1、目录第一章前言1第二章衔接补充32.1 数与式32.1.1 乘法公式32.1.2 因式分解82.1.3 分式与根式122.2 方程与方程组以及不等式172.2.1 韦达定理172.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组222.2.3 不等式26第三章学习新知293.1 集合293.1.1 集合的基本概念293.1.2 集合的基本性质293.1.3 集合的表示方法303.1.4 集合间的基本关系323.1.5 集合间的基本运算343.2 常用逻辑用语403.2.1 充分条件、必要条件、充要条件403.2.2 全称量词与存在量词423.3 函数的概念与性质453.3.1 函数的概念453.3.2
2、 函数的表示法473.3.3 分段函数的应用473.3.4 函数的图象493.3.5 函数的定义类问题513.3.6 函数值域的求法523.3.7 恒成立问题54第一章前言首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具
3、体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。“数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。引例1：是什么？是什么？又是什么？答案：对于对于同理，限于篇幅不在此继续分析。引例1体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三的学习技巧。引例2：设为均为正数，且，证明：答案：特殊情况：观察易得当时，不等式取等一般情况：可用代数和几何意义解决，我们着重讲解几何
4、意义易得综上两种情况，可得引例2体现了特殊与一般、数形结合的数学思想，体现了化繁为简的学习技巧。*思考题：设为均为正数，求证：本题与引例2有什么不同？做一做并体会其中奥妙解析：由于大小关系不确定，所以需要引入绝对值保持该式仍然成立。第二章衔接补充2.1 数与式2.1.1 乘法公式一、 【归纳初中知识】 在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：平方差公式：完全平方公式：在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。你能
5、说出上述图形验证了哪一个式子吗？例1：利用几何图形证明当时，解析：由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。二、 【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼：完全立方和公式：完全立方差公式：公式、我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？立方和公式：立方差公式：最后，我们再填补三数平方和的公式：三数平方和：三、 【例题精讲】例1：观察
6、下列算式：（1） 按照上述规律续写2个式子；（2） 用文字反应出上述式子的规律；（3） 证明你所发现规律的正确性；答案：（1） （2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）（3）例2：观察下列算式：（1） 按照上述规律续写两个式子；（2） 求答案：（1） （2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。则有：例3：若（1） 求；（2）求；答案：（1）（2） 其中将带入式得例4：已知，求的值。答案：由所以例5：证明：函数中与具有相同的增减性答案：要证与具有相同的增减性当时，故设，则所以例6：设，则对于任意的，与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 答案：在本题中得出一个
7、重要结论由本题，我们可以引出高中乃至高考的重点知识：基本不等式：或初步认识“对勾函数”在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！课后习题1、 已知，则2、三角形的三边满足，则该三角形的形状为_等腰_3、，则4、已知：，则5、当时，计算6、7、已知，求8、已知，则9、已知且，则代数式10、函数在时的最小值为解析：11、已知均为正数，且，则的最小值为解析：*12、函数的最大值为解析：取倒，故（此题不考虑最小值）2.1.2 因式分解一、 【归纳初中知识】把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：方式：提取公因式法 方式：公式法 二、 【衔接高中
8、知识】下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法：方式：分组分解法 我们知道形如这样的二次三项式可以分解为，它的特点是二次项系数为1，常数与一次项系数可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到。这种方法能推广到更深层次吗？下面来看二次三项式，将二次项系数与常数项建立十字形式：我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数，从而我们有方式：十字相乘法 *方式：大除法我们引入这样一个问题：求方程的解显然，由观察得出是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍大除法：三、 【例题精讲】例1：分解因式（1）（2）例2：分解因式（1）（2
