1、 广东省江门市广东省江门市 2020-2021 学年高二下学期数学期末考试试卷学年高二下学期数学期末考试试卷 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1.复数 52 的共轭复数是（ ） A. 2 + B. 2 + C. 2 D. 2 2.“ 0 0) 的左右焦点分别为 1 ， 2 ， 离心率为 33 ， 过 2 的直线 交 于 , 两点，若 1 的周长为 43 则，椭圆 的方程为（ ） A. 23+22= 1 B. 212+
2、2= 1 C. 212+28= 1 D. 212+24= 1 4.与直线 3 4 + 5 = 0 关于 轴对称的直线的方程为（ ） A. 3 + 4 5 = 0 B. 3 + 4 + 5 = 0 C. 3 4 + 5 = 0 D. 3 4 5 = 0 5.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线直到 1690 年，雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案 1691 年他的弟弟约翰伯努利和菜布尼兹、 惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式双曲余弦函数： () = + cosh= + +2 （ 为自然对数的底数）当 = 0 ， = 1 时
3、，记 = (1) ， = (12) ， = (2) ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 0) 上的点， 它们的横坐标依次为 1 ， 2 ， ，点 F 是抛物线 C 的焦点.若 1+ 2+ + =10， |1| + |2| + + | =10+n ， 则 p 等于（ ） A. 2 B. 32 C. 52 D. 4 二、多选题二、多选题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，
4、有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9.已知 ， 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A. 若 ， ， / ，则 / B. 若 ， ，则 / C. 若 / ， / ， , ，则 / D. 若 ， ，则 10.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与 2222= 1( 0, 0) 共轭的双曲线是 2222= 1( 0, 0) B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为 1 、 2 则 12 2 D. 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上
5、11.如图，在棱长为 1 的正方体 1111 中，点 在线段 1 上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥 1 的体积是 16 B. / 平面 11 C. 平面 1 与平面 1 所成的二面角为 60 D. 异面直线 1 与 1 所成角的范围是 6,2 12.已知函数 () = |sin ，则下列结论正确的是（ ） A. () 是以 2 为周期的函数 B. () 是奇函数 C. () 在 (4,34) 上为增函数 D. () 在 (10,10) 内有 20 个极值点 三、填空题三、填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.命题“ 0
6、 ， 3 1 0 ”的否定是 14.已知复数 z 与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z =_ 15.过点 (0,1) 的直线与圆 2+ 2= 4 相交于 、 两点，则 | 的最小值为 16.如图，在直三棱柱 111 中， = 90 ， = = 1= 1 ，已知 和 分别为 11 和 1 的中点， 和 分别为线段 和 上的动点（不包括端点），若 ，则线段 长度的取值范围为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）步骤） 17.已知抛物线 :2= 2( 0) 的焦点
7、为 ，并且经过点 (1,2) （1）.求抛物线 的方程； （2）.过原点 作倾斜角为 45的直线 交抛物线 于 ， 两点，求 的面积 18.已知空间三点 (0,2,3) ， (2,1,6) ， (1,1,5) （1）.求 的面积； （2）.若向量 / ，且 | = 21 ，求向量 的坐标 19.已知函数 () = 3+ 32+ 9 + （1）.当 = 2 时，求 () 在 = 2 处的切线方程； （2）.若 () 在区间 2,2 上的极小值为 5 ，求它在该区间上的最大值 20.如图， 在四棱锥 中， 平面 ， 底面 是菱形， = 60 点 ， 分别在棱 ， 上，且 = 2 ， = 2 （1）
8、.证明： / 平面 ； （2）.若 = 2 ，求二面角 的余弦值 21.椭圆 E 与 29+28= 1 有共同的焦点，且经过点 (1,32) （1）.求椭圆 E 的标准方程和离心率； （2）.设 F 为 E 的左焦点，M 为椭圆 E 上任意一点，求 的最大值. 22.已知函数 () = ln （1）.若函数 () 在定义域上的最大值为 1，求实数 的值； （2）.设函数 () = ( 2)+ () ，当 = 1 时， () 对任意的 (13,1 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值 答案解析部分答案解析部分 广东省江门市广东省江门市 2020-2021 学年高二下学期数学期末考试试卷学年高二
