1、 广东省东莞市广东省东莞市 2020-2021 学年学年高二高二下学期下学期期末期末教学质量检查教学质量检查 数学试卷数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1已知函数 f（x）cosxsinx，则 f（x）（ ） Asinx+cosx Bsinxcosx Csinx+cosx Dsinxcosx 2设随机变量 X 服从正态分布 N（3，16），若 P（Xc）P（X3），则 c（ ） A1 B2 C3 D4 3 A， B， C， D， E 等 5 名学生进入学校劳动技
2、能大赛决赛， 并决出第一至第五名的名次 （无并列名次）已知学生 A 和 B 都不是第一名也都不是最后一名，则这 5 人最终名次的不同排列有（ ） A18 种 B36 种 C48 种 D54 种 4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制， 已知两套机制失效的概率分别为14和15，则恰有一套机制失效的概率为（ ） A.35 B.920 C.720 D.120 5.我国古代典籍 周易 用 “卦” 描述万物的变化， 毎一卦由六爻组成.有一种 “金钱起卦法” ，其做法为： 取两枚相同的钱币合于双手中， 上下摇动数下， 再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱
3、币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ） A.565 34 B.6434 C.6152 D.612 6.5112xxxx+展开式中的常数项为（ ） A.-40 B.-20 C.20 D.40 7某放射性同位素在衰变过程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系( )240tN tN e=，其中 N0为 t0 时该同位素的含量已知 t24 时，该同位素含量的瞬时变化率为e1，则 N（120）（ ） A24 贝克 B24e5贝克 C1 贝克 De5贝克 8已知函数 f（x）ex2，g（x）1+lnx，若存在实数 t1，t2使得
4、 f（t1）g（t2），则 t1t2的最大值为（ ） Aln2 B1 C1+ln2 D2+ln2e 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，分，部分选对的得部分选对的得 2 分分.请把正确选请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑项在答题卡中的相应位置涂黑 9.下列结论正确的是（ ） A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值r越接近于 1 B.样
5、本() () ()()112233,nnx yxyxyxy的回归直线ybxa=+至少经过其中一个样本点 C.在回归方程0.20.8yx=+中， 当解释变量 x 每增加 1 个单位时， 预报变量 y平均增加 0.2个单位 D.在线性回归模型中，用相关指数2R刻画拟合效果，2R的值越小，模型的拟合效果越好 10已知复数 z 满足|z|1，则|z1i|的可能取值有（ ） A0 B1 C2 D3 11如图是函数 f（x）的导函数 f（x）的图象，则下列结论正确的是（ ） Af（0）f（1） Bx1 是 f（x）的极小值点 Cx1 是 f（x）的极小值点 Dx3 是 f（x）的极大值点 12将 3 个不
6、同的小球随机放入 4 个不同的盒子，用 表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（ ） A.()318P= B.()3216P= C.()1364P= D.( )2716E= 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上. 13 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试， 则在第 1 次抽到男生的条件下，第 2 次抽到女生的概率为 14若复数22aii+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 15.已知图 2 是“杨辉三角” ，图 3 是“莱布尼茨三角” ，两个“三角”之
7、间具有关联性.已知“杨辉三角”中第 n 行第1r +个数为rnC，则“莱布尼茨三角”中第 n 行第1r +个数为_； 已知 “杨辉三角” 中第 n 行和第1n+行中的数满足关系式111rrrnnnCCC+=，类比写出“莱布尼茨三角”中第 n 行和第1n+行中的数满足的关系式_ 16若 f（x）ax 与( )ln xg xx=的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤解答应写岀文字说明、证
8、明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效域内，超出指定区域的答案无效. 17已知函数 f（x）x3+2x2+x+2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若对任意的2,13x 都有 f（x）c 成立，求 c 的取值范围 18已知复数 z1a+bi（a，bR），z2c+di（c，dR） （1）当 a1，b1，c1，d2 时，求|z1|，|z2|，|z1z2|； （2）根据（1）的计算结果猜想|z1z2|与|z1|z2|的关系，并证明该关系的一般性； （3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性
