1、专题 20、与零点有关的双变量问题与函数零点 x1，x2 有关的双变量问题，一般是根据 x1，x2 是方程 f(x)0 的两个根，确定 x1，x2 的关系，再通过消元转化为只含有 x1 或 x2 的关系式，再构造函数解题，有时也可以把所给条件转化为 x1，x2 的齐次式，然后转化为关于x2x1的函数，有时也可转化为关于 x1x2 的函数，若函数中含有参数，可考虑把参数消去，或转化为以参数为自变量的函数【例 1】设 aR ，函数 f(x)lnxax（）讨论 f(x)的单调性；（）若 f(x)有两个相异零点 x1，x2，求证：lnx1lnx22【解析】（）由题意，得1- ax = + ，当 a 0
2、 时，f (x)0，则 f(x)在定义域上单调递增，f (x) ,x (0, )x当 a 0 时，则函数在1(0, )a1上单调递增，在 + 上单调递减.( , )a（）由已知得， ln x - ax = 0 ，1 1ln x - ax = 0 ，a2 2ln x + ln x ln x - ln x= 1 2 = 1 2x + x x - x1 2 1 2，从而 lnx1lnx22 等价于x + x x1 2 ln 1 2x - x x1 2 2，即x1+1x x2 ln 1 2x x1 2-1x2，不妨设x x ，令t1 2x2(t -1) 4= 1 ，1 g(t) = lnt - = l
3、nt + - 2g(t) = lnt - = lnt + - 2xt +1 t +12，则1 4 (t -1)2g(t) = - = 0t (t +1) t(t +1)2 2, g(t) g(1) = 0 ，即lnt 2(t -1)t +1，故tt+1 -1lnt 2，得证【例 2】设函数 f (x) = ln x - a(x -1)e ，其中 aR x（）若 a 0 ，讨论 f(x)的单调性；1（）若 0 a 0 ，f (x)0，故 f(x)在(0，)内单调递增（）证明：由（）知，f (x)1- ax e2 x= ，令 g(x) =1- ax2ex ，x0 a 1e，g(x)在(0，)内单1
4、 1 1 1调递减，又 g(1)1ae0，且 = - 2 = - 2 ，故 g(x)0 在(0，)内有唯一解 g(ln ) 1 a(ln ) 1 (ln ) 0a a a a1 g(x) g(x )即 f (x)0 在(0，)内有唯一解，不妨设为 x0，则 0 = ， 1 x ln f (x) 00a x xg(x) g(x )f(x)在(0，x0)内单调递增；当 x(x0，)时， = 1时， = - 1时，h(x)h(1)0，lnxx1，于是16011 1 1 1 1 1lnf (ln ) = ln(ln ) - a(ln -1)e a = ln(ln ) -ln +1 = h(ln ) 1
5、时，lnxx1，又x1 x0 1，x -x x (x -1)2e = x0 1 21 00x -11，两边取对数得1 - 0 2 ，所以有lne ln xx x0x1 - x0 2 ln x0 2(x0 -1) ，整理得 3x0x12【例 3】已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2 有两个零点（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x2 是函数 f(x)的两个零点，证明：x1x22【解析】（）因为 f (x)(x1)(ex2a)（1）当 a0 时，则 f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点；（2）当 a0 时，则当 x(，1)时，f(x)0，当 x(1，)时，f(x)0，所以 f(x)在
6、(，1)单调递减，在(1，) 单调递增因为 f(1)e，f(2)a，取 b0，且 blna2，则 f(b)a2(b2)a(b1)2a(b232b)0，故函数 f(x)的两个零点（3）当 a0 时，令 f(x)0 得 x1 或 xln(2a)若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(1，)时，f(x)0，因此 f(x)在(1，)单调递增，又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点若 ae2，同理 f(x)不存在两个零点故 a 的取值范围为(0，)（）不妨设 x1x2由（）知 x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)单调递减，所以 x1x22 等价于 f(x1)
