以上数据完成以下22列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 根据小概率值0.1=的2独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？ （2）从被调查的女生中抽取 3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列 附参考公式及参考数据： 22()()()()()n adbcab cd ac bd=+，其中nabcd=+
11、 + 0.40 0 25 0.10 0.010 0 x 0.708 1.323 2.706 6.635 18. 已知函数3( ),=+f xxax aR （1）若3a = ，求函数( )f x的极大值； （2）若曲线( )f x在0 x =处的切线与曲线( )xg xe=相切，求 a 的值 19. 已知数列 na满足：111,21nnaaa+=+ （1）求数列 na的通项公式； （2）若数列 nb满足1,3,3(1)3knankbkkknk+=N，求数列 nb的前 18项和 20. 如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，DA平面PAB，E是DA的中点 . （1）若PB的中点是 M，求
12、证：/ /EM平面PCD； （2）若,2,2 2=PAPB PAADAB，求平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值 21. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛（满分 100 分） ，竞赛奖励规则如下，得分在)70,80内学生获三等笑，得分在)80,90内的学生获二等奖，得分在)90,100内的学生获一等奖，其他学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100 名学生的竞赛成绩，并以党为样本绘制了如下样本频率分布直方图 （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若该市所有参赛学生的成绩 X 近似
13、服从正态分布()2,N ，其中15，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （）若该市共有 10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数（结果四舍五入到整数） ； （）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在 64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值 附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布()2,N ， 则0().6827PX+，(22 )0.9545PX+，330 9().9 73PX+ 22. 已知函数1( )(1)ln()=+f xaxaxaRx （1）讨论函数( )f x的单调区间；
14、 的 （2）当1a x xa 2021 学年第二学期天河区期未考试学年第二学期天河区期未考试 高二数学高二数学 本试卷共本试卷共 6 页，满分为页，满分为 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上在答题卡相应的位置上. 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上黑；如
15、需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效. 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8
16、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知函数( )sinf xxx=，那么( )fx=（ ） A. cosx B. sincosxxx C. sincosxxx+ D. sin x 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算计算 【详解】( )( ) sin(sin )sincosfxxxxxxxx=+=+ 故选：C 2. 某校有 1200 人参加某次数学模拟考试，考试成绩近似服从正态分布()2105,N，试卷满分 150分，统计结果显示成绩优秀（高于 120分）的人
17、数占总人数的15，则此次考试成绩在 90分以下的人数约为（ ） A. 180 B. 240 C. 360 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性性可得：考试成绩在 90 分以下的概率为 15，据此估计相应人数 【详解】利用频率估计概率 根据正态分布的对称性可知：考试成绩在 90 分以下的概率为15 则此次考试成绩在 90分以下的人数约为112002405= 故选：B 3. 已知等比数列 na中，23468,16=a a aa，则公比q =（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2或2 【答案】B 【解析】 【分析】由2348a a a =，可得33
18、8a=，解得32a =，再由616a =可得3316a q =，根据32a =求解即可. 【详解】解：因为数列 na为等比数列，2348a a a =， 所以338a=，解得32a =， 又因为616a =，即3316a q =，解得2q . 故选：B. 4. 正十边形的对角线共有（ ） A. 90 条 B. 70 条 C. 45 条 D. 35 条 【答案】D 【解析】 【分析】需要分三步：第一步，先选一个；第二步再从和它不相邻的 7 个中再选一个；第三步，除掉重复的，根据分步乘法原理可求解 【详解】解：根据题意，十边形有 10个顶点，先选一个，有 10种选法，再从和它不相邻的 7个中再选一