9、下学期数学期末考试试卷 一、单选题一、单选题 1.复数 52 的共轭复数是（ ） A. 2 + B. 2 + C. 2 D. 2 【答案】 B 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 因为52=5(2)(2)(2)= 2 ， 所以复数 52 的共轭复数为 2 + 。 故答案为：B 【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数 52 ，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数 52 的共轭复数。 2.“ 0 01 0 1 ，解得 0 1 且 12 ， 所以“ 0 1 ”是“ 0 0) 的左右焦点分别为 1 ， 2 ， 离心率为 33 ， 过 2 的直线 交 于 , 两点，若
10、 1 的周长为 43 则，椭圆 的方程为（ ） A. 23+22= 1 B. 212+ 2= 1 C. 212+28= 1 D. 212+24= 1 【答案】 A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意可得 =33,4 = 43 ，解得 = 3 ， = 1 ， 所以 2= 2 2= 2 ， 所以椭圆 的方程为 23+22= 1 。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而求出 a,c 的关系式，再利用椭圆的定义结合三角形的周长公式，从而求出 a 的值，进而求出 c 的值，再利用椭圆中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 b 的值，进而求出椭圆的标准方程。 4.与直线
11、 3 4 + 5 = 0 关于 轴对称的直线的方程为（ ） A. 3 + 4 5 = 0 B. 3 + 4 + 5 = 0 C. 3 4 + 5 = 0 D. 3 4 5 = 0 【答案】 B 【考点】直线的一般式方程，图形的对称性 【解析】 【解答】直线 3 4 + 5 = 0 关于 轴对称的直线的方程为 3 4() + 5 = 0 ，即 3 +4 + 5 = 0 。 故答案为：B 【分析】 利用直线关于 x 轴对称的求解方法， 从而求出与直线 3 4 + 5 = 0 关于 轴对称的直线的一般式方程。 5.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线直到 1690 年，雅
12、各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案 1691 年他的弟弟约翰伯努利和菜布尼兹、 惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式双曲余弦函数： () = + cosh= + +2 （ 为自然对数的底数）当 = 0 ， = 1 时，记 = (1) ， = (12) ， = (2) ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 0 时， () 0 ，即函数 () 在区间 (0,+) 上单调递增 (1) =1+ 2= (1) 0 12 1 2 ， (12) (1) (2) ，即 0) 上的点， 它们的横坐标依次为 1 ， 2 ， ，点 F 是抛物线 C 的焦
13、点.若 1+ 2+ + =10， |1| + |2| + + | =10+n ， 则 p 等于（ ） A. 2 B. 32 C. 52 D. 4 【答案】 A 【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】抛物线 C： 2= 2( 0) 的准线为 = 2 ， 根据抛物线的定义可知， |1| = 1+2 ， |2| = 2+2 ， ， | = +2 ， 所以 |1| + |2| + + | = 1+2+ 2+2+ + +2 ， 所以 10 + = 1+ 2+ + +2 ， 所以 10 + = 10 +2 ，所以 = 2 。 故答案为：A 【分析】利用抛物线 C： 2= 2( 0) 求出
14、其准线方程为 = 2 ，再根据抛物线的定义可知 |1| = 1+2 ， |2| = 2+2 ， ， | = +2 ， 所以 |1| + |2| + + | = 1+2+2+2+ + +2 ， 再利用 |1| + |2| + + | =10+n 和 1+ 2+ + =10， 所以 10 + = 10 +2 ，从而求出 p 的值。 二、多选题二、多选题 9.已知 ， 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面， 则下列命题正确的是 （ ） A. 若 ， ， / ，则 / B. 若 ， ，则 / C. 若 / ， / ， , ，则 / D. 若 ， ，则 【答案】 A,D 【考点】空间中直
