1、6.4数列求和,第六章数列,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.等差数列的前n项和公式Sn .2.等比数列的前n项和公式,知识梳理,3.一些常见数列的前n项和公式(1)1234n .(2)13572n1 .(3)24682n .(4)1222n2 .,n2,n(n1),数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.(2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解.,【知识拓展】,(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式,(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和
2、公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn()(2)当n2时， ()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)数列 的前n项和为n2 ()(5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可
3、求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数).(),1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是 A.100200(129) B.100100(129)C.200(129) D.100(129),答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析第10次着地时，经过的路程为1002(502510029)1002100(212229),3.12x3x2nxn1_.(x0且x1),答案,1,2,3,4
4、,5,6,解析设Sn12x3x2nxn1， 则xSnx2x23x3nxn， 得(1x)Sn1xx2xn1nxn,解析,题组三易错自纠4.(2017潍坊调研)设an是公差不为0的等差数列，a12，且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于,答案,1,2,3,4,5,6,解析,1,2,3,4,5,6,解析设等差数列的公差为d，则a12，a322d，a625d.,即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.,5.(2018日照质检)数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于 A.200 B.200C.400 D.400,解析,答案,1,2,3,4,5
5、,6,解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.,6.数列an的通项公式为anncos ，其前n项和为Sn，则S2 017_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.,1 008,1 008.,题型分类深度剖析,解答,题型一分组转化法求和,师生共研,典例 (2018合肥质检)已知数列an的前n项和Sn ，nN.(1)求数列an的通项公式；,解当n1时，a1S11；,a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.
6、,解答,(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.,解由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，,B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.,本例(2)中，求数列bn的前n项和Tn.,解答,解由(1)知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n,当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n,分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an
7、的前n项和.(2)通项公式为an 的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.,跟踪训练 等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；,解答,解设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，,an32(n1)2n1，bn2n1.,解答,T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n),典例 (2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN)，bn是首项为2的等比
8、数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；,题型二错位相减法求和,师生共研,解答,解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.,解答,(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN).,解设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1
9、，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1,错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,跟踪训练 (2018阜阳调研)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10
10、100.(1) 求数列an，bn的通项公式；,解答,解答,典例 (2017郑州市第二次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Sn an1n1(nN).(1)求数列an的通项公式；,题型三裂项相消法求和,多维探究,解答,两式相减，并化简，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.,证明,证明由bnlog3(an1)log33nn，,典例 已知函数f(x)x的图像过点(4,2)，令an ，nN.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017_.,解析,答案,跟踪训练 (2018届贵州
11、遵义航天高级中学模拟)已知等差数列an满足(a1a2)(a2a3)(anan1)2n(n1).(1)求数列an的通项公式；,解答,解设等差数列an的公差为d，当n1时，a1a24，当n2时，a1a2a2a312，即4a212，a23，a11，da2a12，等差数列an的通项公式an12(n1)2n1，an2n1.,解答,Snb1b2b3bn,典例 (12分)在数列an中，a12，an1 an(nN).(1)求数列an的通项公式；,审题路线图,四审结构定方案,审题路线图,规范解答,审题路线图,规范解答,(3)证明当n2时，,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
12、2,13,14,15,16,答案,解析,2.(2018长春调研)数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17等于 A.9 B.8C.17 D.16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.,3.在数列an中，若an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于 A.76 B.78 C.80 D.82,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由已知an1(1)nan2n1，得a
13、n2(1)n1an12n1，得an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2017高安中学模拟)已知数列5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于 A.5 B.6C.7 D.16,解析根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，5，6，1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为561(5)(6)(1)0.又因为16264，所以这个数列的前16项之和S162077.故选C.,A.0 B.100 C.100 D.10 200,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(2