19、个，有 7种选法，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为7 10352=条 故选：D 5. 已知数列 na的前 n项和nS满足2nSn=，记数列11nna a+的前 n项和为,NnT n则5T =（ ） A. 49 B. 89 C. 511 D. 1011 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数列 na的通项公式为21nan=，利用裂项相消法求出5T. 【详解】数列 na的前 n 项和nS满足2nSn=， 所以，当 n=1 时，111aS=； 当2n 时，()221121nnnnaSSnn=. 经检验，21nan=对 n=1也成立. 所以21nan=. 所以()()1111
20、1121212 2121nna annnn+=+ 所以51111111111512335577991111T=+=. 故选：C 6. 已知函数2( )af xxx=+在区间1,3上单调递增，则实数 a 的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由322( )xafxx=，结合题意32ax在1,3上恒成立求范围，即可判断所能取的值. 【详解】由题设，3222( )2axafxxxx=， 所以1,3上320 xa恒成立，即32ax恒成立， 而32yx=在1,3上递增，故2a . 所以 A符合要求. 故选：A 7. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变
21、化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型kxyce=拟合比较合适令lnzy=，得到 x，z 满足下表： 天数 x（天） 2 3 4 5 6 z 1.5 4.5 5.5 6.5 7 经计算得1.3=+zxa，则（ ） A. 0.2ce= B. 0.3a = C. 5y = D. 1.3k = 【答案】A 【解析】 【分析】根据最小二乘法，中心点必须在直线上即可求解. 【详解】根据题目所给的数据得2345645x+ + += ，1.54.55.56.5755z+= ， 51.3 4,0.2a a = += ， 即1.30.20.21.3ln1.30.2,eeexxyxy= ，0.2e
22、c = ； 故选：A. 8. 已知R，则函数( )exxf x=的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令12=、2=、1= ，结合导数研究( )f x的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案. 【详解】当12=时，( )exxf x =且0 x ，则12( )exxfxx=， 所以1(0, )2上 ( )0fx，( )f x递增；1( ,)2+上 ( )0fx，( )f x递减，且(0)0f=， 所以 A图象可能； 当2=时，2( )0exxf x =且Rx，则(2)( )exxxfx=， 所以(,0)上( )0fx，( )f x递增，(2,)+上 ( )
23、0fx，( )f x递增，( 1,0)上 ( )0fx，( )f x递增， 又0 x 时( )0f x 时( )0f x ， 所以 D图象可能； 综上，排除 A、B、D. 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 如图，在长方体1111ABCDABC D中，E、F、G分别是棱BA、BC、1BB上的点，且满足3BABE= ，4BCBF= ，15B
24、BBG= ，则（ ） A. 11ACABADAA=+ B. 1345=+ BDBEBFBG C. 0ACBD+= D. 11135=+ EGABB B 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于 A选项，11ACABADAA=+ ，A对； 对于 B选项，11345BDBABCBBBEBFBG=+=+ ，B对； 对于 C选项，由图可知AC、BD 不共线，则0ACBD+ ，C错； 对于 D选项，11135EGEBBGABBB=+=+ ，D 错. 故选：AB. 10. 在二项式2(1)nx的展开式中，以下说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是
25、第 n项 B. 各项系数之和为 0 C. 当5n =时，展开式系数最大的项是第 6 项 D. 展开式共有21n+项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式2(1)nx的展开式的项数，判断 D，根据二项式系数的性质判断 A;利用赋值法求得各项系数和，判断 C，利用项的系数的特点结合二项式系数性质判断 C. 【详解】二项式2(1)nx展开式中,共有21n+项，故 D 正确， 展开式中中间项中有一项，即第 n+1 项，所以二项式系数最大的项是第 n+1项，A错误； 令1x =，则得2(1)0nx=，即各项系数之和为 0，B 正确； 当5n =时，210(1)(1)nxx=，其通项公式为110C
26、( 1),0,1,10rrrrTx r+=， 第 6项55610CTx= ，二项式系数510C最大，这一项系数为负， 故根据二项式系数的性质可知展开式系数最大的项应是第 5项和第 7 项，即461010CC=最大，故 C 错误； 故选：BD 11. 现有两个箱子，装有除颜色外无差异的小球，其中第 1个箱子有 3个白球，2 个红球，第 2个箱子有 4个白球，4个红球现从第 1个箱子中随机地取 1个球放到第 2 个箱子里，再从第 2个箱子中随机取 1 个球放到第 1 个箱子里，则（ ） A. 从第 1 个箱子里取出的球是白球的概率为35 B. 从第 2个箱子里取出的球是红球的概率为29 的 C.
