线性代数(慕课版)第五章-矩阵的特征值与特征向量课件.pptx

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1、线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第一讲 特征值与特征向量(1)特征值与特征向量的定义本讲内容特征值与特征向量的定义AA则称数 为矩阵 的特征值非零向量 为矩阵 的对应于,定义5.1AnA设 是 阶矩阵为一个数若存在非零向量使,(2)一个特征值对应无数个特征向量;(3)每个特征向量对应一个特征值;(4)0AE求特征值就是解;(5)()AE XO齐次线性方程组的非零解即为特征向量.()()AA kk(1)特征向量为非零向量;注特征值 的特征向量.3特征值与特征向量的定义求特征值与特征向量的步骤:属于这个特征值的线性无关的特征向量.0AE解求出 的值;即得到特征值;1OPTION()

2、AE XO对每一个求方程组 的基础解系;即得到,2OPTION4特征值与特征向量的定义例1111130001A求矩阵的特征值与特征向量.解211113012001AE12312.,11()0AE X对解,011120000AE1(2,1,1)Tp 得基础解系为,12001100012232 xxxx111(k pk其全部特征向量为不为零).5特征值与特征向量的定义111130001A求矩阵的特征值与特征向量.232(2)0AE X对解,1112110001AE2(1,1,0)Tp 得基础解系为,222(k pk其全部特征向量为不为零).1100010001230 xxx6特征值与特征向量的定义

3、例2211020.413A求矩阵的特征值与特征向量:解21121020(2)43413 AE11()0AE X 对解,1320 xxx同解方程组为1(1,0,1)Tp 基础解系为,111(0).k p k 全部特征向量为111030414AE1010100002123(1)(2)12.,7特征值与特征向量的定义211020.413A求矩阵的特征值与特征向量:232(2)0AE X对解方程组,4114112000000411000,AE1234xxx同解方程组为,23(0,1,1)(1,0,4)TTpp基础解系为,223323(,).kkk k全部特征向量为不全为零pp8特征值与特征向量的定义对

4、比11 对应的线性无关特征向量232 对应的线性无关特征向量11 对应的线性无关特征向量232 对应的线性无关特征向量111130001A例1211020.413A例21(2,1,1)Tp ,1(1,0,1)Tp,2(1,1,0)Tp ;23(0,1,1)(1,0,4)TTpp,9特征值与特征向量的定义例31_.nAAn设 阶矩阵 的元素全为则 的 个特征值为,解1111111111111111AE1111000()000000n12,0nn故,11111 111()11111111n1()()0nn1,0,0,0.nAnn 个即 的 个特征值为10特征值与特征向量的定义例4.nE求 阶单位矩

5、阵 的特征值与特征向量解1)|(1)0nEEE求特征值:|(121n1000EE XX 求特征向量:()即解方程组,nnE所以任意 维非零列向量均为 阶单位矩阵 的特征向量.11线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第二讲 特征值与特征向量(2)特征值与特征向量的性质本讲内容有关特征值的性质性质5.112,ijnn nAa 设矩阵的特征值为则,12121122(1);(2).nnnnAaaa 定义5.21122.ijnnn nAaaaaA设矩阵称为矩阵 的迹,例112741471344Ax已知三阶矩阵有特征值,解123112233aaa,33 1277x 即,4.x 解得4故应填3=

6、12_.x,则14有关特征值的性质性质5.2.TAA矩阵 与有相同的特征值()TTAEAE证AE性质5.3(1)0;An设 是 阶可逆矩阵 为其特征值则,(1)000.A证假设则由定义知,11(2)AAA由条件知有非零向量 满足两边左乘以 得,1100.AAA而矩阵 可逆故上式两端同时左乘 得,00.这与特征向量矛盾,故110A因于是有,11.A所以为的特征值11(2).A是 的特征值15有关特征值的性质性质5.4()()Aff A若 是 的特征值则是 的特征值.,1110()mmmmf xa xaxa xa代数多项式,1110()mmmmf Aa AaAa Aa E矩阵多项式.例2321 1