9、）（3）（4）例3：已知是正整数，且是质数，求的值解析：质数只能分解为1和本身之积，所以首先需要对其进行因式分解易错点：，此路无法进行分解课后习题1、 若则，2、3、 若，且均为整数，则4、下列各式中，不是因式的是（ D ）A、 B、 C、 D、解析：5、分解因式解析：6、 若多项式能用完全平方公式进行分解，则解析：7、 分解因式：解析：8、 分解因式：=_解析：法一：易得为其中一个因式，大除法：*法二：拆项9、设，试用表示解析：*10、多项式的一个因式是，计算法一：大除法法二：设项，由左边六项可得右边剩余一项为的形式，设出计算即可设，左右展开一样得代入原式可得2.1.3 分式与根式一、 【归
10、纳初中知识】1. 在初中阶段我们把形如的式子叫做分式，并且常常用到以下性质：1. 在初中阶段我们把形如的式子叫做二次根式，表示的是非负数的算数平方根，并且常用到以下性质：二、 【衔接高中知识】1. 进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。2. 进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，次根式等等三、 【例题精讲】例1：若，求的值解析：例2：，求的值解析：例3：设，求的值解析：例4：设，求解析：*例5：已知，证明解析：例6：阅读材料，回答下列问题：我们发现（1） 计算；（2）
11、求证：解析：（1）（2）例7：（1）若，求；（2）求（为正整数）解析：（1）（2）例8：已知，求的值解析：已知*例9：已知实数非负，若，求证：解析：*例10：若，则的值为？解析：课后习题1、若，则2、计算：3、比较大小：（1）；（2）_解析：（1）（2）4、已知，求证：解析：5、若，计算解析：6、下列说法正确的是（ B ）A.正数有一个偶次方根 B. 负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根 D. 正数有两个奇次方根7、若，则（ C ）A. B. C. D. 8、已知，则=9、化简：解析：10、设，求解析：11、化简：（1） ；解析：（2）解析：若，则若，则12、证明：解析：2.2 方程与方程组
12、以及不等式2.2.1 韦达定理一、 【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。2、对于任意的一元二次方程，通过判别式能够判断其方程解的个数。二、 【衔接高中知识】我们已经知道如果有两个解，则其分别为；，则我们可以得到上面揭示了二次方程的根与系数之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。反之，若满足，则我们可以说一定是的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。三、 【例题精讲】例1：若是的两个根，求：（1） ；（2）；（3）；（4）,.解析：略，注意例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为和.解析：或
13、例3：已知关于的方程，根据下列条件，分别求出满足条件的值.（1） 方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足.解析：（1）（2）综上，若，则例4：若是方程的两个根，当为何值时，取得最小值？请你求出这个最小值解析：当时，有最小值例5：已知关于的方程有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求的值.解析：例6：若关于的方程有两个根：（1） 当其中一个大于1，另一个小于1时，求的取值范围；（2） 当两个根都小于1时，求的取值范围.解析：（1）由已知设且所以（2）法一：法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当时，函数值，同时也需满足例7：若是方程的两实数根，且均大于1.（1） 求实数的取值范围
14、；（2） 若，求的值解析：（1）（2）*例8：已知是一元二次方程的两个实数根，求的值.解析：课后习题1、 关于的一元二次方程其中一个根是0，则=2、 关于的方程：（1） 若有一个根为0，则，此时方程另一个根为：（2） 若两根之和为，则，此时方程两个根分别为：3、 方程的两根为，则4、 设为方程的两根，且为方程的两根，则解析：由题意有*5、已知实数满足，则解析：由题意有*6、若，且，则解析：故7、已知关于的方程两根之比为，求证：证明：设8、已知方程有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求解析：由题意综上，9、若一元二次方程的两个根均满足，求的取值范围法一：借助函数图像可知：当时函数值均对称轴综
15、上，法二：设两根为，则有2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组一、 【归纳初中知识】1、牢记初中阶段所学过解分式方程的关键步骤：通过找最简公分母去分母；检验增根2、初中阶段所学习过最直接去根号的方法：平方法3、初中阶段学习过二元一次方程的基本解法：消元法二、 【衔接高中知识】1、 学会求解复杂的分式方程；2、 学会求解带根式的无理方程；3、 学会求解二元方程组；三、 【例题精讲】例1、 解方程：解析：例2：解方程：解析：令，原方程为综上，原方程的解为例3：解方程：解析：例4：解方程：解析：例5：解方程：解析：令经检验是原方程的根例6：解方程：解析：平方法解得例7：解方程组：和解析：（1）