7、f(2x2)，即 f(x2)f(2x2)0构造函数 F(x)f(x)f(2x)，x(1，)，则 F(x)f(x)f(2x)(x1)ex2a(x1)(1x) e2-x 2a(1x)(x1)(ex e2-x )0所以 F(x)在(1，)单调递增，从而 F(x)F(1)0，即 f(x)f(2x)，对任意 x(1，)恒成立于是 f(x1)f(x2)f(2x2)，又 f(x)在(，1)单调递减，所以 x12x2，即 x1x22法二：不妨设 x1x2由（）知 x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)单调递减，所以 x1x22 等价于 f(x1)f(2x2)，即 f(2x2)0因为 f
8、(2x2)x2e - a(x21)2，f(x2)(x22)2 x2e a(x21)20，所以 f(2x2)x2x2e - (x22 x22) 2e x设 g(x)x e - (x2) ex，则 g(x)(x1)( e2-x ex)，所以当 x1 时，g(x)0，而 g(1)0，故当 x12 x时，g(x)0，从而 g(x2)f(2x2)0，故 x1x221【例 4】已知函数 f(x) x2alnxax2（）当 a0 时，讨论函数 f (x)的单调性；1611（）a1 时，若方程 f(x) x2m，(m2)有两个相异实根 x1，x2，且 x1x2，证明：x122x 22 a + a2 - 4a
9、a + a2 - 4a【解析】（）f (x)在 (0, ) 单调递减，在 ( ,+) 单调递增，过程略； 2 21（）因为方程 f(x) x2m，等价于方程 lnxxm21令 F(x)lnxxm，则 F(x) 1，所以当 x(0，1)时，F(x)0，当 x(1，)时，F(x)0，于是xF(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增注意到 F(2)ln22mln20，所以 x22于是 x1，2x 22(0，1)因此要证明 x12x 22，只证 F(x1)F(2x 22)，即证 F(x2)F(2x 22) 2 2构造函数 g(x)F(x)F( )3lnxx ln2 2 2x x3 4 1因为 g
10、(x) - - - - 2 + 0，所 以 g(x)在(2，)单调递减，于是 g(x)g(2)2ln21 (x 2) (x 1)x x x3 3 20，即 F(x)F( x)故，原命题得证32【例 5】已知函数f (x) = ae x + (1- 2a)ex - x 2（）当 a 0 时，讨论 f(x)的单调性；（）若 f(x)有两个不同零点 x1，x2，证明：a1 且 x1x20【解析】（）因为 f (x) = 2ae2x + (1- 2a)ex -1= (ex -1)(2aex +1) ，又 a0，所以令 f (x)0，解得 x0或x1= ln(- )2a；1当ln(- )2a调递减；0，
11、即1 1a - 时，f(x)在(-,ln(- )2 2a1单调递减，在(ln(- ),0)2a单调递增，在(0，)单1当ln(- )2a10 即 a = - 时，f(x)在(，)单调递减；21当ln(- )2a调递减；10 即 - 时，f(x)在(，0)单调递减，在a 021(0,ln(- )2a1单调递增，在(ln(- ),+)2a单1（）由（）知，当 a 1 02a 4a 2a1，当 - a 1 0，当 a = - 时，f(x)在(，)单调递减，故 a 0 时，f(x)至多有一个2零点；当 a 0 时，易知 f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增要使 f(x)有两个零点，则 f(0