7、 25.AAA已知三阶矩阵 的特征值求,解3232()5()5f xxxf AAA设则,5.4()(1)6(1)4(2)12f Afff由性质知 的全部特征值为,325(6)(4)(12)288.AA 故16有关特征值的性质例31,1,22ABAE已知三阶矩阵 的特征值为,则矩阵()_.E 为三阶单位阵 的特征值为解A若 为矩阵 的特征值,(2)(2)AA 即,1,1,23,15.AB于是 的特征值为则 的特征值为和,1E又(2)(21)AE212BAE所以是 的特征值121nnE 阶单位矩阵 的特征值为nnE任意 维非零列向量均为 阶单位矩阵 的特征向量()()ff A为的特征值;17有关特

8、征值的性质例422nAA设 为 阶方阵 的特征值证明 为 的特征值.,证2()AAAA()A()A2 mmnAA设 为 阶方阵 的特征值则 为 的特征值.,拓展18有关特征值的性质总结抽象矩阵求特征值的公式A设 为 的特征值则,(1)kkA为 的特征值;(2)mmA 为 的特征值;(3)()()ff A 为 的特征值;11(4)AA 可逆则 为 的特征值;,(5)AAA可逆则为 的特征值;,()()AkAk 19有关特征向量的性质定理5.112mnA阶矩阵 的相异特征值所对应的特征向量,12111212122212,mrrmmmr,线性无关.推论1212,imiiirnA阶矩阵 的相异特征值为

9、,1miiir是特征值 所对应的线性无关的特征向量则个特征向量,12,m 线性无关;20有关特征向量的性质注1.kk重特征值最多有 个线性无关的特征向量注2属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍为特征向量.1122AA,1 1221122()A kkk Ak A1 1221122()A kkkk1 1221 122()()A kkkk注3属于不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量.21有关特征值的性质例5121212,nAx x 设为 阶方阵 的特征值,且而 分别12.xxA为对应的特征向量 试证明:不是 的特征向量证反证法121212()()xxAA xxxx设是 的属于特征值 的特

10、征向量即,1212AxAxxx11 12221 12212AxxAxxxxxx把、带入上式得1122()()0 xx12121212xx由知、线性无关这与矛盾12.xxA故不是 的特征向量22有关特征值的性质例60011100Axyxy设有三个线性无关的特征向量则 和 应满足,解01110EAxy 121()1.得特征值二重,11欲使有二个线性无关的特征向量1010101EAxy()1r EA矩阵0.xy于是得1010000 xy 10100000 xy 22(1)(1)(1)(1)0 0 xy故应填_.的条件为23有关特征值的性质例71210AA设 为二阶矩阵为线性无关的二维列向量,2122

11、.AA则的非零特征值为 ,解1212(2)2AAA解法一 1212121202()()(0 2)().01AAA解法二 由,12211.AA知是 的关于特征值 的特征向量是 的非零特征值,20A122,1121202()01PPP APB即由线性无关知 可逆从而,2(1).01ABEB 所以 与 有相同的特征多项式和特征值而=,1,2=0 11.A则.所以 的非零特征值为,1故应填24有关特征值的性质12121202AAA设 为二阶矩阵为线性无关的二维列向量,.A则 的非零特征值为 1故应填2121222=02=AAAAA解法三 设 为 的特征值由可得,222()00AA即.222=001.A

12、A由于为非零向量所以 有零特征值即从而 或,21212002=0,AA 若 只能取即 为零矩阵所以即与 线性无,1.A关矛盾.所以 的非零特征值为25线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第三讲 相似矩阵(1)方阵的相似对角化(1)01相似矩阵的定义及性质02本讲内容一、相似矩阵的定义及性质.P可逆矩阵 称为相似变换矩阵定义5.3ABnnP设 与 都是 阶矩阵若存在一个 阶可逆矩阵,1.BP APABAB使则称矩阵 与 相似记作,注(1);(2);(3).反身性对称性传递性性质5.5(1)TTABAB若则;,1110(2)()mmmmABf x a xaxa xa若设,11(3)AB

