1、第3章 应力强度因子 断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键。 近代断裂力学是用弹性力学的解析方法来完成这一工作的，而这些解析法需要用高深的数学工具，这对于初次接触断裂力学的读者来说，是比较困难的。因此，本章只给出一些主要的概念和结果，并介绍一些工程近似方法。 3-1 裂纹的基本型一般将裂纹问题分为三种基本型，如图所示 张开型张开型 滑移型滑移型 撕裂型撕裂型 裂纹基本型 第一种称为张开型（opening mode
2、）或拉伸型（tension mode），简称I型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向)。它通常发生在载荷和几何形状对称于裂纹平面的情形，例如Griffith裂纹是I型裂纹，其裂纹的扩展方向是正前方（x方向）。若物体是均匀厚度的平板，裂纹贯穿板厚，则问题是二维的（平面问题）；若物体不是平板或者裂纹没有贯穿板厚，则是三维问题。许多工程上常见的断裂都是I型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。 裂纹基本型 第二种裂纹型称为同平面剪切型（inplane shear mode）或者滑移型（sliding mode），简称II型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x方向，另一个向
3、负x方向。在板厚均匀和裂纹贯穿板厚的情况下，此裂纹问题也是二维的，属弹性力学平面问题。 裂纹基本型 第三种裂纹型称为反平面剪切型（antiplane shear mode），简称III型。裂纹面上下表面的位移方向也是刚好相反，但一个向正z方向，另一个向负z方向。这里的z方向是板厚方向，属弹性力学空间问题。 除了这三种基本型外，尚有复合型裂纹（mixed mode crack），它是两种以上基本型的组合。3-2 裂端的应力场和位移场 下面考虑二维的I型裂纹问题。图给出一个以裂纹端点为原点的坐标系，此坐标系x方向是裂纹正前方，y方向是裂纹面的法线方向，z方向则是离开纸面的方向。考虑一个离裂端很近，
4、位置在极坐标(r，）的单元，其应力状态可以用x、y和xy三个应力分量来表示。 裂纹前沿的应力应变场究竟是怎样的？I型裂纹的应力场 由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为 高次项 在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，因而可以忽略 。23cos2cos2sin223sin2sin12cos223sin2sin12cos2rKrKrKIxyIyIxI型裂纹的应变场 从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的大小来决定，因此就称KI为I型裂纹的。裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为： 我们的兴趣不在于得到精确的应变场形式，而在于知道应变分量也只由应
5、力强度因子来确定。 yxjifrKijIij,),(2I型裂纹的位移场 通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为： 这里u和v分别为x和y方向的位移分量，是剪切模量，与泊松比的关系为： 平面应力 平面应变2sin2cos2) 1(222cos2sin2) 1(2222/122/1rKvrKuII1343II型和III型裂纹 对于II型和III型裂纹，裂端区的应力场和位移场的形式也是恒定的，而且其表达式与I型裂纹相似。II型和III型裂纹的应力强度因子分别用KII和KIII表示。由于II型裂纹也是平面问题，可采用上面的坐标系来描述，而且只有应力分量x、y和xy 存在。III型
6、裂纹问题是反平面剪切问题，位移分量仅有z方向的w，应力分量仅有xz 和yz 。II型裂纹的应力场和位移场23sin2sin12cos223cos2cos2sin223cos2cos22sin2rKrKrKIIxyIIyIIx2cos2sin2) 1(222sin2cos2) 1(2222/122/1rKvrKuIIIIIII型裂纹的应力场和位移场2cos22sin2rKrKIIIzyIIIxz2sin222/1rKwIII思考题 如图所示的坐标系，I型和II型裂纹的裂端区应力场在裂纹表面有何特点？在裂纹正前方又分别有何特点？裂端区位移分量在裂纹表面和正前方又有何特点？3-3 应力奇异性和应力强
7、度因子 三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性（stress singularity）。 为何会出现应力奇异性呢？这是因为裂纹端点是几何上的不连续点的缘故。 应力奇异性 图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为： a为椭圆的长半轴，为椭圆长轴端点的曲率半径。 aKt21应力奇异性
8、由于a大于，所以Kt恒大于3，即椭圆应力集中的程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则也将趋于零，此时应力集中系数Kt将趋于无限大。在没有特别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂纹面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。 应力是看不见的，它是个抽象的概念，然而位移过程是可以看到的。物体上个别点（无限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区应变能的有界。 三种基本裂纹型裂端区某点的应力值、应变值、位移值和应变能密度值都由应力强度因
