1、第五章第五章 时间序列时间序列数据数据第一节 时间序列的分析指标 一、时间序列的概念和一、时间序列的概念和分类分类（一）时间序列的（一）时间序列的概念概念 时间序列就是把同一现象在不同时间上的统计指标按照时间先后顺序排列而成的数列。表表5-1 我国经济和人口发展资料我国经济和人口发展资料表5-1就是一个时间序列。建国初期，我国的人口总数为5.7亿人，2005年1月6日达到了13亿人。人口的总量随着时间不同而变化。为了了解和分析人口总量的发展趋势和变化规律，应该掌握长时期内的人口总量资料，这就需要借助于时间序列进行分析。时间序列由指标所属的时间和不同时间上的统计指标两部分组成。通过时间序列，可以
2、描述和分析现象的动态变化。因此，时间序列又称动态数列动态数列或时间数时间数列列。（二）时间序列的分类（二）时间序列的分类 时间序列按其指标的表现形式不同可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。其中：绝对数时间序列是基本数列，其余两种是派生数列。1绝对数时间序列 由一系列同类的绝对指标（总量指标）数值按时间顺序排列而成的数列称绝对数时间序列。它反映现象在不同时间上所达到的绝对发展水平。按其所反映的社会经济现象的性质来看，又可进一步划分为时期数列时期数列和时点数列时点数列。（1）时期数列。将时期指标按时间顺序排列，形成时期数列。时期数列中的各总量指标数值反映现象在一段时期内的发展
3、总量。时期数列的特点如下：一是数列中各个指标数值可以相加。相加后的指标数值就表示现象在更长时期内的发展的总量。二是数列中每个指标数值的大小与其时期长短有关。每个指标所包括的时期长度，叫“时期”。一般来说，时期愈长，指标数值就愈大，反之，就愈小。三是数列中的每个指标数值，通常是通过连续登记得到的。（2）时点数列。将时点指标按时间顺序排列，形成时点数列。时点数列中的各指标数值反映现象在某一时点上达到的总量和水平。时点数列的特点如下：一是数列中每个总量指标的数值不能相加。指标数值相加后，不仅会发生重复计算，而且也无法说明这个数值是属于哪一个时点上现象的总量，没有实际意义。二是数列中每个指标数值的大小
4、与其时点间隔长短无直接关系。两个相邻指标数值在时间上的距离叫做“时点间隔”。三是数列中每个指标的数值，通常是通过间断登记（一次性登记）取得的。2相对数时间序列 由一系列相对数按时间顺序排列而成的数列称为相对数时间序列。如表5-1中的城市人口比重数列是相对数时间序列。相对数时间序列中的各指标数值通常是不能直接相加的。3平均数时间序列 由一系列平均数按时间顺序排列而成的数列称为平均数时间序列。如表5-1中的职工平均工资就是一个平均数时间序列。该数列的各指标数值也不能直接相加。二、时间序列的分析二、时间序列的分析指标指标 常用的时间序列的分析指标有：绝对数分析指标，即发展水平和增长量。相对数分析指标
5、，即发展速度和增长速度。平均数分析指标，即平均发展水平、平均增长量、平均发展速度、平均增长速度。（一）发展水平（一）发展水平 时间序列中的每个指标数值都可叫做发展水平或时间序列水平。它是计算其它动态分析指标的基础，一般用符号a表示。根据时间序列的种类不同，发展水平既可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标。表9-1中的每一个指标数值都可以是一个发展水平。发展水平根据其所处的位置不同可分为期初水平期初水平、期末水平期末水平和中间水平中间水平三种。时间序列中第一个指标数值叫期初水平，它反映现象发展变化的起点，一般用a1表示；最后一个指标数值叫期末水平，用an表示；其余各个指标数值叫中间水平，用a
6、2,a3,an-1表示。发展水平根据研究目的可以分为报告期水平和基期水平，将所研究的那一时期的指标数值叫做报告期水平报告期水平，将用来进行对比的基础时期水平叫基期水平基期水平。基期的选择通常有三种最为常见。一是报告期不管是哪个时期，基期总是选择其前一时期，计算的指标一般称为环比指标。二是报告期不管是哪个时期，基期总是选择某一固定时期，如数列的期初水平，计算的指标一般称为定基指标。三是报告期不管是哪个时期，基期总是选择去年同期，计算的指标一般称为年距指标。（二）增长量（二）增长量 增长量是时间序列中报告期水平与基期水平之差，反映现象在一段时期内增加或减少的绝对数量。其计算公式为：增长量增长量=报