9、质（不用证明） 19为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70 后”至“00 后”的人群中按年龄段分层抽取了 100 名员工进行调查调查结果如图 4 所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00 后”与“90 后”员工占比分别为 10%和 30% （1）现从“00 后样本中随机抽取 3 人，记 3 人中“无出游意愿”的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期； （2）若把“00 后”和“90 后”定义为青年，“80 后”和“70 后”定义为中年，结合样本数据完成 22 列联表， 并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与
10、年龄段有关？ 有出游意愿 无出游意愿 合计 青年 中年 合计 附： P（K2k0） 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中 na+b+c+d 20已知函数 f（x）lnx+ax （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a0，且 g（x）f（x）sinx 在,22上有且仅有 1 个极值点，求 a 的取值范围 21共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段某公司调研部门统计了最近 5 个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下： 季度序号 x 1 2 3 4 5 使用次数 y（
11、万次） 1 1.2 1.5 1.8 2.2 （1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数 y 与季度序号 x 之间的关系，如果能，求出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由 （ii） 如果你是公司主管领导， 你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由 （2） 为进一步开拓市场做准备， 公司目前接受报价的有两款车型： A 型单车每辆 500 元，第一年收入 500 元，以后逐年递减 80 元；B 型单车每辆 300 元，第一年收入 500 元，以后逐年递减 100 元经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表： 车型使用寿命 1 年 2
12、 年 3 年 4 年 总计 A 10 20 30 40 100 B 10 35 30 25 100 不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以 1 辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据：()()513iiixxyy=，()52110iixx=. 参考公式：()()()121niiiniixxyybxx=， aybx=. 22已知函数 f（x）x2xxlnx，g（x）x33ax+e （1）证明 f（x）0 恒成立； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值已知函数( )( )2f xh xxx=+，
13、记函数 （x）maxh（x），g（x），若函数 （x）在（0，+）上恰有 2 个零点，求实数 a的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知函数 f（x）cosxsinx，则 f（x）（ ） Asinx+cosx Bsinxcosx Csinx+cosx Dsinxcosx 【分析】由导数运算公式可解决此题 解：f（x）（cosx）（sinx）sinxcosx 故选：D 2设随机变量 X 服从正态分布 N（3，16），若 P（Xc）P（X3），则 c（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用正态分
14、布曲线的对称性以及参数 ，的含义进行分析求解，即可得到答案 解：因为 P（Xc）P（X3）， 所以，解得 c3 故选：C 3 A， B， C， D， E 等 5 名学生进入学校劳动技能大赛决赛， 并决出第一至第五名的名次 （无并列名次）已知学生 A 和 B 都不是第一名也都不是最后一名，则这 5 人最终名次的不同排列有（ ） A18 种 B36 种 C48 种 D54 种 【分析】先排乙，有 3 种情况；再排甲，有 2 种情况；余下 3 人有 A33种排法，最后相乘即可求解 解：由题意，甲、乙都不是第一名且不是最后一名； 故先排乙，有 3 种情况； 再排甲，有 2 种情况； 余下 3 人有 A
15、33种排法 故共有 32A3336 种不同的情况 故选：B 4某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（ ） A B C D 【分析】利用分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可 解：因为两套机制是相互独立的，且两套机制失效的概率分别为和， 则恰有一套机制失效的概率为 故选：C 5我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正
16、面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ） A B C D 【分析】先求出变爻的概率，利用六爻实际为 6 次独立重复试验，由此求出一卦中恰有两个变爻的概率即可 解：由题意可知变爻的概率为， 因为六爻实际为 6 次独立重复试验， 所以一卦中恰有两个变爻的概率为 故选：A 6（）（2x）5的展开式中常数项为（ ） A40 B20 C20 D40 【分析】 由 （2x）5的通项公式 Tr+1，求出其含有 x 与的项，进而得到常数项 解：由（2x）5的通项公式 Tr+1， 当 52r1 即 r3 时，40 当 52r1 即 r2 时，80 （）（2x）5的展开式中常数项40+8040 故选：D