27、两次取出的球颜色不同的概率为49 D. 从第 1 个箱子里取出的球是白球的前提下，则从第 2个箱子里取出的球是白球的概率为59 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于 A：根据古典概型运算判断；对于 B、C：分两种情况：从第 1个箱子里取出的球是白球或从第 1 个箱子里取出的球是红球，分别运算判断；对于 D：从第 1个箱子里取出的球是白球的前提下，则第 2个箱子有 5个白球，4 个红球,利用古典概型运算判断 【详解】从第 1 个箱子里取出的球是白球的概率为1315C3C5P =，A 正确； 分两种情况：从第 1 个箱子里取出的球是白球或从第 1个箱子里取出的球是红球 从第 2 个箱子里取出的球
28、是红球的概率为1111354211115959CCCCC22CC5C4P+=，B错误； 两次取出的球颜色不同的概率为1111342411115959CCCC4CCCC9P =+=，C正确； 从第 1 个箱子里取出的球是白球的前提下，则第 2个箱子有 5 个白球，4个红球,从第 2 个箱子里取出的球是白球的概率为1519C5C9P =，D正确； 故选：ACD 12. 已知函数( )()()21 e ,01,0exxxxf xxx+在()1, +恰有两个整数解，则实数a的取值范围是232,ee 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数法求出分段函数( )f x的单调性，从而确定函数的单调性及值域
29、即可判断 A、B选项是否正确；由( )( )20f xa f x=，解出( )f x的值，根据( )f x的图像判断有3个不相等的实数根的条件，即可判断 C选项是否正确；将原不等式转化，做出直线()1ya x=+利用斜率的意义，结合数形结合思想确定a的取值范围. 【详解】( )()()21 e ,01,0exxxxf xxx+=+， 、当0 x 时，( )()1 exf xx=+，( )()2 exfxx=+， 当(), 2x 时，( )0fx，函数( )f x在()2,0 x 单调递增. 当2x = 时，( )f x有极小值为()212ef = ， 当0 x 时，( )()1 exf xx=
30、+,且()10f =， 当1x 时，( )0f x ；当10 x ，且x趋近于负无穷大时,( )f x趋近于0. 、当0 x时，( )()21exxf x+=，( )()()2111eexxxxxfx+=， 当()0,1x时，( )0fx，函数( )f x单调递增；当()1,x+时，( )0fx，且( )01f= 做出函数( )f x的图像如图示： 对于 A选项：由函数( )f x的图像可知，函数( )f x在()2,1上单调递增，则 A 选项正确； 对于 B选项：由函数( )f x的图像可知，函数( )f x的值域为214,ee，则 B 选项不正确； 对于 C选项：由( )( )20f xa
31、 f x=，可得( )( )()0f xf xa=，即( )0f x =或( )f xa=， 做出( )f x的图像如下： 由图像可知，( )0f x =有一个实数根1， 关于 x 的方程( )( )20f xa f x=有3个不相等的实数根，( )f xa=有两个不相等且异于1的实数根， ()212ef =，( )41ef=，结合函数( )f x的图像可知，实数 a的取值范围是214,ee，则 C选项正确； 对于 D选项：( )0f xaxa，( )()1f xa x+， 分析可知：直线()1ya x=+过点()1,0，当直线()1ya x=+过点41,e时，()402e11ea= ， 当直
32、线()1ya x=+过点292,e时，()22903e21ea= ， 结合函数( )f x的图像可知，当实数 a 的取值范围是232,ee时，不等式( )0f xaxa在()1, +恰有两个整数解为 0与 1，则 D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知二项式612xx+，则其展开式中的常数项为_ 【答案】160 【解析】 【分析】 写出二项式展开式的通项，令x的幂指数等于 0，找到3r =，计算常数项即可. 【详解】由二项式展开式()61612rrrrTCxx+=为常数项，可知3r =，所以常数
33、项为3362160C =. 14. 写出一个同时满足下列条件的函数( )f x =_ 当,()0 x+时，( )0fx；( )f x是偶函数 【答案】( )2fxx=（答案不唯一）. 【解析】 【分析】写出一个同时满足条件的函数即可 【详解】函数( )()2f xxRx=， 当,()0 x+时，( )20fxx=；xR，( )2()=fxxf x，所以( )2fxx=是偶函数， 函数( )()2f xxRx=同时满足条件. 故答案：( )2fxx=（答案不唯一）. 15. 有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 5%，第 2，3台加工的次品率均为 4%，加工出来的零件混放在一起
34、；已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%现任取一个零件，则该零件是次品的概率为_ 【答案】4.25%#0.0425 【解析】 【分析】根据条件，结合全概率公式求解即可. 【详解】解：由全概率公式可得，任取一个零件，则该零件是次品的概率为 ()0.25 0.050.3 0.040.45 0.04100%4.25%+=. 故答案为：4.25% 16. 下表是一个由()3,Nnn nn个非负实数组成的 n行 n 列的数表，其中每一行都是首项为 1 的等差数列，第 m 行的公差为(1,2,3)=mdmn以, i ja表示第 i行第 j列的数( ,1,2,3)=i j
35、n；若121,3dd=，且1,2,3,nnnn naaaa也成等差数列则 1,1a 1,2a 1,na 2,1a 2,2a 2,na ,1na ,2na ,n na （1）3,3=a_； （2）若将数列 nd分组如下：() () ()123456789,dd d dd d d d d， （每组数的个数构成等差数列） ，设前 n 组中所有数之和为nC，则数列42nCnd的前 n项和nS =_ 【答案】 . 11 . ()4266nn+ 【解析】 为 分析】 （1）利用列举法即可求解； （2）先求出()42221nCnndn=，再用错位相减法求和. 【详解】 （1）由题意，若121,3dd=，且1