13、ABAB若且 可逆则 也可逆且.,()()f Af B则;28一、相似矩阵的定义及性质定理5.2.nABAB若 阶矩阵 与 相似则 与 的特征多项式相同,1ABPP APB证则存在可逆矩阵使得,1BEP APE1|PAEP11P APP EP1()PAE PAE推论1ABABAB若 与 相似则 与 的特征值相同进而 与 的行列式相等.,注.逆命题不成立1212,nnnA 若 阶矩阵 与对角阵相似则,推论1.An是 的全部 个特征值29一、相似矩阵的定义及性质例1两个矩阵如果是等价它们是否相似?反之如果它们相似,是否等价?哪些矩阵与单位矩阵等价?哪些矩阵与单位矩阵相似?解等价不一定相似但相似一定

14、等价;,满秩矩阵都与单位矩阵等价;只有单位矩阵与单位矩阵相似.30一、相似矩阵的定义及性质*11(C)(D)ABAB例2AB若 与 相似则,(A)(B)EAEBEAEB解1(B)ABP APB选项:由 与 相似得,1()PA PBAB 则这说明与相似.,()()EAEB 根据定理5.2得,.EAEB即定理5.2.nABAB若 阶矩阵 与 相似则 与 的特征多项式相同,B31一、相似矩阵的定义及性质C11(C)(D)TTAABBAABB与相似与相似例3ABAB设 是可逆矩阵且 与 相似则下列结论错误的是,1(A)(B)TTABAB-1与相似与相似11()()TTTTTTTP APP APBAB等

15、式两端同时取转置得说明与 相似;,1(B)ABP APB选项正确由 与 相似得,1111(D)P APB P A PB选项正确由,(C).使用排除法得选项 错误解1(A)ABP APB选项正确由 与 相似得,111111()P APP A PBAB-1等式两端同时取逆得说明与 相似;,11111()PAAPBBAABB两式相加得说明与 相似;,32方阵的相似对角化(1)01相似矩阵的定义及性质02本讲内容二、方阵的相似对角化(1)定义5.4AA若方阵 能与一个对角阵相似则称 可以相似对角化.,1.AnPP AP 设 与对角阵 相似存在一个 阶可逆阵使,1212(,)nnPP PP 设,1P A

16、P 1212(,)(,)nnAPA P PPAP APAPAPP34二、方阵的相似对角化(1)12(,)nAPAP APAPAPP,1,2,.iiiAPP ini(P是否为特征向量?)120,nPP PP为非零向量且线性无关,1212,nnP PP 是特征值是特征向量;1 122(,)nnPPP1212(,)nnP PP35二、方阵的相似对角化(1)1212,.nnAP PP 反之,设是 的特征值对应的特征向量为,1212(,),nnPP PP 设,121 122(,)(,)nnnAP APAPPPP则有:1212(,)nnP PP12,nAPP PP 故得结论可逆线性无关.AP P1.PP

17、AP 当 可逆时有,36二、方阵的相似对角化(1)定义5.4nAAn 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个线性无关的iiAkA即设 是方阵 的 重根则 与对角阵 相似当且仅当,.nAnA如果 阶方阵 的 个特征值互不相等则 与对角阵相似,推论1推论2nAA 阶方阵 可对角化的充要条件是对应于 的每个特征值的.线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数().iir AEnk.特征向量37二、方阵的相似对角化(1)例4200131101A判断能否与对角阵相似并在相似时,1PP AP 求可逆阵使为对角阵.,解200131(2)(3)(1)101AE1231,2,311001121100AE对

18、,A100021000,12302xxx同解方程组1(0,1,2)T求得特征向量为;38二、方阵的相似对角化(1)1P AP 使为对角阵.200131101AP判断能否与对角阵相似并在相似时求可逆阵,123010(,)101210P 222(1,0,1)T对求得特征向量为;,333(0,1,0).T对求得特征向量为,1100020.003P AP 111(0,1,2)T对求得特征向量为;,39二、方阵的相似对角化(1)矩阵相似对角化的步骤:()1,2,iir AEnkimAA时一定与对角阵相似;否则 ,12(2),nAAn 当 与对角阵相似时求出 的 个线性无关的特征向量,1212(1),nn