12、)0，即 a +1- 2a 1令 F(x) = f (x) - f (-x) ，（ x 0 ），则F(x) = f (x) + f (-x) = 2ae x + (1- 2a)ex -1+2ae- x + (1- 2a)e-x -12 2= 2a(ex + e-x +1)(ex + e-x - 2) + (ex + e-x ) - 2 0 ，F(x)在 x 0 时单调递增，F(x)F(0)0，f(x)f(x)。不妨设x x ，则1 2x1 0 ，-x2 f (-x ) ，由 f(x)在(，0)单调递减，1 2 2x1 -x2 ，162即x1 + x2 0)x的两个实根，其中 tlnta0（te
13、）令 g(t)tlnta（te）， 则 g(t)为单调递增函数，所以163e ex x1 2=x x1 2，两边取对数得 x1lnx1x2lnx2，即xx1x2 ln 1x2x不妨设 0x1ex2，令 1x2m，则(m1)x2lnm，所以x2=ln m（0m1）m -1证明 x1x21 等价于证明 mx 1，即证明22mln m m - m -11m令 h(m)ln m - m +1（0m1），则 h(m)m1 3 11 1 1 1 1- - - - m 2 - m 2 = - m 2 ( +1)m 2 2 2 m20，所以 h(m)在(0，1)单调递减，于是 h(m)h(1)0，由故原不等式
14、得证导数专题突破一本老师眼中非常实用也非常好用的教辅书，一本学生手中的提分宝典。导数专题突破苦尽甘来，十年寒窗苦读笑三皇五帝逐群雄；师生同喜，一朝金榜题名成八斗奇才傲天下。函数与导数是永恒的高考热点，也是难点。那如何学好导数是我们每个学生非常关心的事也是我们每个老师一直在探讨的问题。我觉得，首先我们除了要熟练掌握基本知识、基本方法、基本题型外，还需要变被动学习为主动学习，要善于反思、勤于总结。美国作家富兰克林曾说：“读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处”。中国著名数学家华罗庚先生将读书的方法概括为两个阶段：一个是从薄到厚，一个是从厚到薄，前者是“量”的积累，后者是“质”的飞跃。掌握基
15、本知识，基本方法，基本题型就是从薄到厚的一个过程，而当你对知识进行再加工、深加工，对题型进行归纳总结后你就能做到知一题而晓一类，甚至举一反三，这就是一个从厚到薄的过程。“雄关漫道真如铁，而今漫步从头越”。只要同学们在学习中，不断积累，不断探索，不断总结，不断创新，2023 年必将属于坚韧的我们。愿你在今年 6 月某日下午，合上笔盖的那一刻，有着战士收刀入鞘的骄傲！164目录基础篇专题 1 利用导数研究曲线切线的斜率1专题 2 利用导数求曲线的切线方程3专题 3 曲线的切线条数7专题 4 已知切线方程求参数10专题 5 曲线的公切线14专题 6 三次函数的图象与性质18专题 7 导数中分类讨论思
16、想31专题 8 导数中的不单调问题44专题 9 恒成立问题最值分析法47专题 10 恒成立问题参变分离法 59专题 11 导函数中的零点问题 67专题 12 二次求导与隐零点问题 74专题 13 任意存在性问题 90专题 14 函数中双变量问题常见处理策略105专题 15 嵌套函数114提高篇专题 16 抽象函数的导函数构造125专题 17 导数零点不可求问题的常见破解策略138专题 18 与单调性有关的双变量问题144专题 19 与极值点有关的双变量问题151专题 20 与零点有关的双变量问题160专题 21 独立双变量问题168专题 22 多变量恒成立问题处理技巧171专题 23 差比换元
17、法178专题 24 导函数中的端点效应192专题 25 先求必要再证充分在导数中的运用204专题 26 切线放缩214专题 27 凹凸反转222专题 28 极值点偏移问题常见处理策略230专题 29 指数找基友239专题 30 对数单身狗242专题 31 几个常见函数不等式及其应用248专题 32 函数中的同构问题254拓展篇专题 33 主元法证明二元函数不等式261专题 34 洛必达法则在导函数中的运用270专题 35 利用零点比大小求参数取值范围279专题 36 构造函数法证明不等式287专题 37 放缩法求证导数不等式312专题 38 对数平均不等式的应用327165专题 39 拉格朗日中值定理在高考中的应用335专题 40 泰勒展开式在高考题中的应用340分享交流可添加下方的微信或搜微信号：gzsx511 或加 QQ：2436017107，感谢你的信任与关注，你对本书的认可就是我最大的动力。166