7、告期发展水平报告期发展水平-基期发展水平基期发展水平 计算结果可正可负，正值表示增加的绝对数量；负值表示减少的绝对数量，因此增长量也可称为增减量。由于采用的基期不同，增长量有逐期增长量和累计增长量两种。逐期增长量是各期水平与其上期水平之差，表明一段时期内逐期增减变动的绝对数量；累计增长量是各期水平与某一固定时期水平之差，表明在较长一段时期内累计增减的绝对数量。设a1,a2,a3,a n为各时期发展水平，则有：各时期逐期增长量：a2-a1,a3-a2,a4-a3,a n-a n-1 各时期累计增长量：a2-a1,a3-a2,a4-a3,a n-a1 可以看出，逐期增长量与累计增长量在数量上有一定
8、的关系，累计增长量等于相应各逐期增长量之和。【例5-1】我国某地历年化肥销售量资料如表5-2 所示，计算各逐期增长量和各累计增长量见表5-2。另外，对于受季节因素影响较明显的社会经济现象，为了表明它们增长变化的绝对数量，还可计算年距增长量，以消除季节因素对现象变化的影响。年距增长量是报告期水平与去年同期水平之差。年距增长量报告期发展水平年距增长量报告期发展水平-去年同期去年同期发展水平发展水平（三）发展速度（三）发展速度 发展速度是反映国民经济发展变化最常用也是最重要的指标之一，是时间序列中报告期水平与基期水平之比，表明现象发展变化的速度或程度，习惯上用百分数表示。其计算公式为：根据研究目的的
9、不同，计算发展速度可采用不同的基期，发展速度可以分为环比发展速度与定基发展速度。环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，表明现象逐期发展变动的程度；定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平（一般是期初水平，我国一般采用年代初期水平）之比，表明现象在一段时期内总的发展程度，所以定基发展速度也称为总速度总速度。%100基期发展水平报告期发展水平发展速度 设a1,a2,a3,a n为各时期发展水平，那么，各期的环比发展速度和定期发展速度可表示为：环比发展速度:定基发展速度:可以看出，定基发展速度与环比发展速度之间也具有一定的数量关系。定基发展速度等于相应各环比发展速度的连乘积。另外，对于受季节
10、因素影响较明显的社会经济现象，为了表明它们发展变化程度，还可计算年距发展速度，以消除季节因素对现象变化的影响。年距发展速度是报告期水平与去年同期水平之比。年距发展速度（报告期发展水平/上一年同期发展水平）100%1342312,nnaaaaaaaa1141312,aaaaaaaan（四）增长速度（四）增长速度 增长速度也称增长率，是增长量与基期水平之比，表明现象增长或降低的程度。它可以根据增长量计算，也可根据发展速度计算。习惯上用百分数表示。其公式为：由于发展速度有环比发展速度与定基发展速度之分，故增长速度也有环比增长速度环比增长速度和定基增长速度定基增长速度两种。）（或发展速度基期发展水平增
11、长量增长速度%1001%100）（或环比发展速度基期发展水平逐期增长量环比增长速度%1001%100）（或定基发展速度基期发展水平累计增长量定基增长速度%1001%100 需要指出，环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系，由环比增长速度推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加1变成环比发展速度后连乘，再将结果减1，即得定基增长速度。计算见表5-2。此外，对于受季节因素影响明显的社会经济现象，为了消除季节因素影响，还可计算年距增长速度。年距增长速度年距增长速度=年距发展速度年距发展速度-1(五五)平均发展水平（序时平均数）将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数叫平均发展水平，一般也
12、叫“序时平均数”或“动态平均数”。平均发展水平所平均的是社会经济现象在不同时间上的差异，从动态上说明其在一段时间内发展的一般水平，它是根据时间序列来计算的；而一般平均数是将总体各单位某一数量标志值在同一时间上的数量差异抽象化，从静态上说明其在具体历史条件下的一般水平，它是根据变量数列来计算的。1根据绝对数时间序列计算平均发展水平（1）根据时期数列计算平均发展水平。由于时期数列的各期发展水平可以直接相加，因此平均发展水平可采用简单算术平均法。计算公式为：式中，表示平均发展水平；a表示各期发展水平；n表示时期项数。nanaaaaann121a【例5-2】根据表5-1中国内生产总值数列，计算2009