19、AA 求出 的所有特征值若互异则 与对角阵,1212,nmiik 相似;若中互异的为每个 的重数为当,12112(,).nnPP AP 并令则有,不与对角阵相似.40线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第四讲 相似矩阵(2)01相似矩阵的定义及性质方阵的相似对角化(2)02本讲内容方阵的相似对角化(2)定理5.1nAAn 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个线性无关的iiAkA即设 是方阵 的 重根则 与对角阵 相似当且仅当,.nAnA如果 阶方阵 的 个特征值互不相等则 与对角阵相似,推论1推论2nAA 阶方阵 可对角化的充要条件是对应于 的每个特征值的.线性无关的特征向量的

20、个数恰好等于该特征值的重数().iir AEnk.特征向量43方阵的相似对角化(2)例11,1,21,2,1TA已知三阶方阵 的三个特征值为对应的特征向量为,11,1,02,0,1.TTABABPAPBP问 是否与 相似若相似求使,解11221010101 由于1,2,11,1,02,0,1TTT所以线性无关,5.1AB由定理知 与 相似.1112121011012PP APB令则,1322010110APBP即定理5.1.nAAn 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个线性无关的特征向量44方阵的相似对角化(2)例220010022020.31100AxBy已知与相似1(1)(2).xyP

21、P APB求 和;求可逆矩阵使,解(1)22400;AExx由题意知 为矩阵 的一个特征值有,A5.25.121122xyy 再由定理及性质 知;1230012,1,0111 001210111 令,P112.2P APBB则,其中123(2)1,2,2()0AE X 代入分别得基础解系为,45方阵的相似对角化(2)例31114335AxyA设矩阵已知有三个线性无关的特征向量,12.APP AP 是 的二重特征值试求可逆矩阵使得 为对角矩阵,解2AA有三个线性无关的特征向量是 的二重特征值,11122333EAxy 22.xy 解得,111242335A矩阵,11102000 xxy(2)1.

22、rEA46方阵的相似对角化(2)1.PP AP二重特征值试求可逆矩阵使得 为对角矩阵,11142335AxyAA设矩阵已知有三个线性无关的特征向量是 的,2111242(2)(6)335EA 特征多项式 111242335A1232,6特征值.122(2)0EA x对于特征值为解线性方程组有,1111112222000333000EA 12(1,1,0),(1,0,1)TT对应的线性无关的特征向量为.123xxx 同解方程组:47方阵的相似对角化(2)36,(6)0,EA x对于特征值为解线性方程组有31103511222201,3331000EA 3(1,2,3)T特征向量为.1111200

23、102020013006PP AP 令 则 .,1.PP AP二重特征值试求可逆矩阵使得 为对角矩阵,11142335AxyAA设矩阵已知有三个线性无关的特征向量是 的,111242335A48方阵的相似对角化(2)(2).A问 能否相似于对角阵?说明理由例41212153.112Aab已知是矩阵的一个特征向量(1),;a b试确定参数及特征向量所对应的特征值解2121(1)()5310121EAab2 120530120ab 即3,0,1ab 解得49方阵的相似对角化(2)1212153.(1),112;(2).Aaa bbA已知是矩阵的一个特征向量 试确定参数 及特征向量所对应的特征值 问

24、 能否相似于对角阵?说明理由3212212(2)1533,533(1)102102AEA法由1.A 知是 的三重特征值312()5232101rEAr 但秩,1,线性无关特征向量只有一个.A故 不能相似于对角阵50方阵的相似对角化(2)1212153.(1),112;(2).Aaa bbA已知是矩阵的一个特征向量 试确定参数 及特征向量所对应的特征值 问 能否相似于对角阵?说明理由3212212(2)2533,533(1)102102AEA法由1.A 知是 的三重特征值312()5231101rEAr 秩,.A故 不能相似于对角阵3()2krEA51方阵的相似对角化(2)1(2).AP APP

25、判断矩阵 是否与 相似若相似求出 及使 得可逆矩阵,例5102013102010.01010AAXAX 设 为 阶矩阵已知是 的解,(1)A求矩阵 的所有特征值和特征向量;解10201100(1)102012 10001010011AAA 由得,1221A所以 的特征值,12101001 且分别对应特征向量;,52方阵的相似对角化(2)11110101000XAXA 由是 的解得,331010 所以是特征值;,123210A故矩阵 的所有特征值为,111120kk属于特征值 的所有特征向量为;,333300kk属于特征值 的所有特征向量为;,222210kk属于特征值 的所有特征向量为;,11

