1、,函数、导数及其应用,第 二 章,第16讲导数与函数的综合问题,栏目导航,1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点,2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路,3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究,4导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题
2、(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x)a”(),解析yx281，令y0，得x9或x9(舍去)，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值，即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,C,3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上
3、连续，且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上是减函数F(x)在a，b上的最大值为F(a)f(a)g(a),A,4若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_.解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2),(2,2),f(a)f(b),利用导数解决生活中的优化问题的步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，
4、列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.,一利用导数解决生活中的优化问题,(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题回答解决方案注意：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域,【例1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(
5、r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,二利用导数研究函数的零点或方程的根,研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现,【例2】 已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(
6、1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点,三利用导数证明不等式,利用导数证明不等式的解题策略(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数F(x)f(x)g(x)的零点，这往
7、往就是解决问题的一个突破口,四利用导数研究恒成立或能成立问题,利用导数研究恒成立或能成立问题的方法(1)由不等式恒成立或能成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使ag(x)恒成立，只需ag(x)max，要使ag(x)恒成立，只需ag(x)min，或者是在其定义域内存在x使ag(x)成立，只需ag(x)min即可另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)0即可求出a的取值范围(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式,1做一个无盖的圆柱形水
8、桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A3B4C6D5,A,2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1),C,3已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.,2或2,4已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.,4，),
9、错因分析：对一些函数的定义域没有认清，不能对要证明的目标进行合理转化，也不能按得分点规范化书写而失分,易错点没有注意函数定义域或者不能进行等价转化,可知u(x)与v(x)的图象在(0，)上仅有一个交点故当a0时，f(x)存在唯一零点综上得f(x)的零点的个数为1.,【跟踪训练1】 已知f(x)xln x，证明：当x1时，2xef(x)证明令g(x)f(x)2xe，则g(x)f(x)2ln x1.令g(x)0，得xe.当x(1，e)时，g(x)0.g(x)在(1，e)内单调递减，在(e，)内单调递增g(x)极小值g(e)f(e)2ee0.又g(1)f(1)2ee20，g(x)在1，)内的最小值为0，g(x)g(x)min0，f(x)2xe0，即2xef(x),