17、 7某放射性同位素在衰变过程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系，其中 N0为 t0 时该同位素的含量已知 t24 时，该同位素含量的瞬时变化率为e1，则 N（120）（ ） A24 贝克 B24e5贝克 C1 贝克 De5贝克 【分析】先求出 N（t），然后利用利用 N（24）e1，求出 N0，再求解 N（120）即可 解：因为， 则， 因为 t24 时，该同位素含量的瞬时变化率为e1， 则， 所以 N024， 故 N（120）贝克 故选：B 8已知函数 f（x）ex2，g（x）1+lnx，若存在实数 t1，t2使得 f（t1）g（t2），则 t1t2的最大值为（
18、） Aln2 B1 C1+ln2 D2+ln2e 【分析】设 f（t1）g（t2）t，用 t 表示出 t1t2，构造函数 h（t）2+lntet1（t0），利用导数研究 h（t）的单调性以及最值，即可得到答案 解：设 f（t1）g（t2）t，则， 所以 t12+lnt，故， 令 h（t）2+lntet1（t0）， 则，h（t）恒成立， 则 h（t）在（0，+）上单调递减，且 h（1）0， 当 0t1 时，h（t）0，则 h（t）单调递增， 当 t1 时，h（t）0，则 h（t）单调递减， 所以 h（t）在 t1 处取得极大值，即最大值， 故 h（t）的最大值为 h（1）2+ln1e111， 所
19、以 t1t2的最大值为 1 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错分，有选错的得的得 0 分分，部分选对的得，部分选对的得 2 分分.请把正确选请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑项在答题卡中的相应位置涂黑 9下列结论正确的是（ ） A若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数 r 的绝对值|r|越接近于 1 B样本（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，y
20、n）的回归直线至少经过其中一个样本点 C在回归方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加0.2 个单位 D在线性回归模型中，用相关指数 R2刻画拟合效果，R2的值越小，模型的拟合效果越好 【分析】根据线性相关性判断 A；回归直线方程的性质判断 B；回归直线方程的性质判断C；根据相关指数 R2越大拟合效果越好，可判定 D 解：两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数 r 的绝对值|r|越接近于 1，满足相关关系的性质，所以 A 正确； 样本（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，yn）的回归直线不一定经过其中一个样本点，故 B 不正确； 在回归方程
21、中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加 0.2个单位，满足回归直线方程的性质，故 C 正确； R2越大拟合效果越好，故 B 不正确，故 D 不正确； 故选：AC 10已知复数 z 满足|z|1，则|z1i|的可能取值有（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由已知可得|z1i|的几何意义是单位圆上的点与（1，1）的距离之和，进而可以求解 解：复数 z 满足|z|1，则|z1i|的几何意义是单位圆上的点与（1，1）的距离之和， 所以和的最大值为原点与（1，1）的距离加半径，即+1， 和的最小值为原点与（1，1）的距离减去半径，即1， 所以|z1i|的取值范围为， 故 1，2
22、 满足题意，0，3 不满足， 故选：BC 11如图是函数 f（x）的导函数 f（x）的图象，则下列结论正确的是（ ） Af（0）f（1） Bx1 是 f（x）的极小值点 Cx1 是 f（x）的极小值点 Dx3 是 f（x）的极大值点 【分析】根据导数值与 0 的关系判断各个选项即可 解：由图象得：3x1 时，f（x）0，1x 时，f（x）0，其中 f（1）0， f（x）在（3，1）递减，在（1，+）递增， f（0）f（1），所以 A 不正确； x1 不是 f（x）的极小值点，所以 B 不正确； x1 是 f（x）的极小值点，所以 C 正确； x3 是 f（x）的极大值点，所以 D 正确； 故选
23、：CD 12将 3 个不同的小球随机放入 4 个不同的盒子，用 表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【分析】分别计算出 1，2，3 的概率，再结合期望公式，即可求解 解：当 1 时，把三个小球放在 4 个不同的盒子里，3 个小球恰在 3 个不同的盒子内的方法有24 种， 将三个不同的小球随意放入 4 个不同的盒子里的所有方法有 44464 种， 则 3 个小球恰在 3 个不同的盒子内的概率为，即 P（1），故选项正确， 当 3 时，即表示三个不同的小球同时放入其中的一个盒子中，共有 4 种情况， 则 P（3），故 C 选项错误， 的取值只可能为 1，2，3， P（2），
24、故 B 选项错误， E（），故 D 选项正确 故选：AD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上. 13 在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试， 则在第 1 次抽到男生的条件下，第 2 次抽到女生的概率为 【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可 解：因为第一次抽到的是男生， 所以还剩下 1 名男生和 3 名女生， 故第 2 次抽到女生的概率为 故答案为： 14若复数（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 1 【分析】先利用复数的除法运算进行