26、02013102010.01010(1)(2).AAXAXAAP APP 设 为 阶矩阵已知是 的解求矩阵 的所有特征值和特征向量;判断矩阵 是否与 相似若相似求出 及使 得可逆矩阵,53方阵的相似对角化(2)123(2)A由于互不相等所以矩阵 与 相似.,110121011.0100PP AP令则,.nAnA如果 阶方阵 的 个特征推论1值互不相等则 与对角阵相似,1102013102010.01010(1)(2).AAXAXAAP APP 设 为 阶矩阵已知是 的解求矩阵 的所有特征值和特征向量;判断矩阵 是否与 相似若相似求出 及使 得可逆矩阵,54一、相似矩阵的定义及性质定理5.2.n

27、ABAB若 阶矩阵 与 相似则 与 的特征多项式相同,1ABPP APB证则存在可逆矩阵使得,1BEP APE1|PAEP11P APP EP1()PAE PAE推论1ABABAB若 与 相似则 与 的特征值相同进而 与 的行列式相等.,注.逆命题不成立1212,nnnA 若 阶矩阵 与对角阵相似则,推论1.An是 的全部 个特征值55一、相似矩阵的定义及性质*11(C)(D)ABAB例2AB若 与 相似则,(A)(B)EAEBEAEB解1(B)ABP APB选项:由 与 相似得,1()PA PBAB 则这说明与相似.,()()EAEB 根据定理5.2得,.EAEB即定理5.2.nABAB若

28、阶矩阵 与 相似则 与 的特征多项式相同,B56一、相似矩阵的定义及性质C11(C)(D)TTAABBAABB与相似与相似例3ABAB设 是可逆矩阵且 与 相似则下列结论错误的是,1(A)(B)TTABAB-1与相似与相似11()()TTTTTTTP APP APBAB等式两端同时取转置得说明与 相似;,1(B)ABP APB选项正确由 与 相似得,1111(D)P APB P A PB选项正确由,(C).使用排除法得选项 错误解1(A)ABP APB选项正确由 与 相似得,111111()P APP A PBAB-1等式两端同时取逆得说明与 相似;,11111()PAAPBBAABB两式相加

29、得说明与 相似;,57方阵的相似对角化(1)01相似矩阵的定义及性质02本讲内容二、方阵的相似对角化(1)定义5.4AA若方阵 能与一个对角阵相似则称 可以相似对角化.,1.AnPP AP 设 与对角阵 相似存在一个 阶可逆阵使,1212(,)nnPP PP 设,1P AP 1212(,)(,)nnAPA P PPAP APAPAPP59二、方阵的相似对角化(1)12(,)nAPAP APAPAPP,1,2,.iiiAPP ini(P是否为特征向量?)120,nPP PP为非零向量且线性无关,1212,nnP PP 是特征值是特征向量;1 122(,)nnPPP1212(,)nnP PP60二

30、、方阵的相似对角化(1)1212,.nnAP PP 反之,设是 的特征值对应的特征向量为,1212(,),nnPP PP 设,121 122(,)(,)nnnAP APAPPPP则有:1212(,)nnP PP12,nAPP PP 故得结论可逆线性无关.AP P1.PP AP 当 可逆时有,61二、方阵的相似对角化(1)定义5.4nAAn 阶方阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个线性无关的iiAkA即设 是方阵 的 重根则 与对角阵 相似当且仅当,.nAnA如果 阶方阵 的 个特征值互不相等则 与对角阵相似,推论1推论2nAA 阶方阵 可对角化的充要条件是对应于 的每个特征值的.线性无关的特征

31、向量的个数恰好等于该特征值的重数().iir AEnk.特征向量62二、方阵的相似对角化(1)例4200131101AP判断能否与对角阵相似并在相似时求可逆阵,1P AP 使为对角阵.解200131(2)(3)(1)101AE1231,2,311001121100AE对,A100021000,12302xxx同解方程组1(0,1,2)T求得特征向量为;63二、方阵的相似对角化(1)1P AP 使为对角阵.200131101AP判断能否与对角阵相似并在相似时求可逆阵,123010(,)101210P 222(1,0,1)T对求得特征向量为;,333(0,1,0).T对求得特征向量为,110002