15、线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：对 A：若 ， / ，则 ，又 ，所以 / ，故正确； 对 B：若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，故错误； 对 C：若 / ， / ， , ，由于没有强调 与 相交，故不能推出 / ，故错误； 对 D：若 ， ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，故正确. 故答案为：AD. 【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，从而选出正确命题的选项。 10.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与
16、 2222= 1( 0, 0) 共轭的双曲线是 2222= 1( 0, 0) B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为 1 、 2 则 12 2 D. 互为共轭的双曲线的 4 个焦点在同一圆上 【答案】 C,D 【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】对于 A 选项，由共轭双曲线的定义可知，与 2222= 1( 0, 0) 共轭的双曲线是 2222= 1( 0, 0) ，A 不符合题意； 对于 B 选项，双曲线 2222= 1( 0, 0) 的渐近线方程为 = ， 双曲线 2222= 1( 0, 0) 的渐近线方程为 = ，B 不符
17、合题意； 对于 C 选项，设 = 2+ 2 ，双曲线 2222= 1 的离心率为 1= ， 双曲线 2222= 1 的离心率为 2= ， 所以， 12=2=2+2=+ 2= 2 ，当且仅当 = 时，等号成立，C 对； 对于 D 选项，设 = 2+ 2 ，双曲线 2222= 1 的焦点坐标为 (,0) ， 双曲线 2222= 1 的焦点坐标为 (0,) ，这四个焦点都在圆 2+ 2= 2 上，D 对. 故答案为：CD. 【分析】由共轭双曲线的定义可知，与 2222= 1( 0, 0) 共轭的双曲线是 2222= 1( 0, 0) ；利用双曲线标准方程为 2222= 1( 0, 0) ，从而确定焦
18、点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程为 = ，因为双曲线标准方程为 2222= 1( 0, 0) ，从而确定焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程为 = ； 从而推出互为共轭的双曲线渐近线相同； 利用双曲线中 a,b,c三者的关系式， 设 = 2+ 2 ， 再利用双曲线的离心率公式求出双曲线 2222= 1 的离心率为 1= 和双曲线 2222= 1 的离心率为 2= ，再结合均值不等式求最值的方法，所以 12=2=2+2=+ 2 ； 利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式，设 = 2+ 2 ，再利用双曲线标准方程为 2222= 1 ， 从而求出焦点的位置， 进而求出焦点坐标为 (,0) ，
19、再利用双曲线标准方程为 2222=1 ，从而求出焦点的位置，进而求出焦点坐标为 (0,) ，这四个焦点都在圆 2+2= 2 上，从而找出结论正确的选项。 11.如图，在棱长为 1 的正方体 1111 中，点 在线段 1 上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥 1 的体积是 16 B. / 平面 11 C. 平面 1 与平面 1 所成的二面角为 60 D. 异面直线 1 与 1 所成角的范围是 6,2 【答案】 A,B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【解答】对于 A： 因为 C 到平面 1 的距离不变，
20、为 1 的一半，等于 22 ， 1 的面积不变，且 1=12 |1| | =12 2 1 =22 所以三棱锥 1 的体积不变， 根据等体积法可得 1= 1=13 122=16 ，A 符合题意； 对于 B：连接 DB，DP， 1,11 ，因为正方体 1111 ， 所以 /11, 平面 ， 11 平面 ，所以 11/ 平面 ， 同理 1/ 平面 ， 11 1= 1 ， 所以平面 11 平面 ，又 平面 ， 所以 / 平面 11 ，B 符合题意. 对于 C：因为 ， 1 ,1 = ， 所以 平面 1 ，所以 1 ， 同理 1 1,1 = ， 所以 1 平面 1 ， 所以平面 1 平面 1 ，C 不符
21、合题意； 对于 D：因为 1/1 ， 所以异面直线 1 与 1 所成角等于 1 与 1 所成的角， 因为 1 = 11 ，当 P 与 1 两端点重合时， 1 与 1 所成的角最小，且为 3 ， 当 P 位于 1 中点时， 1 与 1 所成角最大，且为 2 ， 所以异面直线 1 与 1 所成角的范围是 3,2 ，D 不符合题意. 故答案为：AB. 【分析】 利用等体积法，求出1= 1=16 ， 即可得判断出选项 A 正确；利用面面平行的判定定理，可证平面平面 11 平面 ， 再由/11, 平面 ， 即可判断出选项B 正确；根据面面垂直的判定定理，可证平平面 1 平面 1 ， 可判断出选项 C 错
22、误；由已知条件分析可得点 P 位于1两端点时，1 与 1所成的角最小，P 位于1中点时， 1 与 1所成角最大，即可判断出选项 D 错误，由此即可得答案. 12.已知函数 () = |sin ，则下列结论正确的是（ ） A. () 是以 2 为周期的函数 B. () 是奇函数 C. () 在 (4,34) 上为增函数 D. () 在 (10,10) 内有 20 个极值点 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数的周期性，函数在某点取得极值的条件 【解析】 【解答】对于 A 选项： ( + 2) = |+2|sin( + 2) = |+2|sin () ，所以
