1、&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念第四章第四章 解析函数的级数表示法解析函数的级数表示法4.1 复数项级数复数项级数 1.复数列的极限复数列的极限定义定义4.1,),2,1(nnnniban 其其中中设设复复数数列列：，iba 又设复常数：又设复常数：0,0,nnNnNn 若若当当恒恒有有，那那么么 称称为为复复数数列列当当时时的的极极限限，.,lim 收收敛敛于于此此时时，也也称称复复数数列列时时，或或当当记记作作nnnnn .lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 定理定理4.1.lim,limlimb
2、baannnnnn 证明证明lim0,0,nnnNnN “”已已知知即即，当当恒恒有有lim,lim0,0,22()()lim.nnnnnnnnnnnnnaabbNnNaabbaai bbaabb“”已已知知即即，当当恒恒有有，又又故故课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2(niznn.1)3(2innenz 收敛收敛,极限为极限为-1发散发散收敛，极限为收敛，极限为02.复级数的概念复级数的概念 nnn 211 niinns121 级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和称为级数
3、的和称为级数的和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 称称为为发发散散级级数数 1nn-无穷级数无穷级数定义定义4.2),2,1(nibannn 设复数列：设复数列：不收敛不收敛 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理4.2都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 都都收收敛敛。和和由由定定理理，111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas
4、 证明证明 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解;1 11发散发散因为因为 nnnna .1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散.例例1 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn:,1 nine级数级数例如例如,0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的
5、敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim nn?,0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim nn A 由定理由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。.0lim:nn 收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 定理定理4.3定理定理4.4.1111 nnnnnnnn 收收敛敛，且且收收敛敛若若定义定义4.3.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛，则则称称发发散散，而而若若为为绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称若若 nnnnnnnnnn A 收收敛敛.收收敛
6、敛若若 11nnnn?)1(:(1 nnni例例如如由定理由定理4.4的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式:22有有nnnnbaba 推论推论4.1都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 1112nnnnnnab 由由比比较较判判定定法法和和均均绝绝对对收收敛敛，由由定定理理4.4.得得收收敛敛。1111,nnnnnkknkk 解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散，nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛，000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()
7、3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛，nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn练习：练习：的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 发散发散&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛定理收敛定理&3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：)1()
8、()()()(211 zfzfzfzfnnn,2,1,)(nDzzfn-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和000000lim()(),(1),(),lim()(1),nnnnzDszs zzs zsz 若若称称级级数数在在 收收敛敛其其和和为为不不存存在在，称称级级数数发发散散若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnn
9、zzczf)()(0 )2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2.收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理4.5(阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）101(0),.nnnc zzzzzz 若若级级数数在在收收敛敛 则则对对满满足足的的级级数数必必绝绝对对收收敛敛22,.zzzzz 若若级级数数在在发发散散 则则对对满满足足的的级级数数必必发发散散 20112111max,0,1,2,NNn
10、nMcc zc zczc zM n 取取故故证明证明110(1),lim0nnnnnnc zc z 收收敛敛 则则，即即100nnNnNc z ，当当，恒恒有有11,1zzzqz若若则则11,nnnnnnzc zc zMqz,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。0nnnzc(2)用反证法，用反证法，3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径20,nnnzzzc z 设设当当，有有收收敛敛，由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，则级数若对所有正实数都收敛
11、，则级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。20(1)nnnc z 由由知知收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证！(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。.)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcAble.,0,0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii 显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成
12、蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝蓝两两色色的的分分界界线线。为为红红、一一定定,RzcR ：播放播放幻灯片幻灯片 37RRcA (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范
13、围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆周；圆周的内部成为收敛圆，这个圆的半径收敛圆周；圆周的内部成为收敛圆，这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。例如例如,级数级数:1121nnnnnnzznzn 1,1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;1,;z 在在点点发发散散 在在圆圆周周上上其其余余点点收收敛敛在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.定理定理2(比值法比值法)000/1lim1Rccnnn，则则若若zzcczczcinnnnnnnn