16、（2）例8：解方程组：解析：例9：解方程组：解析：课后习题1、 关于的方程的解为_解析：2、 若，则_解析：3、 关于的方程的解为_解析：4、 关于的方程的解为_解析：5、 关于的方程的解为_解析：6、 关于的方程的解为_解析：7、 关于的方程组：的解为_解析：（简写，实际是4组解）8、 解方程组：解析：2.2.3 不等式一、 【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解应该分三种情况讨论：1. 若，且，不等式无解；若，不等式有无数解2. 若，则解为3. 若，则解为二、 【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到
17、三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：一般地，解不等式先使不等式右边为_一般地，对于一元二次不等式，先化二次项系数为_，然后找出方程的两根，最后根据不等号：小于取_，大于取_。三、 【例题精讲】例1：用因式分解法解不等式：解析：略例2：利用因式分解法解不等式：解析：略例3：图像法解不等式解析：略例4：已知不等式的解集为，求的解集解析：易知为方程两根例5：解不等式：（1）（2） 解析：（1）；（2）例6：解不等式：解
18、析：课后习题1、 不等式的解集为_解析：2、 不等式的解集为_解析：3、 已知不等式的解集为，则不等式的解为_解析：，4、 不等式的解集为_解析：5、 不等式的解集为_解析：6、 不等式的解集为_解析：7、 不等式的解集为_解析：8、解不等式解析：9、解不等式：解析：第三章学习新知3.1 集合3.1.1 集合的基本概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合（常称为解集），到一个定点距离等于定长的点的集合即_，到一条线段两个端点距离相等的点的集合即_。我们再来看下面的一些例子：（1）120以内的所有素数；（2）我国从20002019年的20年内所
19、发射的所有人造卫星；（3） 某汽车厂2019年生产的所有汽车；（4） 2019年1月1日之前与中国建立外交关系的所有国家；（5） 所有的正方形；（6） 到直线的距离等于定长的所有点；（7） 方程的所有实数根；（8） 某中华2019年9月入学的所有高一学生；在例子（1）中，我们把120以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例子（2）中，把我国从20002019年的20年内发射的每一个人造卫星作为元素，这些元素的全体也构成一个集合。一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。3.1.2 集合的基本性质给定的集合，它的元素就必须是确定的。比如“中国的直辖市
20、”构成一个集合，这个集合中的元素有北京、上海、重庆、天津，而成都、杭州、南京等城市则不在这个集合中。而“成绩较好的同学”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的，我们把集合的这个性质叫做确定性。一个集合当中的元素一定不能相同，也就是说同一个集合中不能出现重复的元素，我们把集合的这个性质叫做互异性。一个集合当中的元素是没有顺序之分的，比如“全球四大海洋”里的元素是大西洋、北冰洋、印度洋、太平洋，这四个元素没有顺序之分。我们把集合的这个性质叫做无序性。例1：下列各选项的全体能否构成一个集合（ B ）A.皮肤很好的人； B.百米飞人C.身体素质棒的学生； D.立等于本身的数3.1.3 集合的表示
21、方法我们常用小写字母等表示集合中的元素，常用大写字母等表示集合。如果元素是集合中的元素，我们就说属于，写作；如果元素不是集合中的元素，我们就说不属于，写作；常用集合的记法：自然数集：整数集：正整数集：或有理数集：全体实数：例2：设集合表示世界联合国常任理事国的集合，则：中国_ ；印度_；英国_；法国_；意大利_列举法：我们可以把“全球四大洋”组成的集合表示为太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，把方程的所有实数根表示。像这种把集合的元素一一列举出来并且用花括号“”括起来的表示方法叫做列举法。例3：用列举法表示下列集合（1） 由所有实数根组成的集合；（2）由120的素数组成的集合解析：略描述法：当我们
22、遇到一些无法一一列举出元素的集合时，例如“”的解集，它的元素是列举不完的，此时我们就采用特征描述法记为： ，又比如全体奇数组成的集合：，像这样用元素特征表示集合的方法称为描述法：值得注意的是，在这里“丨”前面的字母是随便取的，取等都可以，只是用字母表示数字的一个方式，表示我们集合中的元素都是数字。特别地，如果集合中对元素没有约束条件，我们默认为集合中的元素都属于实数.例4：用描述法表示下列集合（1） 方程的根组成的集合；（2） 由大于10小于20的整数构成的集合；解析：（1）；（2）例5：如果集合和有两个相同的元素，则实数的值为_解析：易知例6：下列选项中，集合表示同一个集合的是（ A ）A.