9、子及其位置来决定。因此，只要知道应力强度因子，裂端区的应力、应变、位移和应变能密度就都能求得。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。近代断裂力学，就是Irwin在五十年代中期提出了应力强度因子的概念，认识到它的意义后才开始发展起来的。 习题 当应力奇异性是由r-n来决定时，n就称为应力奇异性的指数。当线弹性体的裂纹端点具有指数n为1/2的应力奇异性时，试由量纲分析着手，证明裂端区的应变能将是有界的。若要裂端区的应变能有界，能否反过来从数学上证明应力奇异性指数不得大于或等于1？3-4 常见裂纹的应力强度因子 应力强度因子可以用来表征裂纹端点区应力应变场强度的参量，因此
10、，在工程应用前，首先要计算应力强度因子。计算应力强度因子有解析法和数值法两种，前者包括应力函数法、积分变换法、契合问题解法等等；后者包括有限单元法、边界元法、边界配置法等。 从五十年代中期以来，已建立了许多的计算应力强度因子的方法，对很多常见裂纹问题的应力强度因子已汇集成手册。因此，可以根据手册的结果，作一定的简化和近似后，来解决工程问题。 裂纹的应力强度因子 应力强度因子的值由载荷、裂纹数目、长度和位置以及物体的几何形状等共同决定。它的单位是力长度- 3 / 2。常用单位为制的百万牛顿米-3/2(MN/m3/2)或用公制的公斤力毫米-3/2。 由于I型裂纹是最主要的裂纹型，下面介绍一些标准裂
11、纹问题，给出实验室常用试件和工程零构件最常见I型裂纹的应力强度因子（用K表示）。Griffith裂纹的应力强度因子aK无限大平板有中心裂纹，裂纹表面受到均匀拉伸应力作用的应力强度因子aK无限大平板有中心裂纹，裂纹表面某处受到一对集中拉力P（单位厚度集中力）作用 的应力强度因子babaaPKbabaaPKBA有限宽的长条板有中心裂纹，受到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子haaKsec有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的均匀拉伸的应力强度因子aKhahahahahahafhafaK12. 138.3071.216 .1023. 012. 1432有限宽的长条板有单边裂纹，受到无穷远处的纯弯曲的
12、应力强度因子设则2/6hMhafaKaKhahahahahahaf12. 10 .1408.1333. 740. 112. 1432圆孔萌生的单边裂纹工程近似解的应力强度因子 无限大平板的圆孔萌生了一条穿透板厚的裂纹，裂长为L。若平板受到无穷远处的均匀拉伸，当LR时，应力强度因子的上限为: 若裂纹较长，则下限用 :LK)3(12. 1)2/(LRK圆孔萌生的双边裂纹工程近似解的应力强度因子)2/ )(21LLRK圆裂纹的应力强度因子 又称为钱币裂纹（penny-shaped crack），是三维的I型裂纹问题，裂纹表面呈圆形。假设受到垂直裂纹表面的拉伸应力，当弹性体的体积远大于圆裂纹尺寸，且拉
13、伸应力为均布时，圆周上每一点的应力强度因子（精确解）为 ：aK2椭圆裂纹的应力强度因子为第二类椭圆积分：在短轴的端点，K有最大值。在长轴的端点，K有最小值。 4/12222cossincaaKdcac2/12/02222sin1半椭圆形表面裂纹 aFKA0)(38.30)(71.21)(6 .10)(23. 012. 10)()5 . 0(2 . 510. 14328 . 1/5caBaBaBaBacaBaFcaca当当形状因子 从上述例子可见，强度因子总是与载荷成正比（这里指单向加载的拉伸应力或集中力），而且在均匀拉伸下，恒有 的形式。这里Y是与载荷无关，而与几何变数（裂纹长度或位置、物体形
14、状等）有关的量，故称为几何因子或形状因子（geometric factor）。aYK3-5 叠加原理及其应用 线弹性力学的本构关系是线性的，因此，裂纹问题的应力强度因子可以利用叠加原理来求得。下面举例介绍叠加原理在求应力强度因子方面的几种应用。 1.同型裂纹的叠加 两个以上的外载荷同时作用于一个带裂纹的物体，若此时的裂纹问题与每个载荷单独作用时是同一型裂纹，则应力强度因子为每个载荷单独作用时应力强度因子之和。 aPaK2.复合型裂纹的分解 如果几种载荷或是特殊载荷的作用，产生了复合型裂纹，则复合型裂纹的各型应力强度因子是把载荷分解后各型裂纹问题的应力强度因子。 aKaKaKIIIIII,3.把
15、裂纹问题化为同型的另一个裂纹问题 当一个裂纹问题的应力强度因子很大易求得时，有时可以通过叠加原理，改求另一个较简单裂纹型的应力强度因子，而此两裂纹问题的应力强度因子是相等的 。4.Green函数的应用集中力的解可作为格林函数，然后用积分来得到分布力的解。 babaaPKbabaaPKBAbabaadbdKdbbabaaKaa练 习1 如图（317）所示，宽为h的无限长条板有长为a的单边裂纹，无穷远处的拉伸应力分布是由1线性降低到2,试求其应力强度因子。2 如图（318）所示的无限大平板，无穷远处拉伸应力的方向与裂纹表面法线方向成夹角。试求其应力强度因子。总 结 若由线弹性解所给出的裂端区应力值超过屈服应力，则此区域已进入塑性状态，而塑性区内的应力应变场显然不同于本章所给出的结果。只有当塑性区尺寸远小于裂纹长度时，塑性区外的应力应变场才能近似地用本章所给出的结果表示。