32、0.003P AP 111(0,1,2)T对求得特征向量为;,64二、方阵的相似对角化(1)矩阵相似对角化的步骤:()1,2,iir AEnkimAA时一定与对角阵相似;否则 ,12(2),nAAn 当 与对角阵相似时求出 的 个线性无关的特征向量,1212(1),nnAA 求出 的所有特征值若互异则 与对角阵,1212,nmiik 相似;若中互异的为每个 的重数为当,12112(,).nnPP AP 并令则有,不与对角阵相似.65线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第五讲 实对称矩阵及其对角化(1)实对称矩阵的正交相似对角化(1)01实对称矩阵的特征值与特征向量02本讲内容一、实

33、对称矩阵的特征值与特征向量性质5.6(1)A实对称矩阵 的特征值一定为实数;(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交;(3)AnArr设 是 阶实对称矩阵 是 的 重特征值 则对应 恰有 ,,个线性无关的特征向量.68一、实对称矩阵的特征值与特征向量性质5.6(1)A实对称矩阵 的特征值一定为实数;.AA证设 是实对称矩阵 的任一特征值则有,TTTAAA对共轭得再取转置得,TTTAAAAA由得,()0TTTTTA 右乘 从而有0由得即任一特征值为实数.,69一、实对称矩阵的特征值与特征向量性质5.6(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交;2A121证设是实对称矩阵 的

34、特征值且,111222.AA 则有,11111()TTTTTAAA则1212()0T 212120.T 1由于所以即与正交,11212122212()TTTTA 70一、实对称矩阵的特征值与特征向量例120()2AAAr A设3阶实对称矩阵 满足且,解2200AA由得10.或123()210.r A 由得,.A求矩阵 的特征值71一、实对称矩阵的特征值与特征向量11(A)(B)(C)(D)()TTPPPP例2AnPnn设 是 阶实对称矩阵是 阶可逆矩阵.已知 维列向量,1TAP AP 是 的属于特征值 的特征向量则矩阵()属于特征值 ,解=TTAP AP 解法一 由已知可知从而,1()=TTT

35、TP A PPP 也即,1TTTTP A PPP即 ()()=(),1=TTTTAAP APPP再由得 ()()=().1()()TTTP APPP解法二 验证()1()TTP APP事实上,()1()TTTTP APP)1()TTTTP APPTTP ATP ATPTPB.的特征向量是 72实对称矩阵的正交相似对角化(1)02实对称矩阵的特征值与特征向量01本讲内容二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)12112nnP APAn 其中 为 的 个特征值.,定理5.4AnnP设 为 阶实对称矩阵则必存在 阶正交矩阵使得,定义5.5TnABPP APB给定两个 阶方阵 和若存在可逆矩阵使,.ABA

36、B则称矩阵 与 合同或、是合同矩阵,1212TnnP APAn 其中为 的 个特征值.,定理5.4推论AnnP设 为 阶实对称矩阵则必存在 阶正交矩阵使得,74二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)定义5.5TnABPP APB给定两个 阶方阵 和若存在可逆矩阵使则称,.ABAB矩阵 与 合同,或、是合同矩阵注(1);(2);(3).反身性对称性传递性性质(1)ABAB与 合同对 的行和列施以相同的初等变换变成 ;(2)ABAB与 合同与 的秩相同;(3).AB实对称矩阵 与 合同且相似75二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)定义2.11ABAB矩阵 经过有限次初等变换得到矩阵则称 与 等价.,

37、PnQPAQB阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵使.,定理2.5ABmnABm设 均为 矩阵则 与 等价的充要条件是存在 ,.P可逆矩阵 称为相似变换矩阵定义5.31ABnnPBP AP设 与 都是 阶矩阵若存在一个 阶可逆矩阵使,.ABAB则称矩阵 与 相似记作,定义5.5TnABPP APB给定两个 阶方阵 和若存在可逆矩阵使则称,.ABAB矩阵 与 合同,或、是合同矩阵76二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)是否等价?哪些矩阵与单位矩阵等价?哪些矩阵与单位矩阵相似?例两个矩阵如果是等价它们是否相似?反之如果它们相似,解等价不一定相似但相似一定等价;,满秩矩阵都与单位矩阵等价;只有单位矩阵与单位矩