13、 2013各年度的平均国内生产总值。340902.8 401512.8568845.25460767aan我国2009-2013年期间平均每年的国民生产总值为460767亿元。亿元亿元（2）根据时点数列计算平均发展水平。时点数列有连续时点数列和间断时点数列两种。如果时点数列的资料是逐日记录，而又逐日排列的，称为连续的连续的时点数列时点数列。如果时点数列的资料是按月（季度、年度）记录，逐月（季度、年度）排列的，称为间断的时点数列间断的时点数列。1）连续时点数列。连续时点数列又根据间隔是否相等，分为间间隔相等隔相等的连续时点数列和间隔不等间隔不等的连续时点数列。此时可按时期数列的公式计算平均发展水
14、平，因为时期数列中的指标数值是连续记录的，是连续的时点数的累加结果。间隔相等的连续时点数列。间隔相等的连续时点数列。若时点数列是以日为间隔而编制的，且间隔相等的连续时点数列，可用简单算术平均法求平均发展水平，即以各时点数值的总和a 除以时点个数n。naa【例5-3】某班组上旬每天出勤人数资料如表5-3 解：平均每天出勤人数为：（人）130303030323233312927=10niiaan30430.43010 间隔不等的连续时点数列间隔不等的连续时点数列。即被研究现象不是逐日变动的，则可根据整个研究时间内每次变动的资料，用每次变动持续的间隔长度f为权数对各时点水平a加权，应用加权算术平均法
15、计算平均发展水平，计算公式为：fafa【例5-6】某企业某月上旬每天出勤的人数资料如表5-4，计算企业上旬每天平均出勤人数。该企业上旬出勤人数变动的间隔时间不等，因此，该企业上旬平均出勤人数的计算应采用加权算术平均法，即：即该企业上旬每天平均出勤人数为206人。)(206102060523520822103200人fafa 2）间断时点数列。间断时点数列的指标数值都是各期期初或期末的资料，它也有间隔相等与间隔不等之分。间隔相等的间断时点数列。间隔相等的间断时点数列。根据间隔相等的间断数列计算平均发展水平，先假定相邻两期发展水平的变化呈均匀变化，计算各相邻两期发展水平的平均数，而后再对这些平均数
16、用简单算术平均法求平均发展水平，这种方法叫做“简单序时平均法”，或“首末（尾）折半法。计算公式为：式中，n代表时点项数。122213221naaaaaaann122121naaaaann 【例5-7】某养羊专业户资料如表5-5所示，求全年平均每天养羊只数。解：首先判断资料的类型：这是个时点资料，并且是不连续的，每两个时点之间都是间隔一个月，所以是间隔期相等的间短时点数列；按下面的步骤进行计算：第一步，月内求平均，即将每月月初和月末这二个时点数值求和除以 2 取平均值，作为整个一个月内每天数值的代表水平；第二步，年内求平均，即将各月的代表水平相加除以12，便是全年平均每天的养羊只数。即42026
17、02602402402102104002222全年平均养羊只数=（+40044044043043046046046022224605005005105105005005002222+）/124205002602402104004404304604605005105002212487040612（只）间隔不等的间断时点数列。间隔不等的间断时点数列。对于间隔不等的间断时点资料，则要用间隔时间长度为权数，对各两点水平的平均数进行加权平均，此方法称为“加权序时平均法”。计算公式为：12111232121222nnnnffffaafaafaaa【例5-8】胜利大街银行分理处月末储蓄存款余额资料如下：计算
18、该银行平均储蓄存款余额 解：年平均储蓄存款余额：根据间断时点数列计算平均发展水平，是假定现象在相邻两个时点之间的变动是均匀的，实际上各种现象的变动并不完全如此。为了使计算结果能够反映实际情况，间断时点数列的间隔不宜过长。万元8451210140242422105010004210007302273090042900600a 2根据相对数时间序列计算平均发展水平 相对数通常是由两个绝对数对比而成，即 。因此，相对数时间序列一般也是由两个绝对数时间序列对比而成的，其中c为相对数时间序列，a和b分别是两个绝对数时间序列，即 。计算平均发展水平 的基本思想是：先分别求出a数列和b数列的平均发展水平，而