14、111limlim,0)(证明证明发发散散，时时时时，即即当当绝绝对对收收敛敛；时时即即时时当当 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz !,01矛矛盾盾收收敛敛 nnnzc.1:0也也发发散散时时，当当以以下下证证 nnnzcz,1,000收收敛敛，外外有有一一点点设设在在用用反反证证法法 nnnzczz:1,011定理得定理得，由，由满足满足再取一点再取一点Ablezzz .1,10 Rzcznnn故故发散发散时，时，当当即即发发散散,00 nnnzc收收敛敛都都有有时时，对对若若 00)(nnnzczii;0 Rzcnnn故故在复平面上处处收敛，在复平面上处处收敛，.,0)(00
15、也也发发散散发发散散，从从而而有有外外，对对一一切切时时，除除当当 nnnnnnzczczziii.0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收敛敛，矛矛盾盾，满满足足则则收收敛敛使使得得否否则则，如如果果有有一一点点 定理定理3(根值法根值法)000/1limRcnnn，则则若若 定理定理4.7(根值法根值法)000/1limRcnnn，则则若若 定理定理4.6(比值法比值法)000/1lim1Rccnnn，则则若若4.收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法，有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc例例求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:
16、(1)13nnnz(2)1!;nnn z解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为,1 所以收敛半径所以收敛半径1R (2)1(1)!limlim!nnnncncn,0.R 故例例4.2的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim,0lim1zszznnnn 时，时，当当.,0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发发散散时时当当且且和和函函数数为为收收敛敛zzzznn例例3的敛散性。的敛散性。讨论讨论 0!nnnz解解敛敛
17、。在在复复平平面面上上处处处处绝绝对对收收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1);)0()1(1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。
18、收敛的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2(nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(,0)1(coslimnninnznien发发散散。综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，时时，当当11 z时时，当当11 z;)1)(ch)2(1 nnzni222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3(ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1li
19、mlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算1200()()nnnnnna zf zRrb zg zRr 设设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中：其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解
20、析析，且且在在设设Rzzgazgfnnn 0)()(-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级数的幂级数的代换运算在函代换运算在函数展成幂级数数展成幂级数中很有用中很有用.例例3.)(10abazcbznnn 这这里里，复复常常数数的的幂幂级级数数，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代换代换 abzgabazab1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()
21、(11)(11111232代换代换展开展开还原还原q分析运算分析运算定理定理4.8Rzzfzcnnn )(0设设.)()(内内解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()()(00()()nnnnnnCCCiiif z dzc z dzcz dz -幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 0101)(nnnznzcdf 或或CzR例例4.4 求级数求级数11(21)nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzz
22、nnn 11212)12(11故故,2,12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例4.4 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为.1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z 作业 P100 2(1)(2)P101 9(1)(2),10(1)&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒
23、展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 解析函数的泰勒解析函数的泰勒(Taylor)展开展开1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析
24、函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理定理4.9（泰勒展开定理）（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比较较)2)(21)(kdzfizf 又又)1)()()(21)()()(21)(
25、!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z)2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到,100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()()(0010 证明证明(不讲不讲)kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:,:00积积分分公公式式由由内内任任一一点点为为设设,100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzz
26、zzzzzz 级级数数处处的的在在函函数数逐逐项项积积分分得得沿沿着着两两端端乘乘以以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()()()()(2)()()(2)(21)(21)(,2)(不讲不讲)!.)(,)4(0000证证毕毕离离的的边边界界上上各各点点的的最最短短距距到到从从级级数数收收敛敛半半径径至至少少等等于于处处的的解解析析点点在在内内即即可可及及其其内内部部包包含含在在只只要要圆圆可可以以任任意意增增大大的的半半径径圆圆的的圆圆域域为为半半径径为为中中心心，的的收收敛敛范范围
27、围是是以以级级数数DzTaylorzzfDkrkrzrz 证明证明(不讲不讲)而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数211z1z2+z4它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式242211(1)1nnxxxx 的成立必须受|x|1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的.A 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之间间的的距距离