38、阵相似.5章3讲77二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)例3.证明:对称矩阵只能与对称矩阵合同证.TABQBQ AQ设对称矩阵 与 合同即存在可逆矩阵使,()TTTTTTTAABQ AQQ A QQ AQB因所以,.B即 也对称78线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量第六讲 实对称矩阵及其对角化(2)实对称矩阵的正交相似对角化(2)01实对称矩阵的特征值与特征向量02本讲内容实对称矩阵的正交相似对角化(2)性质5.6(1)A实对称矩阵 的特征值一定为实数;(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交;(3)AnArr设 是 阶实对称矩阵 是 的 重特征值 则对应 恰有 个线

39、性,,12112nnP APAn 其中 为 的 个特征值.,定理5.4AnnP设 为 阶实对称矩阵则必存在 阶正交矩阵使得,无关的特征向量.实对称矩阵的正交相似对角化(2)例11300012.021APP AP 设求一个正交矩阵使,解 2300|01231021AE,12331.所以,123(3)0AE X当解方程组,0000113022000022000AE12100,101 得基础解系;实对称矩阵的正交相似对角化(2)1300012.021APP AP 设求一个正交矩阵使,12121030,101 当基础解系,2301102012pp 单位化得;,340010000220111022000

40、1AE 得基础解系,301;212p 单位化得31()0AE X 当时解方程组,实对称矩阵的正交相似对角化(2)1300012.021APP AP 设求一个正交矩阵使,12301011,02211022Pp pp 令,1133T 则P AP=P AP=实对称矩阵的正交相似对角化(2)(1)3;(2).AA求 的属于特征值 的特征向量求矩阵例21,2,3AA设三阶实对称矩阵 的特征值是;矩阵 的属于特征121,2(1,1,1),(1,2,1).TT 值 的特征向量分别是解3123(1)3(,)TAx x x设 的属于特征值 的特征向量为132300,TT 所以 和1231231230,.20 x

41、xxx x xxxx即是齐次线性方程组的非零解1111111210301110101010101320 xxx同解方程组,因为对于实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量相互正交 实对称矩阵的正交相似对角化(2)121,2,31,2(1,1,1),(1,2,1).(1)3;(2).TTAAAA 设三阶实对称矩阵 的特征值是;矩阵的属于特征值的特征向量分别是求的属于特征值的特征向量求矩阵1320 xxx同解方程组1100111(2)020120003111P APP,其中11/31/31/31/61/31/61/201/2P110013251020210260035213APP可见33(1,0,1)

42、().TAkk因此 的属于特征值 的特征向量为为任意非零常数(1,0,1).T得其基础解系为1100020003APP矩阵实对称矩阵的正交相似对角化(2)1(1,1,1).TpA向量为求,例336,3,3,6A设 阶实对称矩阵 的特征值为 与特征值 对应的特征解123,3Tx x xA设为 的属于特征值 的特征向量,1231,(1,1,1)TTAx x xp 由于 为实对称矩阵所以与 正交,1230 xxx即,23111,001pp得基础解系为,11231116,1103.1013Pp p pP AP令则,411141.114故A实对称矩阵的正交相似对角化(2)1(1,1,1).TpA特征向量

43、为求,36,3,3,6A设 阶实对称矩阵 的特征值为 与特征值 对应的11231116,1103.1013Pp ppP AP 令则,1P P则 A,1111001010011010011100101100100110111010011111000121011111 0 03331 010 011 010011210 11 0 110 110110 1 03330 03 1 121121120 010 0 1333333实对称矩阵的正交相似对角化(2)1(1,1,1).TpA特征向量为求,36,3,3,6A设 阶实对称矩阵 的特征值为 与特征值 对应的11231116,1103.1013Pp p

44、pP AP令则,1111333111600411121110030141.333101003114112333P P 故A1111333121333112333P 实对称矩阵的正交相似对角化(2)例423202_.AAAAA设 是 阶实对称矩阵且若 的秩为则 相似于,()()2AAr Ar 又 为实对称矩阵所以 可相似于对角阵且,2=20于是解222020(2)002.AAA 由得故 的特征值为 或,实对称矩阵的正交相似对角化(2)(1)(2)AA求 的所有特征值与特征向量;求矩阵例5111120000.1111AAA设 为三阶实对称矩阵 的秩为且,解1211(1)0011 记,121211.

