1、陕西省咸阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若，则”等价的命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可.【详解】其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-30，则x3.【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.2.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为A. 6B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解【详解】在等比数列中，是方程的两根，的值为故选：B【点
2、睛】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.设，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断【详解】， 故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题4.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：，故选：D【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查
3、5.不等式的解集为A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可【详解】不等式等价为，得，即，即不等式的解集为，故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键6.命题甲：是命题乙：的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据命题甲和命题乙的关系，即可判定甲乙的关系，得到结果详解：由命题乙：，即，所以命题甲：是命题乙：的充分不必要条件，故选A点睛：本题主要考查了充分不必要条件的判定，熟记充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了
4、推理与运算能力7.中，a，b，C分别是角A，B、C所对应的边，则A. 或B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理和大边对大角，可得答案【详解】由，可得；正弦定理：，可得解得：；，或；故选：A【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题8.设实数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可【详解】，即，故选：A【点睛】本题主要考查式子的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键9.已知x，y满足约束条件，则zx3y的最小值为A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析
5、】作出平面区域，平移直线x+3y=0确定最优解，再求解最小值即可【详解】作出x，y满足约束条件所表示的平面区域如图，作出直线x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（2，0）时Z取得最小值：2；故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a60，a70，从而可得和取最大值时的条件
6、【详解】等差数列an中，a3+a100，a6+a7a3+a100，S110，a1+a110，a1+a112a60，a60，a70，则当n6时，Sn有最大值故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.如图，在四面体中，、分别在棱、上，且满足，点是线段的中点，用向量，表示向量应为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，化简得到，故选A.12.设抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，线段MF中点的横坐标为，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的焦点到准线的距离为A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】【分析
7、】利用抛物线的定义和中点坐标公式和与y圆相切的条件，求出，代入抛物线方程即可求出p【详解】解：抛物线C方程为，焦点，准线方程为，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即，代入抛物线方程得，所以或，则焦点到准线距离为2或8故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，其中要注意以焦半径为直径的圆与y轴相切，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，2，且，则_【答案】【解析】【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列方程求x值【详解】
8、解：，故答案为：【点睛】解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路14.若一元二次不等式的解集是，则a的值是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值【详解】一元二次不等式的解集是，则和是一元二次方程的实数根，解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题15.已知两个正实数x，y满足，且恒有，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先用基本不等式求出的最小值，然后解一元二次不等式得到结果【详解】解：，当且仅当，时，取等号，恒成立等价于，故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等
9、式求最值，属基础题16.当双曲线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程【详解】解：双曲线M：，显然，双曲线的离心率，当且仅当时取等号，此时双曲线M：，则渐近线方程为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知为等差数列，且，求的通项公式；若等比数列满足，求的前n项和公式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的通项公式可求；求出
10、，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解【详解】为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得，；由，等比数列的公比，的前n项和公式【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1求角A的大小；2若，求a的值【答案】()；（）.【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得：，结合，利用两角和的正弦函数公式可求，结合范围，可求A的值利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理即可解得a的值【详解】由正弦定理可得：，可得：，可得：，可得：，【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形
11、中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，M是侧棱上一点，设，用空间向量知识解答下列问题1若，证明：；2若，求直线与平面ABM所成的角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】1以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0即可证明C. 2当时，求平面ABM的法向量，利用向量法求出直线与平面ABM所成的角的正弦值【详解】证明： 1直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，M是侧棱上一点，设，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，2，0，2，2，2，C.2当时，2，0，0
12、，2，设平面ABM的法向量y，则，取，得1，设直线与平面ABM所成的角为，则直线与平面ABM所成的角的正弦值为【点睛】本题考查利用向量的方法证明线线垂直，考查向量法解决线面角问题，考查运算求解能力，属于基础题20.已知椭圆C：过点，直线l：与椭圆C交于，两点1求椭圆C的标准方程；2已知点，且A、M、N三点不共线，证明：是锐角【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】1将题干中两点坐标代入椭圆C的方程，求出a和b的值，即可得出椭圆C的标准方程； 2将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算，并结合A、M、N三点不共线，可证明出是锐角【详解】解：
13、1将点、的坐标代入椭圆C的方程得，解得，所以，椭圆C的标准方程为；2将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x并化简得，恒成立，由韦达定理得，同理可得所以，由于A、M、N三点不共线，因此，是锐角【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题21.如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，F为CD的中点求证：平面BCE；求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设，以，所在的直线分别作为轴、轴，以过点在平面内和垂直的直线作为轴，建立如图所示的坐标系，利用向量法证明，即证平面.(2)利用向量法求二面角的余弦值的大小【详解】设，以，所
14、在的直线分别作为轴、轴，以过点在平面内和垂直的直线作为轴，建立如图所示的坐标系，为的中点，（1）证明，平面，平面（2）设平面的一个法向量，则，即，不妨令可得设平面的一个法向量，则，即，令可得于是，故二面角的余弦值为【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）22.已知抛物线E：
15、的焦点为F，是抛物线E上一点，且1求抛物线E的标准方程；2设点B是抛物线E上异于点A的任意一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】1利用抛物线的定义与性质求p的值，即可写出抛物线方程； 2设点，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点【详解】解： 1根据题意知，因为，所以，联立解得，；所以抛物线E的标准方程为；2设，；又直线BM的方程为，代入，得；由根与系数的关系，得，；由轴及点P在直线上，得，则由A，P，B三点共线，得，整理，得；将代入上式并整理，得，由点B的任意性，得，即， 所以；即直线BM恒过定点【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，是中档题
