1、辽宁辽宁省部分中学省部分中学 20232023 届新高三摸底考试暨高二年级期末质量检测届新高三摸底考试暨高二年级期末质量检测 数 学 试 题 考生注意：考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分 第卷第卷 选择题（满分选择题（满分 6060 分）分）一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题意）1已知集合 A=x|y=1+x，集合 B=x|x1，则 AB=（）A-1,1)B(-1,1)C(-,1)D(0,1)2若(x-a)(1-2x)5的展开式中 x3的系数为 20，则 a=（）A41 B41 C21 D21 3若复数 z=i1i 4，则复数 z 的
2、模等于（）A2 B2 C22 D4 4某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：广告费用 x（万元）1 2 4 5 销售额 y（万元）10 26 35 49 根据上表可得回归方程axby+=，其中b约等于 9，据此模型预测广告费用为 8 万元时，销售额约为（）A55 万元 B57 万元 C66 万元 D75 万元 5 设321eee，为单位向量，且21321ekee+=（k0）.若以向量21ee，为邻边的三角形面积为21，则 k 的值为（）A22 B23 C25 D4113 6已知双曲线12222=byax（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y2=2px（p0）的准线分别交于 A，
3、B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，ABO 的面积为 23，则抛物线的焦点为（）A（21，0）B（22，0）C（1，0）D（2，0）72021 年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出54433210920193029605960,0abcdbacd0 xy1xy=()21log2xyxxyy+na210aa，213aa a)0,x+()21ln 18xxx+1+x41412121i1i 422axby+=b321eee，21321ekee+=21ee，21222325411
4、3 12222=byax321222一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过 10 分钟，如果 10 分钟内完成任务则试验成功结束任务，10 分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次 已知甲、乙、丙 10 分钟内试验成功的概率分别为54，43，32，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（）A109 B2019 C3029 D6059 8粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四
5、角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为 9 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）（参考数据：62.45，3.14）A20 cm3 B22 cm3 C26 cm3 D30 cm3 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）9下列结论正确的是（）A若0,0abcd，则一定有bacd B若0 xy，且1xy=，则()21log2xyxxyy+C设 na是等差数列，若210aa，则213aa a D若)0,x+，则()21ln 18xx
6、x+10目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 X1服从正态分布N（4.4，0.09），乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 X2服从正态分布 N（4.7，0.01），则下列选项正确的是（）附：若随机变量 XN（，2），则 P(-X+)0.6827 A甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为 0.6827 B甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中 C若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃
7、膨胀系数不能超过 5则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大 D乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于 4.5 的概率与大于 4.8 的概率相等 11已知函数 f(x)=21+xaax，则下列说法正确的是（）Af(x)的定义域为（-，-2）（-2，+）B当函数 f(x)的图象关于点（-2，3）成中心对称时，a=23 C当 a31时，f(x)在（2，+）上单调递减 D设定义域为 R 的函数 g(x)关于（-2，2）中心对称，若 a=2，且 f(x)与 g(x)的图象共有 2022 个交点，记为 Ai（xi，yi）（i=1，2，2022），则(x1+y1)+(x2+y2)+(x2022+y2022)
8、的值为 0 12经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数 f(x)存在导函数 f(x)，称)()(lim0 xfxxfxxyyExEyx=为函数 f(x)的弹性函数，下列说法正确的是（）A函数()f xC=（C为常数）的弹性函数是0EyEx=B函数()cosf xx=的弹性函数是tanEyxxEx=C()()()1212()()()()E f xfxE f xE fxExExEx+=+D()()1122()()()()f xEE f xE fxfxExExEx=第卷第卷 非选择题（满分非选择题（满分 9090 分）分）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分
