1、河北省五校河北省五校 20202020- -20212021 学年高二下学期期末联考学年高二下学期期末联考 数学试卷数学试卷 说明：1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡，贴好条形码。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 卷卷(选择题选择题 共共 60 分分) 一选择题（共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分。1-8 题为单选，每小题 5 分；9-12 题为多选，全对得 5 分，部分正确得 2 分
2、，选错得 0 分） 1.已知集合 = (,)|, , , = (,)| + = 7，则 中元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.设向量 = (2 2,12),= ( ,12),则“ /”是“ =24”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设 P 是 ABC边 BC 上的任意一点，Q 为 AP 上靠近 A 的三等分点，若AQ= AB+ AC，则 + = ( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 1 4.已知函数()= + 1 , 01 , 0，则不等式() 2 1的解集为（ ） A.|2 2 B.
3、 |2 1 C. |2 1 D. |2 2 5.随着 2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放， 将引领户外用品行业市场增长下面是 2014年至 2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（ ） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 20202014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 中国中国雪场滑雪人次（单位：万人次）雪场滑雪人次（单位：万人次） 同比同比增长率增长率 2015 年至 2020 年，中国雪场滑雪人次逐年减少 2015 年至 2017 年，中
4、国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加 2020 年与 2015 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等 2020 年与 2018 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5% A. B. C. D. 6. 已知定义在 R 上的偶函数()在(,0)上单调递减，则( ) A.(34) (20.4) (123) B.(34) (123) 0，圆 C 与 x 轴相切且半径为 1，直线过（2,0）点且倾斜角为45，直线与圆 C 交于A、B两点，则ABC的面积为 . 15.已知为常数， R,函数() = ( ) 的最大值为455，则2的值为 . 16. 设 O 为坐标原点
5、，抛物线C: =24，焦点坐标为 ，过(0,2)的直线与抛物线的第一象限的交点为M，若点 Q 满足= 4，求直线 OQ 斜率的最小值 三解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其他题目每题 12 分） 17. 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 + 3 = 0 (1)求. (2)若 = 23，且向量 = (1,)与 = (sin ,2)垂直，求 的面积 18.已知等差数列 na的前n项和为nS，且6= 63,4是28aa与的等比中项, (1)求数列 na的通项公式； (2)从=3,=1+2这两个条件中任选一个补充在下列问题中,并解答: 数列 nb满足_ ,其前n项和为nT
6、，求nT. 19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外） ，现在由甲发球. （1）求经过 3 次传球，球回到甲的手里的概率； （2）求经过 n（n N）次传球，球回到甲手里的概率. 20.ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，B=2，D、E 分别为边 AB、AC 的中点，将三角形 ADE 沿 DE 折起，使 A到达 P 点，且PC= 5，O 为 BD 中点. （1）求证：PO平面 BCED. （2）求二面角 B-PE-C 的余弦值. CBEDAPDOECB丁戊己庚辛壬甲乙丙21.已知椭圆:22+22= 1( 0)过点(1,32)，A1，A2为椭圆的左右顶点，且直线1,2的斜率的
7、乘积为34. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 P，交直线 x4 于点 Q，求|的最小值. 22.已知函数21( )()ln ,2f xxxx x=. （1）求函数( )f x的单调区间； （2）存在012x ，使得032200000()ln(1)xxxxaxxe成立，求实数a的取值范围. 河北省五校河北省五校 20202020- -20212021 学年高二下学期期末联考学年高二下学期期末联考 参考答案参考答案 选择：1-4 CBBD 5-8ADBC 9-12 ACD AC AC BD 填空：
8、13.四 14.12 15. 725 16.(0,1) 63 17. (1)因为acosC + 3asinC b c = 0， 所以3sinC + cosC =b+ca， 整理得：3sinC + cosC =sinB+sinCsinA，.2 分 所以3sinCsinA + cosCsinA = sin(A + C) + sinC， 化简得：(3sinA cosA)sinC = sinC， 所以3sinA cosA = 1， 故sin(A 30) =12， 由于0 A 180， 所以A = 60.4 分 (2) 向量m = (1,sinB)与n = (2,sinC)垂直， sinC 2sinB