23、函数 () 不是周期为 2 的函数，A 不符合题意； 对于 B 选项： () 的定义域为 R ， () = |sin() = |sin = () ， 所以函数 () 是奇函数，B 符合题意； 对于 C 选项：当 (4,0) 时， () = sin ， () = (cos sin) 0 ，所以函数 () 在 (4,0) 单调递增， 当 (0,34) 时， () = sin ， () = (sin+ cos) 0 ，所以函数 () 在 (0,34) 单调递增， 所以函数 () 在 (4,34) 上为增函数，C 符合题意； 对于 D 选项： 当 0,10) 时， () = sin ， () = (s
24、in + cos) ， 令 () = (sin+cos) = 0 ，得 = 4+ ( = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) ， 当 (10，0) 时， () = sin ， () = (cos sin) ，令 () = (cos sin) = 0 ，得 =4+ ( = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) ，所以在 (10,10) ，使导函数 () = 0 的点有 20 个，且这 20 个点是变号零点，所以函数 () 在 (10,10) 内有 20 个极值点，D 符合题意. 故答案为：BCD. 【分析】利用( + 2) = |+2|sin( + 2) = |+2|sin ()
25、，再利用周期函数的定义，所以函数 () 不是周期为 2 的函数；利用奇函数的定义判断函数为奇函数；利用增函数的定义，从而判断函 数为增函数；利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，从而推出函数 () 在 (10,10) 内有 20 个极值点，从而找出结论正确的选项。 三、填空题三、填空题 13.命题“ 0 ， 3 1 0 ”的否定是 【答案】 0 ， 3 1 0 【考点】命题的否定 【解析】【解答】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“ 0 ， 3 1 0 ”的否定是“ 0 ， 3 1 0 ”。 故答案为： 0 ， 3 1 0 。 【分析】利用已知条件结合命题与命
26、题的否定的关系，再结合全称命题与特称命题互为否定的关系，从而写出命题的否定。 14.已知复数 z 与 （z +2）2-8i 均是纯虚数,则 z =_ 【答案】 -2i 【考点】虚数单位 i 及其性质，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设 = ，则 ( + 2)28i= ( + 2)28i=4-2+ (4 8) 是纯虚数,则 4-2= 0，4 8 0， = 2 = 2。 【分析】利用复数 z 是纯虚数，设 z=ai,从而得出复数（z +2）2-8i 的代数形式，再利用复数 （z +2）2-8i 是纯虚数的判断方法，从而求出 a 的值，进而求出复数 z。 15.过点 (0,1) 的直线与圆
27、2+ 2= 4 相交于 、 两点，则 | 的最小值为 【答案】23 【考点】点到直线的距离公式，直线与圆相交的性质 【解析】 【解答】记 (0,1) 点为 ，圆半径为 2， | = 1 ，当 时，圆心 到直线 的距离最大为 1， | 最小，此时 | = 222 12= 23 。 故答案为： 23 。 【分析】记 (0,1) 为点 ，圆半径为 2， | = 1 ，当 时，再利用点到直线的距离公式，得出圆心 到直线 的距离最大为 1， | 最小，再利用弦长公式得出此时 | 的最小值。 16.如图，在直三棱柱 111 中， = 90 ， = = 1= 1 ，已知 和 分别为 11 和 1 的中点，
28、和 分别为线段 和 上的动点（不包括端点），若 ，则线段 长度的取值范围为_ 【答案】55,1) 【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0,0,0) ， (0,1,12) ， (12,0,1) ， (,0,0) ， (0,0) ， 由于 ，则 = 0 ，所以 + 2 1 = 0 ， 所以 = (,0) = (2 + 1,) ， 所以 | = 2+ 2+ 02= 52 4 + 1 = 5( 25)2+15 ， 当 =25 时，线段 长度的最小值是 15 ， 当 = 0 时，线段 长度的最大值是 1， 而不包括端点，故 = 0 不能取； 故答
29、案为： 55,1) 【分析】建立空间直角坐标系，设出 、 的坐标，求出向量 ， ，利用 求得关系式，写出 | 的表达式，然后利用二次函数求最值即可 四、解答题四、解答题 17.已知抛物线 :2= 2( 0) 的焦点为 ，并且经过点 (1,2) （1）.求抛物线 的方程； （2）.过原点 作倾斜角为 45的直线 交抛物线 于 ， 两点，求 的面积 【答案】 （1）把点 (1,2) 代入抛物线 :2= 2( 0) ， 可得 (2)2= 2 ，解得 = 2 所以抛物线 的方程为 : = 4 （2）抛物线的焦点为 (1,0) ，过原点 作倾斜角为 45的直线 方程为 = 联立 = 2= 2 ， 解得