9、，共 20 分）13在梯形 ABCD 中，ABC=2，ADBC，BC=2AD=2AB=2将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为_ 14已知椭圆18922=+yx的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上的动点，若动点 Q 满足PQPF=1（R，0）且2PFPQ=，则点 Q 到双曲线13422=yx一条渐近线距离的最大值为_.15古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数（0 且1）的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A
10、D=2AA1=6，点 E 在棱 AB 上，BE=2AE，3+x24ABC=1tan2ABD=34ABC=tan3tan2ABDCBD=3ABDCBD=1 2sin10sin22cBC+=1sin3A=sinC21+xaax2331)()(lim0 xfxxfxxyyExEyx=()f xC=C0EyEx=()cosf xx=tanEyxxEx=()()()1212()()()()E f xfxE f xE fxExExEx+=+()()1122()()()()f xEE f xE fxfxExExEx=218922=+yxPQPF=12PFPQ=13422=yx动点 P 满足 BP=3PE若点
11、 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为_；若点 P 在长方体 ABCD-A1B1C1D1内部运动，F 为棱 C1D1的中点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 M-B1CF 的体积的最小值为_（本题第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）16筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向做每 6 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心 O 距离水面 BC 的高度为 1.5 米，设筒车上的某个盛水筒 P 的切始位置为点 D（水面与筒车右侧的交点
12、），从此处开始计时，t 分钟时，该盛水筒距水面距离为 H=f(t)=Asin(+x)+b（A0，0，2，t0），则 H=f(t)=_.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题 10 分）从4ABC=，1tan2ABD=，34ABC=，tan3tan2ABDCBD=，3ABDCBD=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b=5.（1）若1 2sin10sin22cBC+=且1sin3A=，求sinC的值；（2）若 D 是线段 AC 上的一点，2AD=3DC，_，求 BD 的长
13、.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18（本题 12 分）已知等差数列 na满足11a=，21a+，31a+，5a成等比数列；数列 nb满足11b=，1nnnbba+=+（1）求数列 na，nb的通项公式（2）数列11nna a+的前 n 项和为nT，证明12nT 19（本题 12 分）数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据 99 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列每个粗线宫（33）内的数字均含 19，不重复.数独爱好者小明打算报名参加第六届“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛（1）赛前小明在某数独 APP 上进行一段时间的训练，每天的
14、解题平均速度 y（秒）与训练天数 x（天）有关，经统计得到下表的数据：x/天 1 2 3 4 5 6 7 y/秒 990 990 450 320 300 240 210 现用xbay+=作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过 100 天训练后，每天解题的平均速度 y 约为多少秒；（2）小明和小红在数独 APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜 4 局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为34，已知在前 3 局中小明胜 2 局，小红胜 1 局.若不存在平局，求小明最终赢得比赛的概率 参考数据：711845iiit y=，0.37t，
15、722170.55iitt=，其中1iitx=12222=+byax231352222=+byax3422131nm+132222=+byaxbxax12+ixaaba2)()(nnxfxf na11a=21a+31a+5a nb11b=1nnnbba+=+na nb11nna a+nT12nT xbay+=34711845iiit y=0.37t 722170.55iitt=1iitx=20（本题 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=6，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=1，BF=4，沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 AEFB，使点 B在平面 CDEF