28、离,的的最最近近的的一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点,若若(1 1)例如：201(),6nnnf zC zzz 2;R 则则其其收收敛敛半半径径201()(),6nnnf zCzizz 5.R 则则其其收收敛敛半半径径(2)(),f z 奇奇点点敛敛圆圆周周这这为为敛敛圆圆内内点点敛敛圆圆内内点点敛敛圆圆话话敛敛径径还还扩扩点点敛敛圆圆在在收收上上,是,是因因在在收收解解析析 所所以以奇奇不不可可能能在在收收.又 又奇奇不不可可能能在在收收外外,不,不然然的的,收,收半半可可以以只只能能在在收收周周上上.大大,因,因此此,
29、奇,奇yz0 x2.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？1010021)()()(2)(azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上事实上，设，设f(z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf,2,1,0)(!1,0)(nzfnann依依此此类
30、类推推得得，由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。级数为：时当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(!2)0()0()0()()(2-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：例例.231)(的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212
31、 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz.32,123 zz即即.!3!21),2,1,0(1)(3200)(Renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3.简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 11211
32、1212)!12()1()!12(221kkkkkkkzkzii 1121753)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz间间 接接 法法例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()()3()1(1)()2(11)()1(2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn （2）由幂级数逐项求导性质得：）由幂级数逐项求导性质得：1)1(321)1(111)1(1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn10(1)1,:1zz zccz 在在收收敛敛圆圆内内任任意意取取一一条条从从的的路路径径将将
33、的的展展开开式式两两边边沿沿 逐逐项项积积分分得得(3)()ln(1)f zz1 Ro1 1xy因因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿向左沿负实轴剪开的平面内解析，负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个离原点最近的一个奇点是奇点是-1,它的展开式的它的展开式的收敛范围为收敛范围为zR1时时,即即|R,011()nnnnnncczz 收收敛敛。因此因此,只有在只有在R1|z z0|R2的圆环域的圆环域,原级数才收敛原级数才收敛.z0R1R2例如级数例如级数10110(),1,|,|.|,|.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzazazazbzbbbzabazba
34、babzabz 与与 为为复复常常数数中中的的负负幂幂项项级级数数当当即即时时收收敛敛 和和函函数数为为;而而正正幂幂项项级级数数则则当当时时收收敛敛,和和函函数数为为所所以以当当时时,原原级级数数在在圆圆环环域域收收敛敛 和和函函数数为为;当当时时,原原级级数数处处处处发发散散在收敛圆环域内也具有在收敛圆环域内也具有.例如例如,可以证明可以证明,上述级数在收上述级数在收敛域内其和函数是解析的敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求而且可以逐项求积和逐项求导导.幂级数在收敛圆内的许多性质幂级数在收敛圆内的许多性质,级数级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzcz
35、zczzcc zzczz 现在反问现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数幂级数?先看下例先看下例.例如，例如，.11010:,1,0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz1Oxy nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f(z)在在
36、R 1z-z0R2 内解析内解析,f(z)可可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即2.函数展开成罗朗级数函数展开成罗朗级数定理定理4.1210201C00():,()()(4.20)1():(0,1,2,)(4.21)2().nnnnnf zDRzzRf zczzf zcdz nizzcDz 设设在在内内解解析析 则则其其中中是是 内内围围绕绕 的的任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(3.证明思路证明思
37、路Cauchy 积分公式推广到复连通域积分公式推广到复连通域，：、且且作作圆圆周周：解解析析内内在在设设RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，对对1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012
38、 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推导导得得：重重复复 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2，k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可
39、将cn写成统一式子：写成统一式子：),2,1,0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！A.)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用罗朗（就利用罗朗（Laurent）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别
40、称为罗朗级数的解析部分和主要部分。罗朗级数的解析部分和主要部分。4.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗朗级数。的罗朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cP
41、zP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 二、函数的罗朗展开式求法函数的罗朗展开式求法常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成
42、的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法三、典型例题三、典型例题例例1 1,0 内内在在 z.)(2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知:d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2,1,0(,)0(:nzC ,3 时时当当 n0 nc,2在圆环域内解析在圆环域内解析zez故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:,2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:02
43、2)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()(nnnzzf故故 !4!3!211122zzzz z0 d213 Cnneic另解另解 !4!3!21143222zzzzzzez !4!3!211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,.2的奇点的奇点也是函数也是函数zez例例1解解sin0zzz 求求在在 展展开开成成罗罗朗朗级级数数。012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!314253zzzzzz三、典型例题三、典型例题.03级级数数内内展展开开成成在在将将Laurentzzez )!