25、化简，然后由纯虚数的定义求解即可 解：复数为纯虚数， 所以 2a20 且 a+40，所以 a1 故答案为：1 15已知图 1 是“杨辉三角”，图 2 是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性已 知“杨辉三角”中第 n 行第 r+1 个数为，则“莱布尼茨三角”中第 n 行第 r+1 个数为 ； 已知 “杨辉三角” 中第 n 行和第 n+1 行中的数满足关系式，类 比 写 出 “ 莱 布 尼 茨 三 角 ” 中 第 n 行 和 第 n+1 行 中 的 数 满 足 的 关 系 式 【分析】 对照图 1和图 2， 可得图2中的每一数的分母即为图1 中的对应数的2倍， 3倍， .，（n+1）倍，第
26、 n 行第 r+1 个数即为第 n+1 行第 r+1 个数和第 r+2 个数的和可得所求结论 解：对照图 1 和图 2，可得图 2 中的每一数的分母即为图 1 中的对应数的 2 倍，3 倍，.，（n+1）倍， 所以“莱布尼茨三角”中第 n 行第 r+1 个数为； 由图 2 可得，第 n 行第 r+1 个数即为第 n+1 行第 r+1 个数和第 r+2 个数的和 即为+ 故答案为：；+ 16若 f（x）ax 与的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围为 【分析】若 f（x）ax 与的图象有且仅有两个公共点，a有两个根， 令 g（x），（x0），求导分析单调性，最值，作出 g（x）大致图象
27、，结合图象即可得出答案 解：若 f（x）ax 与的图象有且仅有两个公共点， 则 ax有两个根， 即 a有两个根， 令 g（x），（x0） g（x）， 所以在（0，e）上，g（x）0，g（x）单调递增， 在（e，+）上，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）maxg（e）， 又在（0，1）上 g（x）0；在（1，+）上 g（x）0， 作出 g（x）大致图象： 所以实数 a 的取值范围为（0，） 故答案为：（0，） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分分.解答应写岀文字
28、说明、证明过程或演算步骤解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效域内，超出指定区域的答案无效. 17已知函数 f（x）x3+2x2+x+2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若对任意的都有 f（x）c 成立，求 c 的取值范围 【分析】 （1）求出导函数，求解极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可 （2）由（1）求出函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值，然后推出 c 的范围即可 解：（1）因为 f（x）x3+2x2+x+2，所以 f（x）3x2+4x+1，（1 分） 令
29、 f（x）0，解得或 x1， 当f （ x ） 0 ， 即或x 1 ； 当f （ x ） 0 ， 即， 故 f（x）的单调递增区间为（，1）和，单调递减区间为， 所以， x1 时， f （x） 有极大值 f （1） 2， 当时， f （x） 有极小值 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ x ） 在上 单 调 递 减 ， 在上 单 调 递增， 又，f（1）6， 所以时，f（x）max6， 因 为 对 任 意 的都 有f （ x ） c成 立 ， 所 以c 6 18已知复数 z1a+bi（a，bR），z2c+di（c，dR） （1）当 a1，b1，c1，d2 时，求|z1|，|z2|，|z1z
30、2|； （2）根据（1）的计算结果猜想|z1z2|与|z1|z2|的关系，并证明该关系的一般性； （3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明） 【分析】（1）把 a1，b1，c1，d2 代入，利用复数模的计算公式求|z1|，|z2|，利用复数代数形式的乘除运算求 z1z2，再由复数模的计算公式求|z1z2|； （2）直接求|z1z2|与|z1|z2|，即可得结论； （3）类比（2）中的结论，可得复数商的模等于模的商（或三个及三个以上复数乘积的模等于模的乘积） 解：（1）由题知， z1z2（1i）（1+2i）3+i， ； （2）猜想|z1z2|z1|z2|， 证明
31、：， ， z1z2（a+bi）（c+di）（acbd）+（ad+bc）i， 故|z1z2|z1|z2|成立； （3），或|z1z2z3|z1|z2|z3|，或|z1z2zn|z1|z2|zn| 19为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70 后”至“00 后”的人群中按年龄段分层抽取了 100 名员工进行调查调查结果如图 4 所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00 后”与“90 后”员工占比分别为 10%和 30% （1）现从“00 后样本中随机抽取 3 人，记 3 人中“无出游意愿”的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期； （2）若把“00 后”