30、= 0 = 0 或 = 4 = 4 不妨设 (0,0) ， (4,4) 则 的面积为 =12| | =12 1 4 = 2 ， 所以所求 的面积为 2 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）利用抛物线 :2= 2( 0) 经过点 (1,2) 结合代入法求出 p 的值，进而求出抛物线的标准方程。 （2）利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点 F 的坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出过原点 作倾斜角为 45的直线 方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用三角形的面积公式，从而求出三角
31、形 的面积。 18.已知空间三点 (0,2,3) ， (2,1,6) ， (1,1,5) （1）.求 的面积； （2）.若向量 / ，且 | = 21 ，求向量 的坐标 【答案】 （1）设向量 ， 的夹角为 ， 由已知 = (2,1,3) ， = (1,3,2) ， | = (2)2+ (1)2+ 32= 14 ， | = (1)2+ (3)2+ 22= 14 ， cos =|=(2)1+(1)(3)+321414=12 ， 0 ， =3 ， =12| | sin =121414 32=723 （2） / ， = ， ， | = 21 ，即 | = 21 ，即 | =62 ， = 62 = 6
32、2(2,1,3) ， 即 = (6,62,362) ，或 = (6,62,362) 【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积表示两个向量的夹角，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1） 设向量 ， 的夹角为 ，利用向量的坐标表示结合已知条件得出 =(2,1,3) ， = (1,3,2) ，再利用向量的模的坐标表示求出| = 14 和 | = 14 ，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出cos =12 ，再利用向量的夹角的取值范围，从而求出两向量的夹角 =3 ，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积 。 （2） 因为/ ，再利用向量共线定理得出 = ， ，因为 | =
33、 21 ，从而求出| =62 ，再利用向量的坐标运算得出向量 的坐标。 19.已知函数 () = 3+ 32+ 9 + （1）.当 = 2 时，求 () 在 = 2 处的切线方程； （2）.若 () 在区间 2,2 上的极小值为 5 ，求它在该区间上的最大值 【答案】（1）() = 32+ 6 + 9，切线的斜率为(2) = 9,(2) = 20， ()在 = 2处的切线方程为 20 = 9( 2)，即9 + 2 = 0 （2）令() = 32+6 + 9 = 0，得 = 3（舍去）或 = 1 列表如下： -2 (2,1) -1 (1,2) 2 () 0 () + 2 5 + 22 由上表()
34、在区间2,2上的极小值为 5 = 5，得 = 0 ()在区间2,2上的最大值为 + 22 = 22 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）利用 a 的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线的方程。 （2）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再利用已知条件函数 () 在区间 2,2 上的极小值为 5 ， 从而求出 a 的值，进而求出函数的解析式，再利用
35、求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间上的最大值。 20.如图， 在四棱锥 中， 平面 ， 底面 是菱形， = 60 点 ， 分别在棱 ， 上，且 = 2 ， = 2 （1）.证明： / 平面 ； （2）.若 = 2 ，求二面角 的余弦值 【答案】 （1）证明：在 上取点 ，使 = 2 ，连结 ， = 2 ， =23 ， 由平行线分线段成比例定理逆定理， / 且 =23 = 2 ，且 是菱形， / 且 =23 / 且 = ， 是平行四边形， / ，又 平面 ， 平面 ， / 平面 （2）解： 是菱形， = 60 ， 为等边三角形，取 中点 ，连结 ，则 平面 ，分别以 ， ， 为
36、， ， 轴建立空间直角坐标系 设 = 2 ，则 (3,1,0) ， (3,1,0) ， (0,2,0) ， (0,0,22) ， = (0,2,0) ， = (3,1,22) ， = (3,1,0) 设平面 的法向量为 = (1,1,1) ， 由 = 0 = 0 ，即 31+ 1 221= 021= 0 ， 令 1= 22 ，得 = (22,0,3) 设平面 的法向量为 = (2,2,2) ， 由 = 0 = 0 ，即 32+ 2 222= 032+ 2= 0 ， 令 2= 2 ，得 = (2,23,6) 设二面角 的大小为 ，由图可知 为钝角， cos = |cos , | = |= 42+
37、0+321122= 711 二面角 的余弦值为 711 【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1） 在 上取点 ，使 = 2 ，连结 ， 因为 = 2 ，再利用两向量共线即平行，从而推出两直线平行对应边成比例，所以 =23 ，由平行线分线段成比例定理逆定理， 则/ 且 =23 ， 因为 = 2 且 是菱形， 所以/ 且 =23 ，所以 / 且 = ，所以 是平行四边形，所以/ ，再利用线线平行推出线面平行，从而证出直线 / 平面 。 （2）因为 是菱形， 所以 = 60 ，所以三角形 为等边三角形，取 中点 ，连结 ，则 ，因为 平面 ，分别以 ， ， 为