45、A 所以 有特征值分别为其对应特征向量,3()2|00.r AA又故所以,331230()Txxx设对应特征向量为,13133132300(0 1 0).00TTTxxxx 则即解得,1122AA 从而,1212AA 由已知得,实对称矩阵的正交相似对角化(2)(1)(2)AA求 的所有特征值与特征向量;求矩阵111120000.1111AAA设 为三阶实对称矩阵 的秩为且,(2)A实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量必正交故只需单位化:,1231102200111022 ,1101220011110022TQQ AQ-令则,112233(0)ikkkk对应特征向量分别为其中,123110A 故

46、 的特征值为,实对称矩阵的正交相似对角化(2)TAQQ-110001=000.1001111022221100022110122-0-11100011110222211000022110122-000线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量导学95第五章 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论的重要组成部分,工程技术中的振动问题,图像处理以及稳定性问题,数学中的矩阵对角化以及微分方程组的求解,都可以归结为一个矩阵的特征值与特征向量问题.特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵及其对角化本章主要内容包括:01用数与向量描述方阵相似与正交相似等价、相似与合同0203导学内容01

47、 用数与向量描述方阵97n阶方阵 矩阵的秩行列式 特征值A为一个数若存在非零向量使,特征值特征向量 定义 计算 性质0AE求特征值就是解()0AE X 的非零解即为特征向量基础解系行列式的计算第一章第四章01 用数与向量描述方阵98 求特征值 具体矩阵求特征值、特征向量TA相似0AE求特征值就是解()0AE X的非零解即为特征向量 抽象矩阵求特征值、特征向量kAmA()f A1AA特征向量保持不变特征向量没有相关结论02特征值与特征向量相似与正交相似等价、相似与合同010302 相似与正交相似100相似定义1.ABnnPBP AP,设 与 都是 阶矩阵存在 阶可逆矩阵使方阵与对角阵相似 任意方

48、阵与对角阵相似 实对称矩阵与对角阵相似相似不相似寻找判断的条件相似正交相似施密特正交化第三章 实对称矩阵特征值特征向量的性质03特征值与特征向量相似与正交相似等价、相似与合同0201二、实对称矩阵的正交相似对角化(1).TABnnPP APB,设 与 都是 阶矩阵存在 阶可逆矩阵使合同 AmnmPnQ设 是矩阵存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,等价1.ABnnPBP AP,设 与 都是 阶矩阵存在 阶可逆矩阵使相似寻找相同点和不同之处PAQB使.线性代数(慕课版)第五章 矩阵的特征值与特征向量本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结 1 知识点归纳特征值与特征向量特征值、特征向量的定义性

49、质与对角阵相似与对角阵正交相似基本概念性质矩阵与对角阵相似实对称矩阵的正交相似对角化有n个线性无关的特征向量n个特征值互不相同求特征值、特征向量的方法具体矩阵抽象矩阵10501知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结 2 教学要求和学习建议(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(3)(2)理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法(4)107 2 教学要求和学习建议属于这个特征值的线性无关的特征向量.0AE解求出 的值即得到特征值;,1OP

50、TION()0AE X对每一个求方程组的基础解系即得到,2OPTION具体矩阵求特征值、特征向量的步骤108A,设 为 的特征值则(1)kkA为的特征值;(2)mmA为的特征值;(3)()()ff A为的特征值;11(4)AA,可逆则为的特征值;(5)AAA,可逆则为的特征值;抽象矩阵求特征值的结论 2 教学要求和学习建议(6)TAA与有相同的特征值;特征向量保持不变(7)相似矩阵有相同的特征值.特征向量无结论1091,2,inkimAA时一定与对角阵相似;否则 不与对角阵相似.,12(2),nAAn,当 与对角阵相似时求出 的 个线性无关的特征向量1212(1),nnAA 求出 的所有特征值

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