19、后再进行对比。其基本公式为：式中，表示分子数列的平均发展水平；表示分母数列的平均发展水平。和 可按相应绝对数时间序列平均发展水平的计算方法求得。bac bac Cababab（1）由由两个时期数列对比所形成的相对数两个时期数列对比所形成的相对数时间序列时间序列【例5-9】根据某地区2009-2014年间第三产业增加值占国内生产总值的平均比重。设第三产业增加值比重时间序列为c，那么，第三产业增加值时间序列和全部国内生产总值时间序列分别为a和b。则有：那么，该地区2013-2014年间第三产业增加值占国内生产总值的平均比重为：40.2388664.14331868.297035.204272.17
20、947naa93.7510666.45064166.894036.678841.58478nbb%80.31%10093.7510640.23886baC（2）由两个时点数列对比所形成的相对数时间序列）由两个时点数列对比所形成的相对数时间序列。【例5-10】现举例说明如下：见表5-8。求第一季度生产工人数占全部工人的平均比重。解：表中a，b数列均为间隔相等的间断时点数列，用首末折半法计算平均发展水平。即：所以，该企业第一季度生产工人占全部职工人数的平均比重为87.52%。如果分子、分母数列是其它形式的时点数列，我们应采用相应的公式计算方法计算平均发展水平，然后把两个平均发展水平进行对比，求出相
21、对数时间序列的平均发展水平。时时 间间1月月1日日2月月1日日3月月1日日4月月1日日a.生产工人生产工人数数/人人b.全部职工全部职工人数人数/人人c.生产工人占全部职工人数的比重生产工人占全部职工人数的比重%（c=a/b）350.00429.00 81.78 380.00450.00 84.44400.00440.00 90.91410.00443.00 92.55 人67.386311601424104003802350122121naaaaann人83.44135.13251424434404502428122121nbbbbbnn%52.87%10083.44167.386baC（3
22、）由一个时期数列和一个时点数列对比所形成的相对数时间序列 【例5-11】根据某企业上半年总产值和月初工人数资料计算上半年的平均月劳动生产率。表5-9中，每月总产值是时期数列，每月初工人数是时点数列，上半年的平均月劳动生产率为：在实际应用中，常常是先将时点指标按时点指标求序时平均数的计算方法，计算出各个时期的平均数，这样处理之后，分子和分母就都可按时期数列计算序时平均数的方法计算平均数了。将分子、分母计算出的平均值相比便得所求。月份总产值/万元月初工人数/人1234567202230403636100105108109110112114617123622iiacbbbbb202230403636
23、100114105 108 109 110 112221840.283651（万元/人）3根据平均数时间序列计算平均发展水平 平均数时间序列与相对数时间序列一样，一般也是由两个绝对数时间序列相对比形成。（六）平均增长量（六）平均增长量 平均增长量是一段时期内各逐期增长量的平均数，表明现象在一段时期内平均每期增减的绝对数量。根据掌握资料的不同，计算公式为：1时间数列项数最后一期累计增长量逐期增长量个数各逐期增长量之和平均增长量 根据表5-2 中的资料，计算某地2004-2013年间化肥销售量的年平均增长量为：51.471.42183.22071500.27150.02710111平均增长量=万吨
24、（七）平均发展速度（七）平均发展速度 平均发展速度是各环比发展速度的平均数，表明现象在一个较长时期中逐年平均发展变化的程度。1、水平法（几何平均法）计算公式为：式中：为平均发展速度；为各时期环比发展速度；n为环比发展速度的个数；为连乘符号nnnxxxxx21x 环比发展速度的连乘积为定基发展速度。因此，平均发展速度也可直接由定基发展速度计算，也即：式中，为期末水平；为期初水平；n为时期个数。11nnaaxna1a【例5-13】根据表5-2 中的数据，计算2009-2013年我国某地化肥销售量的年平均发展速度和年平均增长速度。年平均发展速度：%95.1141299.11239.103.14936
25、.13895.110 x%.aaxnn951144051002071011年平均增长速度=年平均发展速度-100%=114.95%-100%=14.95%【例5-14】2005年我国人口数 13.0756亿底，以后各年若按6速度递增，到2015年，我国人口数将达到多少?即若按每年6的速度递增,到2015年我国人口总数将达到 13.8817亿人。2方程法(平均法)应用方程法计算平均发展速度时，我们先假设 为应用此法求得的平均发展速度指标，这样根据 计算逐年发展水平将如下：（八）（八）平均增长速度平均增长速度 平均增长速度表明现象在一个较长时期中逐期平均增长变化的程度。它可以直接由平均发展速度计算