32、和“90 后”定义为青年，“80 后”和“70 后”定义为中年，结合样本数据完成 22 列联表， 并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？ 有出游意愿 无出游意愿 合计 青年 中年 合计 附： P（K2k0） 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中 na+b+c+d 【分析】（1）抽到“无出游意愿”的人数 X 的所有可能取值为 0，1，2，求出概率，随机变量 X 的分布列，然后求解随机变量 X 的期望 （2）推出 22 列联表，求出 k2，即可判断不能在犯错误的概率不超过
33、 0.05 的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关 解： （1） 由题知， 样本中 “00 后” 员工人数 n110010%10 人， （1 分） 由图 4 知，其中 8 人有出游意愿，2 人无出游意愿， 从中随机抽取 3 人，抽到“无出游意愿”的人数 X 的所有可能取值为 0，1，2， ， 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P . 随机变量X的期望 （2） 由题知， 样本中中年员工占比为 110%30%60%， 人数 n210060%60 人，青年员工人数n310040%40人， 结合图 3 得到如下 22 列联表， 有出游意愿 无出游意愿 合计 青年 30 10 40 中
34、年 40 20 60 合计 70 30 100 . 假设“有岀游意愿与年龄段无关”，则k2， 不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关 20已知函数 f（x）lnx+ax （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a0，且 g（x）f（x）sinx 在上有且仅有 1 个极值点，求 a 的 取值范围 【分析】（1）求出函数的导数，通过当 a0 时，当 a0 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可 （2）通过 g（x）0，得，g（x）在上有且仅有 1 个极值点，推出与 ycosx 在的图象有且仅有一个交点，通过当时，当时，判断交点个数，推出 a
35、的取值范围 解：（1） 由题得， 函数定义域为 （0， +） ， （1 分） 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立， 所以函数f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，由，得， 当 f（x）0 时，；当 f（x）0 时， 所 以f （ x ） 在上 单 调 递 增 ， 在上 单 调 递减， 综上所述，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当a 0时 ， f （ x ） 在上 单 调 递 增 ， 在上 单 调 递减 （ 2 ） 由 题 得， 令g （ x ） 0 ， 得， 因为 g（x）在上有且仅有 1 个极值点， 所 以与y cosx在的 图 象 有 且 仅 有 一
36、个 交点， 当时 ， 此 时与y cosx没 有 交点， 当时，由前面的分析得，两个函数图象在上有且仅有一个交点，则， 即， 综上所述，a的取值范围为 21共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段某公司调研部门统计了最近 5 个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下： 季度序号 x 1 2 3 4 5 使用次数 y（万次） 1 1.2 1.5 1.8 2.2 （1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数 y 与季度序号 x 之间的关系，如果能，求出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由 （ii
37、） 如果你是公司主管领导， 你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由 （2） 为进一步开拓市场做准备， 公司目前接受报价的有两款车型： A 型单车每辆 500 元，第一年收入 500 元，以后逐年递减 80 元；B 型单车每辆 300 元，第一年收入 500 元，以后逐年递减 100 元经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表： 车型使用寿命 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 A 10 20 30 40 100 B 10 35 30 25 100 不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以 1 辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果
38、你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据：， 参考公式：， 【分析】（1）（i）利用已知条件，画出散点图，设回归方程为，求解回归直线方程的系数，推出结果 （ii）参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨； 由（i）中使用次数 y 关于季度序号 x 的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨 0.3 万次左右， 因此需要向市场增加投放共享单车 参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的