9、= 0，可得sinC = 2sinB，即c = 2b，.6 分 A = 60，a = 23， 由余弦定理可得12 = b2+ c2 bc = b2+ 4b2 2b2= 3b2， 解得b = 2，c = 4，.8 分 ABC的面积S =12bcsinA =12 2 4 32= 23 .10 分 (1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin( 30) =12，结合 A的范围即可求解 A 的值； (2)利用平面向量垂直的性质，正弦定理可得 = 2，进而根据余弦定理可得 b，c 的值，根据三角形的面积公式即可求解 本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理，三角形的
10、面积公式在解三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题 18.(1)61=61563Sad+=, 12521ad+= 22428111=(3 )()(7 )aaaadad ad+=+ 即1ad= 解得133ad= 3nan= 4 分 (2)选则13nnnb= 01211233333nnnT=+ 123112333333nnnT =+ .6 分 所以01211121111313(1)1333333323313nnnnnnnnnnT=+=10 分 192344 3nnnT+=.12 分 选111111()33(2)9(2)182nbnnn nnn=+6 分 =118(1113
11、+1214+1315+ +1 11 + 1+11 + 2) =118(321+11+2) =112118(2+3(+1)(+2) .12 分 难度：中档题 考点：等差数列的前 n 项和公式，等比中项，利用方程思想求基本量。 数列求和方法：错位相减法，裂项相消法 19. 解： （1）设经过 n（n N）次传球，球回到甲手里的概率， 则易知0= 1，1= 0， 2=18，3=18(1 2) =1878=764. 4 分 （2）分析可知，=18(1 1)，.6 分 19= 18(119)， .10 分 19= (019)(18)= (89)(18) =19+ (89)(18) ( ) .12 分 难
12、度：中档题 考点：计数原理 计数原理，构造等比数列求通项公式 20. （1）证明：因为 D、E 分别为 AB、AC 的中点，所以DEAB， 在图（2）中DEPD，DEBD，PDBD=D，PDBDPBD，面，所以DEPBD面，又因为DEBCED面，所以BCEDPBD面面。 又因为DE BC，所以BCPBD面，BCPB2 分 在直角PBC中，PC= 5 BC=2，所以22PB=1PCBC=， PBD为等边三角形.又因为 O 为 BD 中点，所以POBD 又因为BCEDPBD面面，BCEDPBD=BD面面，POPBD面， 所以BCEDPO面.5 分 （2）取EC中点F，以 O 为坐标原点，OB、OF
13、、OP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.则1311( ,0,0),(0,0,),(,1,0),( ,2,0)2222BPEC，所以( 1,1,0)BE = ，13(,1,)22PE = ，( 1, 1,0)CE = 设平面BPE的法向量为( , , )mx y z=，则00BE nPE n= 得013022xyxyz +=+=，所以( 3, 3,1)m =8 分 同理平面CPE的法向量 = (3,3,1)， .9 分 , = | | |=10535.11 分 所以二面角 B-PE-C 的余弦值为10535.12 分 难度：中档题 考点：线线垂直，线面垂直，面面垂直的
14、判定和性质 空间向量的方法求二面角的余弦值 PDOECBx y z F21.(1）依题意有，=1， 解得=4，=3， 椭圆的方程为 + =1； 4 分分 （2）由题意知直线 的斜率不为 0，设其方程为 x=my-1， 设点， 联立方程，得 得到， .5 分 由弦长公式， 整理得，.7 分 又=， ，.9 分 ，.10 分 令，上式=t+ ， 设，则 f(x)在上是增函数，所以 t=1 取得最小值 . 的最小值是 12 分分 难度：难题 考点：斜率公式，椭圆方程，利用方程思想求基本量。 弦中点，弦的中垂线，弦长问题，函数求最值，综合性难题 22.解： （1）1( )(21)ln1,2fxxxxx
15、=+.1 分 当1( ,1)2x时，210,ln0,(21)ln0 xxxx ，而且10 x ， 所以( )0fx，( )f x单调递减；.3 分 当(1,)x+时，210,ln0,(21)ln0 xxxx ，而且10 x ， 所以( )0fx，( )f x单调递增. .5 分 （2）存在12x ，使得322()ln(1)xxxxaxxe成立， 即存在12x ，21()ln(2)xexxxaxxx +， 即存在12x ，21()ln2xexxxxaxx+.7 分 设1( ), ( ),xeg xxh xxx=+= 21( )1,g xx= 所以( )g x在1( ,1)2上单调递减，在(1,)+上递增， 22(1)( )xxxxeeexh xxx=， 所以( )h x也在1( ,1)2上单调递减，在(1,)+上递增，9 分 结合本题第（1）问，( )f x也在1( ,1)2上单调递减，在(1,)+上递增， 则函数21( )( )( )( )()lnxeF xf xg xh xxxxxxx=+=+ 在1( ,1)2上单调递减，在(1,)+上递增，10 分分 所以( )( )2F xF xe=+，所以只需22ea+ +，即ae.12 分分 难度：难题 考点：导数公式，求导法则，用导数研究函数的单调性。 分离参数，转化构造新函数求最值，综合性难题