26、。平均增长速度=平均发展速度-100%三、使用时间序列分析指标应注意的三、使用时间序列分析指标应注意的问题问题 1.注意注意将速度指标与水平指标的结合将速度指标与水平指标的结合使用使用 将速度指标与水平指标的结合使用，可以使我们对现象的数量特征认识的更客观，更深刻。将速度指标与水平指标结合起来分析，通常是计算每增长百分之一所包含的绝对值。增长百分之一的绝对值表示速度每增长百分之一而增加的绝对数量，其公式为：100100%1基期水平环比增长速度逐期增长量绝对值增长【例5-12】我国建国初期和近期的钢铁产量资料，如表所示。如果我们单纯从增长速度指标进行分析，可以得出1950年钢铁产量为1949年的
27、386%，增长速度为286%，这是由于当时的基点低所致。我们不但要看其速度指标，还就需要将速度与水平指标结合起来进行分析。计算增长1%绝对值：计算结果表明，1950年钢铁产量比1949年每增长1%，只增长了0.158万吨，而2009年每增长1%，就增长了502万吨钢铁。（二）时间序列中指标出现（二）时间序列中指标出现0或负数时，不宜计算发展速度或负数时，不宜计算发展速度 例如某企业连续五年的利润额分别为5万元，2万元，0万元，-3万元，2万元，对这一时间序列计算发展速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。第二节第二节 长期趋势的长期趋势的测定测
28、定 一、时间序列的分解一、时间序列的分解 时间序列各项发展水平的变化是由许多复杂因素共同作用的结果。不同性质的因素所引起的作用不同，它们运动变化的形式也不同。通常时间序列变动(y)可以分解为以下几种变动形式：1长期趋势长期趋势(T)长期趋势是时间序列变动的基本形式。它是由于各个时期普遍的、持续的、决定的基本因素的作用，使各期发展水平沿着一个方向上升或下降，形成的变动规律。2季节变动季节变动(S)季节变动是指时间序列在一年内受自然季节变换和社会习俗等因素影响而发生的有规律的周期性波动。例如，北方的农业生产受季节变化的影响出现的春耕、夏锄、秋收和冬储波动；铁路、公路等客运量在一年中的旅游旺季出现高
29、峰等等。其周期长度可以是日、星期、月、季度等。3循环变动循环变动(C)循环变动是指社会经济发展中的一种近乎规律性的盛衰交替变动。其成因比较复杂，周期在一年以上，长短不一。4不规则变动不规则变动(I)亦称剩余变动或随机变动，它是时间序列中除了上述三种变动之外剩余的一种变动，是各种偶然的（或突发性的）因素，如自然灾害、战争以及无法预料和具体解释的随机性因素影响的结果。不规则变动与时间无关。把这些影响因素同时间序列的关系用一定的数学关系式描述出来，就构成了时间序列的分解模型。按四种因素对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种构成模型。其中最常用的是乘法模型。即 Y=TSCI 式中，Y、T是总量
30、指标；S、C、I为比率，用百分数表示。乘法模型的基本假设是：假定这些因素是由不同原因组成的，但相互之间存在一定的关系，即它们对事物发展的影响是相互的。因此，时间序列中各观察值表现为各种因素的乘积。我们这里要做的就是将四个因素的变动分离出来，研究各自变动的规律性。其中最主要的就是长期趋势和季节变动的的测定。二、长期趋势的测定方法二、长期趋势的测定方法 （一）随手划线法。所谓随手划线法，就是按着原数列的趋势走向，画一条最适当的线。具体做法：在以时间为横轴、指标值为纵轴的直角坐标系上画散点图,然后连点成折线，直观上观察其趋势走向，大致划一条直线。这条直线就代表着长期趋势，表明该数列的发展方向是上升的
31、还是下降的。（二）移动平均数法 所谓移动平均，就是从数列的首项开始，按一定项数求序时平均数，逐项移动，边移边平均，这样就可以得到一个由这些移动平均数构成的新的时间数列。由于取了平均数，就意味着把一个个小总体内的差异抽象掉了，从图形上看，则是把一些由次要因素造成的不规则变动加以修匀了，如此，动态数列整体的趋势走向也就更明显了。一般来说，所选项数越多，修匀的作用越大，曲线就越平滑；项数越少，修匀的作用就越小。【例5-16】某企业固定资产总额资料见表5-11年份固定资产总额三项移动平均五项移动平均200252一20035755.O一20045660.359.620056863.O63.6200665