39、区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定 （2）设 1 辆 A 型单车产生的毛利润为随机变量 X1，则 X1的所有可能取值为 500，920，1260，1520，用频率估计概率，画出分布列求出辆 A 型单车毛利润的数学期望，求出 1辆 A 型单车纯利润的数字期望为 1220500720， 设 1 辆 B 型单车产生的毛利润为随机变量 X2，则 X2的所有可能取值为 500，900，1200，1400，用频率估计概率，则 1 辆 B型单车产生毛利润的分布列，求解 1 辆 B 型单车毛利润的数学期望，比较期望的大小，即可
40、判断结论 解：（1）（i）散点图如图所示： 根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数 y 与次季度序号 x 之间的关系， 设回归方程为， 则， 由 3， 1.54，得， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 （ii）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分 参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由： 由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨； 由（i）中使用次数 y 关于季度序号 x 的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨 0.3 万次左右， 因此需要向市场增加投放共享单车 说 明 ： 答 出 一 种 理 由 即 可 给
41、 满 （ 1分 ） ， 其 他 理 由 酌 情 给分 参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由： 题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定 说 明 ： 答 出 一 种 理 由 即 可 给 满 （ 1分 ） ， 其 他 理 由 酌 情 给分 （2）设 1 辆 A 型单车产生的毛利润为随机变量 X1，则 X1的所有可能取值为 500，920，1260，1520， 用频率估计概率，则 1 辆 A 型单车产生毛利润的分布列
42、为 毛利润 X1 500 920 1260 1520 概率 P1 . 则1辆A型单车毛利润的数学期望， 故1辆A型 单 车 纯 利 润 的 数 字 期 望 为1220 500 720， 设 1 辆 B 型单车产生的毛利润为随机变量 X2，则 X2的所有可能取值为 500，900，1200，1400， 用频率估计概率，则 1 辆 B 型单车产生毛利润的分布列为 毛利润 X2 500 900 1200 1400 概率 P2 则1辆B型单车毛利润的数学期望， 故1辆B型 单 车 纯 利 润 的 数 学 期 望 为1075 300 775， 因为 1 辆 B 型单车纯利润的数学期望大于 1 辆 A 型
43、单车的，所以选择 B 型单车 22已知函数 f（x）x2xxlnx，g（x）x33ax+e （1）证明 f（x）0 恒成立； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值已知函数，记函数 （x） maxh（x），g（x），若函数 （x）在（0，+）上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）求出函数的导数，构造函数 （x）x1lnx，利用导函数，判断函数的单调性，然后转化推出结果 （2）求出 h（x）1lnx，判断当 0 xe 时，有无零点；当 xe 时，h（e）0，g（e）e33ae+e，判断函数有 1 个零点；当 xe 时，h（x）0 恒成立，因此只需考虑 g（x）在（e，
44、+）上的零点情况结合函数的导数，求解函数的极值，推出函数有两个零点推出 a 的范围 【解答】（1）证明：由题得 f（x）的定义域为（0，+）， 则 x2xxlnx0 在 x（0，+）上恒成立等价于 x1lnx0 在 x（0，+）上恒成立，（1 分） 记（x）x1lnx，则， 当 （x）0 时，0 x1；（x）0 时，x1， 故 （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， （ 1 ， + ） 上 单 调 递增， 所以（x）（1）0，即f（x）0恒成立 （2）解：由题得 h（x）1lnx， 当0 x e时 ， （ x ） h （ x ） 0 ， 此 时 无 零点 当 xe 时，h（
45、e）0，g（e）e33ae+e a当 g（e）e33ae+e0，即时，xe 是 （x）的一个零点； b当 g（e）e33ae+e0，即时，xe 不是 （x）的一个零点； 当 xe 时，h（x）0 恒成立，因此只需考虑 g（x）在（e，+）上的零点情况 由 g（x）3x23a a当 ae2时，g（x）0，g（x）在（e，+）上单调递增，且 g（e）e33ae+e， 当时，g（e）0，则 g（x）在（e，+）上无零点，故 （x）在（0，+）上无零点； 当时，g（e）0，则 g（x）在（e，+）上无零点，故 （x）在（0，+）上有 1 个零点； 当时，由 g（e）0，g（2e）8e36ae+e8e36e3+e0，得 g（x）在（e，+）上仅有一个零点，故 （x）在（0，+）上有 2 个零点； 所以， b当 ae2时，由 g（x）0 得， 由 g（x）0 时，；当 g（x）0 时，g（x）0， 故 g（x）在上单调递减，g（x）在上单调递增； 由 g（e）0，g（2a）8a36a2+e2a2+e0，得 g（x）在（e，+）上仅有一个零点，故 （x）在（0，+）上有 2 个零点； 所以ae2， 综 上 所 述 ，时 ， （ x ） 在 （ 0 ， + ） 上 恰 有 两 个 零点