16、上的射影 H 在直线 DE 上 （1）求证：平面 BCD平面 BHD；（2）求证：AD平面 BFC；（3）求直线 HC 与平面 AED 所成角的正弦值 21（本题 12 分）已知椭圆 C：12222=+byax（ab0）的右焦点为 F（1，0），且点 P（1，23）在椭圆C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C1：1352222=+byax上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O：x2+y2=34的两条切线，切点分别为 M，N（M，N 不在坐标轴上），若直线 MN 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 m，n，证明：22131nm+为定值；（3）若 P1，P2是椭圆 C1：132222=
17、+byax上不同的两点，P1P2x 轴，圆 E 过 P1，P2且椭圆 C2上任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆 C2是否存在过左焦点 F1的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由.22（本题 12 分）已知函数 f(x)=bxax12+（b0）.（1）指出 f(x)的单调区间；（不要求证明）（2）若 a0，x1，x2，x3满足 x1+x20，x2+x30，x1+x30，且ixaa（i=1，2，3），求证：f(x1)+f(x2)+f(x3)ba2；（3）证明：当 a=b=1 时，不等式)()(nnxfxf2n-2（nN+）对任意 x（-，0
18、）（0，+）恒成立.数学试题参考答案 第1页（共6页）辽宁省部分中学辽宁省部分中学 20232023 届新高三摸底考试暨高二年级期末质量检测届新高三摸底考试暨高二年级期末质量检测 数学试题参考答案 选择题（1-8 题单选，9-12 题多选，每小题 5 分；多选题错选不得分，漏选得 2 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C D B D D C AC AC ACD ABD 填空题（每小题 5 分，其中 15 题第一空 2 分，第二空 3 分）13(52)+142167+152 3 94 163sin()1.536t+解答题（17 题 10 分，18-22
19、 题每小题 12 分）17（10 分）（1）在ABC中，由5b=及1 2sin10sin22cBC+=，得()1 2cos2 coscBbC=，所以()2222222coscos2222acbabcccBbCcbaacab+=+=+=，由正弦定理sin2sinCA=，又1sin3A=，所以2sin3C=.（2）方案一：选条件.在ABC中，由5ADDCb+=及23ADDC=，得3AD=，2CD=.设ABD=，CBD=，BDx=，则1tan2=，111tan12tantan141tan312=+，所以5sin5=，10sin10=，所以15sin210ABDScxcx=，110sin220CBDS
20、axax=.因为3AD=，2CD=，所以:3:2ABDCBDSS=，所以32 2ac=，由余弦定理得222cos254acac+=，得3 5c=，2 10a=.由ABCBCDABDSSS=+得510210204cxaxac+=，得6x=，即6BD=.方案二：选条件.在ABC中，由5ADDCb+=及23ADDC=，得3AD=，2CD=.设ABD=，CBD=，BDx=，因为34ABC=，所以34+=，所以()tantantan11tantan+=，又tantan3tantan2ABDCBD=，所以tan3=，tan2=（负值舍去），所以3 10sin10=，2 5sin5=，所以13 10sin2
21、20ABDScxcx=，15sin25CBDSaxax=.因为3AD=，2CD=，所以:3:2ABDCBDSS=，所以2ac=，由余弦定理得2232cos254acac+=，得5a=，10c=.由ABCBCDABDSSS=+得53 10210204axcxac+=，得1x=，即1BD=.方案三：选条件.在ABC中，由5ADDCb+=及23ADDC=，得3AD=，2CD=.数学试题参考答案 第2页（共6页）由3ABDCBD=，得线段 BD平分ABC且23ABC=.由ABCABDBCDSSS=+得1112sinsinsin232323ABBDBCBDBCBA+=，设BDx=，则()x acac+=
22、.由三角形内角平分线的性质可得BAADBCCD=，即32ca=.由余弦定理得22222cos3bacac=+，即2225acac+=，得1019a=，1519c=，代入()x acac+=，得6 1919x=，即6 1919BD=.18（12 分）（1）由条件易知()()232511aaa+=+，即()()()222124ddd+=+，解得：2d=1(1)221nann=+=，由1nnnbba+=+，知121nnnbban+=，当2n 时，()()()112211nnnnnbbbbbbbb=+1211nnaaab=+1 1 3 5(23)n=+222nn=+，当1n=时，也适合上式，故()22
23、2nbnnnN+=+（2）由（1）知：111111(21)(21)2 2121nna annnn+=+，111111123352121nTnn=+11112212n=+19（12 分）（1）由题意得，()19909904503203002402105007y=+=，令1tx=，设 y 关于 t的经验回归方程为ybta=+，则717221718457 0.37 50010000.557iiiiit ytybtt=，50010000.37130=a1000130=+yt，又1tx=，y 关于 x的回归方程为1000130=+yx，故当100 x=时，140y=小明经过 100 天训练后，每天解题的
24、平均速度 y约为 140 秒（2）设比赛再继续进行 X 局小明最终贏得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最少再进行 2 局，最多再进行 4 局就有胜负，即2X=，3，4，当2X=时，小明 4：1 胜，()33924416P X=，当3X=时，小明 4：2 胜，()1233393C144432P X=，当4X=时，小明 4：3 胜，()1334C4P X=23327144256=数学试题参考答案 第3页（共6页）小明最终赢得比赛的概率为99272431632256256+=20（12 分）（1）证明：矩形ABCD中，CDDE，点B在平面CDEF上的射影为H，则BH平面CDEF，又CD 平