32、68.366.220077269.O70.420087073.O74.4200977 78.380.220108886.384.820119492.388.820129593.O93.O20139094.3201498现以 代表不同年份的固定资产总额,代表移动平均后的固定资产总额，n 代表移动的项数。采用三项移动平均，计算公式为：例如：123naaaa、1231naaaa、113iiiiaaaa12325257565533aaaa234768355660.333aaaa1112131295909894.333aaaa 采用五项移动平均，计算公式为：21125iiiiiiaaaaaa123453
33、525756686559.655aaaaaa234564575668657263.655aaaaaa91011121311889495909893.055aaaaaa 例如：例如：如果采用偶数项，则平均后数值的位置在二个时间段的中间，为了整齐和便于绘图，必须再进行一次二项移正平均。【例5-17】某种产品各个时期在某地区的销售资料见表 5-12。用移动平均法测定该数列的长期趋势。时间时间顺序顺序销售量销售量四四项项移动移动平均平均二项二项移移正正平均平均2011年 3季度4季度122636 2012年 1季度2季度3季度4季度34561016283622.O22.522.523.O22.2522
34、.5022.7023.50 2013年 1季度 2季度 3季度4季度789101220324424.O25.O27.028.O24.5026.0027.5028.50 2014年1季度2季度 3季度 4季度111213141624345029.O30.532.O35.529.7531.2533.7536.752015年1季度 2季度1516303438.0解解:该动态数列的每一个数值都是季度的销量。四个季度为一个周期，所以以 4 项为长度进行移动平均。首先，将第一至第四项简单平均：1234263610162244aaaa 作为平均后的第一项置于四个数值中间，也就是在季度顺序第二项与第三项中间；
35、然后，下移一项取平均，即第二项至第五项简单平均；234536 10 162822.544aaaa作为平均后的第二项，放在四个数值中间，也就是季度顺序第二项与第四项中间；以此类推，直到算出最后一个移动平均数38503034384（三）数学模型法(趋势线配合法）这种方法的要点是在于找到最接近动态数列的理论曲线的数学形式，它表现为一个方程式。换言之，就是给动态数列配合一个适当的方程式。如果需要知道各期理论值是多少时，只须将时间顺序逐一代入方程即可。将计算结果排列出来，便是那条理论动态数列它能够反映长期趋势。把所有符合这个方程式的所有点画在直角坐标系上连点成线，便是所要配合的趋势线。动态数列的趋势走向
36、是多种形式的，有些是波浪式上升的或下降的；有些是呈现两头高、中间低的状态；还有的是开始时呈上升趋势，到一定程度后又开始下降等等。因此，所要配合的方程式就有多种，可能是直线趋势方程，也可能是曲线趋势方程。这里着重介绍直线趋势方程与曲线方程中的指数曲线方程。1、直线趋势的测定 当现象发展趋势为直线时，可测定直线长期趋势。最常用的方法是最小平方法,求直线趋势方程的准则是使实际观察值与理论值离差平方和为最小，即使 取最小值。此即 取最小值。式中Y、T是待定参数（Y、T是已知的），现令2()TYY2()Yabt2()QYab根据多元函数求极值的定理,使 Q 取最小值的a、b 应满足2()12()02()
37、()0QYabtYabtaQYabtta （）整理得200Ynab ttYa tb t 这是关于 的二元一次线性方程组，解之得22()aYbtn tYt Ybn tt 【例5-18】仍使用表5-12中的资料，用序数学模型法测定该数列的长期趋势（见表5-13）其中，在实际动态数列中都可以找到，代人式中求出，即可得到直线趋势方程。下面以表5-13为例说明之，计算过程数据列于表 5-13。将表 5-13中有关数据代人公式（5.9）得tn、Y216 4172 136 4520.970616 1496 1364521360.9706201616ba直线趋势方程为YT=20+0.970 t 2.曲线趋势的
38、测定 指数曲线方程适合于按一定的增减速度增减的动态数列，即等比增长数列。判断标准是数列的各期环比增长速度大体相同。这种数列因其基数越来越大，所以按同一速度的增长量也就越来越大，从而就使得其图形呈上凹形状。指数曲线方程的一般形式是tTyab【例5-19】某企业2009年至2014年的产品销售利润资料如表 5-14。年份产品销售利润/万元环比增长速度（%）2009201020112012201320145362738510111816.917.116.418.816.8解：由于50118117.36%53nnaXa 指数曲线方程为：（2）对数法 指数曲线方程的对数式是直线方程，即 对取对数后，得到