36、,2,3,nnnn naaaa也成等差数列 数表列举如下： 1 2 3 n 1 4 7 32n 1 6 11 54n 1 8 15 76n 所以3,3=a11； （2）当121,3dd=时,)21(N*ndnn= . 按数列 nd分组规律,第 n 组中有 2n-1 个数，所以第 1 组到第 m 组共有 1+3+5+(2n-1)= n2个数，则前 n 组的所有数字和为2241 (21)2nnn+=，所以4nCn=. 所以()42221nCnndn=. 所以数列42nCnd的前 n 项和 ()()()()12122 1 122 2 1223221nnnSnn + +=+ 2得： ()()()()2
37、13222 1 122 2 1223221nnnSnn+ + +=+ -得：()()11222 1 12222221nnnSn+ += ()21222222211 2nnn+=+ ()21222222211 2nnn+=+ 所以()646 2nnSn=+ 故答案为：11；()4266nn+ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤 【 17. 在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一
38、次随机调查共随机调查了 18名男生和 12名女生，调查发现，男、女生中分别有 12 人和 6人喜爱运动，其余不喜爱 （1）根据以上数据完成以下22列联表： 喜欢运动 不喜欢运动 总计 男 女 总计 根据小概率值0.1=的2独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？ （2）从被调查的女生中抽取 3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列 附参考公式及参考数据： 22()()()()()n adbcab cd ac bd=+，其中nabcd=+ + 0.40 0.25 0.10 0.010 0 x 0.708 1.323 2.706 6.635 【答案】 （1）没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关
39、； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）先完成 22列联表，再利用独立性检验求解； （2）先写出的值，再求出对应的概率，即得解. 【小问 1 详解】 解：由题得 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 12 6 18 女 6 6 12 总计 18 12 30 假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： 2230(12666)0.83332.706(126)(66)(126)(66)K=+ 因此，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关. 【小问 2 详解】 解： 喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，3， 则有：0366312C C1(0)C11P=；1266312C C9(1)C22P
40、=； 2166312C C9(2)C22P=；3066312C C1(3)C11P=. 所以喜爱运动的人数为的分布列为： 0 1 2 3 P 111 922 922 111 18. 已知函数3( ),=+f xxax aR （1）若3a = ，求函数( )f x的极大值； （2）若曲线( )f x在0 x =处的切线与曲线( )xg xe=相切，求 a 的值 【答案】 （1）2 （2）e 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，利用列表法判断单调性，求出极大值； （2）先求出曲线( )f x在0 x =处的切线yax=，再设yax=与( )xg xe=相切于(),m n，列方程组，解出 a 的值
41、. 【小问 1 详解】 当3a = 时，3( )3f xxx=，2( )33fxx=. 令( )0fx=，解得：1x = 或1x =.列表得： x (), 1 -1 ()1,1 1 ()1,+ ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以函数( )f x的极大值为3( 1)( 1)3 ( 1)2f = =. 【小问 2 详解】 对于函数3( ),=+f xxax aR，所以(0)0f=. 导函数2( )3fxxa=+，所以(0)fa=. 所以曲线( )f x在0 x =处的切线为yax=. 设yax=与( )xg xe=相切于(),m n，( )exg
42、x=， 所以=eemmnanam=，解得：=ee1man=. 故ea =. 19. 已知数列 na满足：111,21nnaaa+=+ （1）求数列 na的通项公式； （2）若数列 nb满足1,3,3(1)3knankbkkknk+=N，求数列 nb的前 18项和 【答案】 （1）21nna = （2）168 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得()1121nnaa+ =+，数列1na +是以首项为112a + =，公比2q 的等比数列，利用等比数列通项公式运算求解； （2）可得6k ，结合题意利用分组求和及等比数列求和公式运算求解 【小问 1 详解】 121nnaa+=+，则()1121nn