44、21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解练习练习解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1!2112在在复复平平面面上上，nznzzeztz!1!2111,121令令)0(z33211112!3!4!nzzznzz 例例4.7级级数数。的的内内展展开开成成（在在以以下下圆圆环环域域将将Laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(;10)2)(1(1)(0 xyo1221)(ziixyo12 ziii 2)(xyo1210)zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)(zzzi 012)2
45、11(874321nnnzzz)421(21)1(22 zzzzzn2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121)(zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)(zzziiizzzzzzzf211111112111)(2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首项注意首项(1)对对于于无无理理函函数数及及其其他他初初等等函函数数的的罗罗朗朗展展开开式式，可可以以利利用用已已知知基基本本初初等等函函数数的的泰泰勒勒展展开开式式，经经过过代
46、代换换、逐逐次次求求导导、逐逐次次积积分分等等计计算算来来获获得得。(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。形式。小结：把小结：把f(z)展成罗朗展成罗朗(Laurent)级数的方法：级数的方法：级级数数。域域内内展展开开成成的的去去心心邻邻在在以以点点将将Laurentzzzzzf2,1)2)(1(1)(解解 (1)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例4.8yxo12)1(11112
47、111)(zzzzzf 20)1()1(111)1(11zzzzznn110 z(2)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域120 zxo12)2(11212111)(zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn内内展展开开成成幂幂级级数数。在在区区域域将将 10)2(,1)1(11)(zzezzfz练习：练习：函数可以在以函数可以在以z0为中心的为中心的(由奇点隔开的由奇点隔开的)不同圆环域不同圆环域内解析内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展因而在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式开式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种我
48、们不要把这种情形与罗朗展开式的唯一性相混淆情形与罗朗展开式的唯一性相混淆.所谓罗朗展开式所谓罗朗展开式的唯一性的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的罗朗是指函数在某一个给定的圆环域内的罗朗展开式是唯一的展开式是唯一的.A(1)(1)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f(z)展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f(z)展成罗朗展成罗朗(Laurent)级数。级数。(2)Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点：Taylor级数先展开求级数先展开求R,找出收敛域。找出收敛域。Laurent级数
49、先求级数先求 f(z)的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。作业 P103 17，18&1.定义定义&2.分类分类&3.性质性质&4.零点与极点的关系零点与极点的关系4.5 孤立奇点孤立奇点 1.定义定义例如例如zezf1)(-z=0为孤立奇点为孤立奇点zzf1sin1)(-z=0及及z=1/n (n=1,2,)都是它的都是它的奇点奇点11)(zzf-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义4.40000()0(),().zf zzzzf z
50、zf z 若若是是函函数数的的一一个个奇奇点点，而而且且存存在在的的某某个个去去心心邻邻域域，在在其其中中处处处处解解析析 则则称称为为的的孤孤立立奇奇点点xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的。必是孤立的。的的奇奇点点存存在在，总总有有邻邻域域内内不不论论多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0,01limzfznn 的孤立奇点。的孤立奇点。不是不是故故zz1sin10 2.孤立奇点的分类孤立奇点的分类以下将以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成罗朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成罗朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：考察：)!12()1