38、， ， 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合已知条件和数量积求向量夹角公式，从而结合角 为钝角和诱导公式求出二面角 的余弦值。 21.椭圆 E 与 29+28= 1 有共同的焦点，且经过点 (1,32) （1）.求椭圆 E 的标准方程和离心率； （2）.设 F 为 E 的左焦点，M 为椭圆 E 上任意一点，求 的最大值. 【答案】 （1）由 29+28= 1 ，可得 = 1 ， 设椭圆 E 的标准方程： 22+22= 1 ，且经过点 (1,32) . 2= 2+ 212+942= 1 ，解得 2= 42= 3 ， 所以椭圆 E 的标准方程： 24+
39、23= 1 ， =12 . （2）由（1）可知： 24+23= 1 ， (1,0) ， 设 (2cos,3sin), （ 为参数）， 则 = (2cos,3sin) ， = (2cos+ 1,3sin) ， 所以 = 4cos2 + 2cos + 3sin2 = cos2 + 2cos + 3 = (cos + 1)2+ 2 ，（ 1 cos 1 ） 当 cos = 1 时，取得最大值，即 的最大值为 6. 【考点】数量积的坐标表达式，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 【解析】【分析】（1） 由椭圆的标准方程 29+28= 1 确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标，进而求出 c 的值，再利用椭圆
40、E 与 29+28= 1 有共同的焦点，从而求出椭圆 E 的焦点坐标，进而求出椭圆 E 中c 的值，再利用椭圆 E 经过点 (1,32)结合代入法求出 a,b 的关系式，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式，从而求出 a,b 的值，进而求出椭圆的标准方程，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆 E 的离心率。 （2） 由（1）可知椭圆 E 的标准方程为： 24+23= 1 ， 从而确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，所以(1,0) ，利用点M 为椭圆 E 上任意一点， 设 (2cos,3sin), （ 为参数），再利用向量的坐标表示求出向量的坐标， 再利用数量积的坐标表示结合二次函数图象求最值
41、的方法， 从而求出当 cos =1 时， 取得最大值，从而求出 的最大值。 22.已知函数 () = ln （1）.若函数 () 在定义域上的最大值为 1，求实数 的值； （2）.设函数 () = ( 2)+ () ，当 = 1 时， () 对任意的 (13,1 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值 【答案】 （1）由题意，函数 = () 的定义域为 (0,+) ， () =1 =1 . 当 0 时， () =1 0 对任意的 (0,+) 恒成立， 函数 = () 在区间 (0,+) 上单调递增， 此时，函数 = () 在定义域上无最大值； 当 0 时，令 () =1= 0 ，得 =1 ，
42、由 () 0 ，得 (0,1) ，由 () 0 ，则 () 单调递增， (12) = 12 2 0 ， 所以，存在唯一的 0 (12,1) ，使得 (0) = 0 ，即 0=10 ， 0= ln0 ， 且当 13 0 时， () 0 ， 当 0 0 ，即 () 0 ， 故函数 (0) 在 0 (12,1) 时单调递增，则 (12) (0) (1) ， 即 (0) = 1 2(0+10) (4,3) ，则 3 ，因此 的最小整数值为-3 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判
43、断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用函数 () 在定义域上的最大值为 1，从而求出实数 的值。 （2） 当 = 1 时，从而求出函数 f(x)的解析式，再结合函数 () = ( 2)+ () ， 从而求出函数 h(x)的解析式， 即() = ( 2)+ ln ， 由题意可知， ( 2)+ ln 对任意的 (13,1 恒成立，再利用导数的运算法则求出函数 h(x)的导函数，即 () = ( 1)+1 1 = ( 1)(1) ，因为 (13,1 ， 所以 1 0 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而结合分类讨论的方法推出函数 =() 在区间 (13,0) 上单调递增，在区间 (0,1) 上单调递减，进而求出函数 h(x)的最大值为 ()max=(0) = 1 2(0+10) ，因为0 (12,1) ，设 (0) = 1 2(0+10) ，再利用求导的方法判断函数的单调性， 从而推出函数 (0) 在 0 (12,1) 时单调递增， 再利用函数的单调性， 则 (12) (0) (1) ，即 (0) = 1 2(0+10) (4,3) ，从而求出实数 b 的取值范围，进而求出实数 的最小整数值。