25、面CDEF，BHCD，又B HBEH=，,B H BE平面BHD，CD平面BHD，又CD 平面B CD，平面B CD平面BHD；（2）证明：/AE BF，A E平面B FC，B F平面B FC/A E平面B FC，由/DE FC，同理可得/DE平面B FC，又A EDEE=，,A E DE平面AED 平面/AED平面B FC，/AD平面B FC；（3）解：如图所示，过E作/ER DC，过E作ES 平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系 B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设()0,By z，(,)y zR+；()3,3,0F，且10BE=，4BF=；22221
26、09(3)16yzyz+=+=，解得26yz=，()0,2,6B()3,1,6FB=，1316,4444EAFB=且()0,5,0ED=，设平面A DE的法向量为(),na b c=，00n EAn ED=，即36050abcb+=解得0b=，令1a=，得62c=，得到平面A DE的法向量为61,0,2n=，又()3,5,0C，()0,2,0H，()3,3,0CH=，直线HC与平面AED所成角的正弦值为 3005sin|cos,|5|6109904CH nCH nCHn+=+数学试题参考答案 第4页（共6页）21（12 分）（1）由题意得，1c=.所以221ab=+，又点31,2P在椭圆C上，
27、所以 221914ab+=，解224,3ab=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；（2）由（1）知，2213144:Cxy+=，设点()()()112233,Q x yM xyN x y 则直线QM的方程为2243x xy y+=，直线QN的方程为3343x xy y+=，把点Q的坐标代入得2 1213 1314343x xy yx xy y+=+=,所以直线MN的方程为1143x xy y+=令0y=，得143mx=，令0 x=，得143ny=.所以1144,33xymn=，又点Q在圆1C上.所以22443433mn+=，2211334mn+=，为定值；（3）由椭圆的对称性，不妨设1
28、2(,),(,)P m n P mn，由题意知，点E在x轴上，设点(,0)E t，则圆E的方程为2222()()xtymtn+=+由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E的距离的最小值是1PE，设点(,)M x y是椭圆2C上任意一点，则222223|()214MExtyxtxt=+=+，当xm=时，2|ME最小，所以24332ttm=假设椭圆2C存在过左焦点1F的内切圆，则222(3)()tmtn=+又点1P在椭圆2C上，所以2214mn=由得32t=或t3=，数学试题参考答案 第5页（共6页）当t3=时，44 3233tm=，不合题意，舍去，且经验证，32t=符合题意，综上，椭圆2C存在过
29、左焦点F的内切圆，圆心E的坐标是3,02.22（12 分）（1）函数()f x的定义域为x xR且0 x，当0a=时，()1f xbx=在(),0，()0,+上分别递减.当0a时()211axaaf xxbxbx+=+在(),0，()0,+上分别递减.当0a 时()211axaaf xxbxbx+=+为对号函数.则在,aa，,aa+上分别递增，在,0aa，0,aa上分别递减.综上所述：当0a 时，在,aa，,aa+上分别递增，在,0aa，0,aa上分别递减；当0a时，在(),0，()0,+上分别递减.（2）123,x x x满足1223130,0,0 xxxxxx+，且()1,2,3iaxia
30、=123,x x x中至少有两个大于aa 不妨设123xxx 当123axxxa时，函数()f x在,aa+单调递增 所以()()()232112aaaaaf xf xf xfababa+=即()()()12323aaf xf xf xfab+当123aaxxxaa 时，若使得1223130,0,0 xxxxxx+成立，则需321axxxa 因为函数()f x在,aa+单调递增 所以()()()3212 af xf xfxb 因为()()()()2211111111axaxfxfxbxbx+=数学试题参考答案 第6页（共6页）所以()()210f xf x+即()()()12320aaf xf
31、 xf xfab+=综上所述：()()()1232 af xf xf xb+（3）设()()()(),nng xf xf xnN=，则()()11,nnng xxxnNxx=+()(),00,x+关于原点对称()()()()()()1111nnnnnngxxxxxxxxx=+=+()()11,nnnxxg xnNxx=+=()g x为偶函数 则只需证明0 x 时，不等式()1122,nnnnxxnNxx+恒成立 012101122110111111nnnnnnnnnnnnnxC xC xC xCxC xxxxxxx+=+()2122411nnnnnnnnnxC xC xCxx=+()()421
32、2242111nnnnnnnnnnnnnxxC xC xCxCxxx+=+()222212nrrnrn rrnrrrnnnnnnrC xCxC xCCx+=+()()()()4221224211212nnnnnnnnnnnnnnnC xC xCxCxC xCx+=+()()()442242224112nnnnnnnnnnnnnnnC xCxCxC xCxC x+()1211212222nnnnnnnnCCCCCC+=+0122nnnnnnCCCC+=.()()()1210120222 22nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCC+=+=则()()4212242122nnnnnnnnnnnC xC xCxCx+即1122nnnnxxxx+综上所述：当1ab=时，不等式()()()22nnnf xf xnN对任意()(),00,x+恒成立.