23、 全体等边三角形，全体正三角形B. ，C. ，D. 中国古代四大发明，造纸术，指南针，印刷术，地动仪例7：已知集合，则集合中元素的个数为_10_解析：再思考这样一个集合，是否存在满足条件的元素呢？我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为例8：在集合中，分别求出以下情形的取值或取值范围是？（1） 当A中为空集时；（2） A中仅有一个元素时；（3） A中有两个元素时。解析：（1）；（2）；（3）数轴表示法：对于某些集合而言，其元素都是处于一个范围之中，例如，我们也可以将其表示在数轴上，这样的方法叫做数轴表示法，常用于后面集合的运算当中。 33.1.4 集合间的基本关系观察下面几个例子，寻找它们之间
24、的关系：（1）（2） 为新华中学高一（1）班全体女同学组成的集合，为新华中学高一（1）班全体同学组成的集合（3）可以发现，上述三个例子中，集合都可以看作被包含在集合中，因为集合有的元素，集合都有。一般地，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们常称为集合是集合的子集，记作（或）在数学上，我们经常用封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图，例如上述例子中的集合与的关系可以表示为下图：一般情况，我们可认为作为子集的集合范围更小。B A我们再看下面两个集合： 是两条边相等的三角形，是等腰三角形很明显，上述两个集合的元素是一样，都代表全体等腰三角形。我们把元素完全一样的两个集合称为相等集合，记作例9：
25、若两个集合满足，则的关系为（类比）也就是说，当时，有可能。特殊地，当且时，我们把叫做的真子集，写作再思考这样一个集合，是否存在满足条件的元素呢？ 一般地，我们把不含有任何元素的集合称作空集，记作，并且它是任意集合的子集。例10：分别求出下列集合的子集：（1）（2）（3）解析：略思考：，请问有多少个子集、真子集、非空子集、非空真子集？解析：略例11：若，若，则的取值范围为？解析：，综上，的取值范围为例12：设集合，分析两个集合各自的含义与不同。解析：集合的研究对象是数字，并且集合的研究对象是点3.1.5 集合间的基本运算并集：考察下列集合：明显地，上述例子中，集合相当于中所有的元素“加”在一起。
26、一般地，由集合中所有元素构成的集合叫做与的并集，记作，用图表示如下：例13：判断下列式子正确与否：（1）（2） ；（3） ；（4） 若，则有解析：（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）正确例14：若，求解析：交集：考察下列集合：明显地，上述例子中，集合是的公共部分，当中的元素既属于又属于。一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合叫做与的交集记作，你能用图表示这种关系吗？例15：若，求解析：例16：若，求解析：例17：设.（1） 若，求的值（2） 若，求的取值范围；解析：（1），又且至多含有两个元素（2）；综上，补集：一般地，如果有两个集合满足，则我们把属于但不属于的部分称作在内的补
27、集，记作，并且我们常常把范围更大的集合称为全集。你能用图表示这种关系吗？例18：已知全集，求解析：略例19：求解析：略例20：已知，求解析：例21：已知某班有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的有40人，两种球都不会打的人数比两种球都会打的人数的还少1，问两种球都会打的有多少人？解析：可借助图分析，设两种球都会打的为，则有：例22：如图，其中代表全集，为的两个子集。（1） 在图上用阴影部分表示下列式子；如后图阴影部分所示（2）判断集合间关系：；课后习题1、下列所给关系正确的有：（ B ）；A. 0 B. 1 C. 2 D. 32、下列表示M、N为同一集合的是：（ A ）A. M=顶角
28、为60的等腰三角形，N=等边三角形 B. M，N C. M=，N= D. M=，N=3、设集合，则下列说法正确的是：(A)A. B. C. D. 4、设全集，集合，则下列关系式正确的个数为（ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、集合的非空真子集个数为：（ A ）A . 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定6、定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和为(D)A0 B2 C3 D67、若，且，则的取值范围为：（ D ）A. B. C. D. 8、若，则A,B,C的关系为（ C ）A. B. C. D. 无法确定9、已知集合则实数的
29、取值范围是（ C ）A B C D10、已知集合，则=（ C ）A. B. C. D.12、已知集合AxR|ax22x10，其中aR.若1是集合A中的一个元素，则为_-3_，集合A中的另一个元素为_.13、已知，则 -2 14、若集合，且，则_14_解析：易得2,3是B的元素，则5属于A，p=8,q=615、设，且，则的取值范围是_t0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是_解析：课后习题1、命题“”的否定是(C)A BC D2、下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是(A)A B C D3、设，则“”是“”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4、“
30、”是“”成立的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5、使得“”成立的一个必要不充分条件为（ C ）A BC D6、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7、设命题（1）则的真假性为_真_（2）：_8、已知命题，若是的充分不必要条件，求的取值范围。解析：，则3.3 函数的概念与性质3.3.1 函数的概念我们先来回顾一下初中阶段的函数定义“在某个变化的过程中，有两个变量，如果任意给一个值，都有一个唯一确定的值与之对应，则称为自变量，为因变量
31、，且是关于的函数”。接下来我们要接触新的函数定义：问题1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速行驶半小时，这段时间内，列车行进的路程（单位：千米）与行进的时间（单位：小时）的关系可表示为 在这里，和是两个变量，并且对于的每一个取值，都有唯一的与之对应，所以是一个关于的函数。而实际上，本题更准确的说法应当是：变化的数集范围是，变化的数集范围是，对于数集中的任一时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程与之对应。问题2：某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准为每人每天350元，并且每周结算一次工资。那么一个工人的工资（单位：元）是他工作天数（单位：天）的函数吗？显然，工资是工作天数的函数，其对应关系是： 其中，天数所变化的数集为，工资所变化的数集为对于数集中的任一天数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的工资与之对应。请问上述两个问题当中的函数相同吗？一般地，设是两个非空数集，如果对于集合中的任一元素，按照某种对应关系，在集合中都有唯一确定的数与之对应，那么称为集合到集合的一个函数，记为：例如以前的二次函数，新的写法就为其中