43、aa+ =+ 则数列1na +是以首项为112a + =，公比2q 的等比数列 112 22nnna+ =，即21nna = 【小问 2 详解】 根据题意可得：318k ，即6k 则可知124516171,2,.,6bbbbbb= 设数列 nb的前 n项和为nS 则()()18121836181416.2.Sbbbbbbbbb=+=+ ()()()()6262 1 26 1 622.22 12.621681 22+=+=+ = 20. 如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，DA平面PAB，E是DA的中点 （1）若PB的中点是 M，求证：/ /EM平面PCD； （2）若,2,2 2=P
44、APB PAADAB，求平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值 【答案】 （1）证明见解析 （2）53 【解析】 【分析】 （1）取 PC的中点 F，连接 EM，DF，FM，再根据已知得四边形 DEMF是平行四边形，得到/EM DF，然后利用线面平行的判定定理证明； （2）由AD 平面PAB，PAPB，建立空间直角坐标系，求得平面 PCE 的一个法向量(), ,nx y z=，平面 PAB的一个法向量为 ()0,0,1m =，由 cos,n mn mnm= 求解可得答案. 【小问 1 详解】 如图所示： 取 PC的中点 F，连接 EM，DF，FM， 因为四边形ABCD为矩形，E是AD的中点，
45、 所以1,/2DEBC DE BC=，1,/2=FMBC FM BC， 所以,/ /DEFM DEFM=， 所以四边形 DEMF是平行四边形， 所以/EM DF，又EM 平面 PCD，DF 平面 PCD， 所以/EM平面 PCD. 【小问 2 详解】 由AD 平面PAB，PAPB，建立如图所示空间直角坐标系， 则()()()0,0,0 ,0,2,1 ,2,0,2PEC， 所以 ()()0,2,1 ,2,0,2PEPC= ， 设平面 PCE一个法向量为 (), ,nx y z=， 则00= PPnnEC，即 20220yzxz+=+=， 令 1z =，得11,12n= ， 易知平面 PAB的一个
46、法向量为 ()0,0,1m =， 则 12cos,311 14=+ + n mn mnm， 设平面PCE与平面PAB所成二面角为()0, ， 所以25sin1cos,3n m= . 21. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛（满分 100 分） ，竞赛奖励规则如下，得分在)70,80内的学生获三等笑，得分在)80,90的 内的学生获二等奖，得分在)90,100内的学生获一等奖，其他学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100 名学生的竞赛成绩，并以党为样本绘制了如下样本频率分布直方图 （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学
47、生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若该市所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布()2,N ，其中15，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （）若该市共有 10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数（结果四舍五入到整数） ； （）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在 64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值 附参考数据：若随机变量 X 服从正态分布()2,N ， 则0().6827PX+，(22 )0.9545PX+，330 9().9 73PX+ 【答案】 （1）1433 （2）
48、 （）1587， （）分布列见解析；均值为32 【解析】 【分析】 （1）求出获奖学生占样本学生人数的概率为0.160.080.060.3+=，可得样本中有 30 人获奖，70 认没有获奖，从而利用古典概型概率公式求解； （2） （）利用频率分布直方图求出样本均值，得到 X近似服从正态分布()264,15N，进而利用正太分布3原则求出(79100)0.15865PX，估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数为 1587； （）得到13,2B，利用二项分布求概率公式求出概率，写出分布列，求出均值. 【小问 1 详解】 获三等奖的频率为0.016 100.16=，获二等奖的频率为0.008 100.
49、08=，获一等奖的频率为0.006 100.06=， 所以获奖学生占样本学生人数的概率为0.160.080.060.3+=， 所以样本中有 30 人获奖，70 认没有获奖， 则现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为111230702100CCC14C33= 【小问 2 详解】 （） ()1035 0.00645 0.01255 0.01865 0.03475 0.01685 0.00895 0.00664=+=， 所以 X近似服从正态分布()264,15N 故(64 1564 15)0.6827PX+，所以()()11(79100)1(64 1564 1
50、5)1 0.68270.1586522PXPX=+=， 所以10000 0.158651586.51587=， 故该市共有 10000名学生参加了竞赛，估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数为 1587； （）因为竞赛成绩均值为 64 分，故 64分以上的学生数13,2B， 所以()303110C28P=，()313131C28P=，()323132C28P=，()333113C28P=， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 P 18 38 38 18 均值为( )13313012388882E=+ + + = 22. 已知函数1( )(1)ln()=+f xaxaxaRx （1）讨论