39、lgYT=lga+tlgb，可以考虑先用最小平方法测定出对数直线方程式中的参数lga 和lgb,然后查反对数表还原出a、b，最后再代入指数曲线方程 中。以表 5-14为例说明之，中间过程的计算结果列于表 5-15，依（5-9）tTyabtTyab22()aYbtn tYt Ybn tt 22gg(g)(lg)(lg)g()iiilalylb tn tytylbn tt 有将数据代入解之得：26 41.069521 11.3856g0.06976 912111.385621lg0.06971.653766lba查反对数表可求出 a=45.05 b=1.1741于是指数曲线方程为45.05(1.1
40、741)tTy 第三节 季节变动的测定 一、测定季节变动的意义与作用 因自然界季节的变化而发生的有规律性的变动就是季节变动季节变动。目前季节变动一词的意义已经超过了季节的范围，可以把一天内、一周内、一月内、一季或一年内的有一定规律性的周期变动，都称为季节变动。如：城市公共汽车的乘客人数在上下班时间多，而其它时间少。公园的门票收入节假日多，平时较少等。季节变动的作用主要有以下二个方面；一个是掌握了季节变动的规律，便于指导日常的生产经营工作。如商业部门可依商品销售的季节变动情况，及时组织应季商品的货源，保证供应、防止积压；工业部门依变动规律，可在生产高峰季节到来之前，做好生产准备，搞好设备维修、技
41、术培训及原材料和产品的储备等等。另一个作用是可依季节变动规律进行经济预测。二、季节变动的测定方法 1.按月(季)平均法。按月（季）平均法又称为同期平均法。假如拥有每个月的数值就按月平均，观察现象随着月份的改变，如何变化。是季度的资料，就按季平均。步骤如下:第一，各年同月（季）的数值加总，求出若干年内同月的平均数。记为 ；第二，若干年内全部月（季）的数值加总，除以总的月（季）数，求出总的月（季）平均数。记为 ；第三，将同月（季）的平均数与总的月（季）平均数相除，就得到各月（季）的季节比率(又称季节指数)；ixX第四，将各季节比率相加，如果是月度资料，和应是 1200%,如果是季度资料，季节比率之
42、和应该为 400%。即，若设各季度平均分别为 是它们的总平均数，则季节比率分别为3124,xxxxXXXX4431112441400%4iiiiiixxxxxxXXXXXx于是 类似上述推算，会有季节比率之和为 1200%。由于计算误差的影响季节比率之和有时不等于 400%(或者1200%),这时就需要加以调整。调整办法是将各季节比率乘以调整系数。调整系数 调整后的季节比率 =原季节比率调整系数400%(1200%)或各季节比率之和400%原季节比率（或1200%）各季节比率之和 以前面表 5-12为例，求季节比率。若假设 2016年全年销售量为140万件,那么预测每个季度的销售量应为多少？解
43、：第一步第一步，将资料重新排列，使同一季度的资料上下对齐，见表 5-16。表中可见，几年中，同一季度的销售量是有区别的，在不考虑长期趋势的情况下，数值间的差别是偶然性因素影响的结果，求和取平均值后，就把这种不规则的变动去掉了，可以作为季度的代表水平。17、23.5、31、41.5 这四个平均值之间的差别、则可看作是受季节因素影响的结果。季度季度年份年份一一二二三三四四合计合计2011201220132014201510121630162024342628323836364450629010810864合计合计季平均季平均季节比季节比率（率（%）681760.189423.583.1912431
44、109.7316641.5146.9045228.25400第二步第二步，求出16个季度的总的季平均 或者 （17+23.5+31+41.5）/4=28.2545228.2516第三第三步步，求出季节比率。比如第一季度季节比率：1760.18%28.25第四步第四步，加总季节比率。本题季节比率之和为 400%,不用调整。计算结果表明，这种商品的销售量受季节变动的影响，第四季度销量最大，第一季度销量最小。那么以后进货时要注意调整货源，既要保证供应又要防止积压。2016年全年预计是 140 万件，所以每个季度平均应为 140/4=35 万件，但是由于该商品的销售受季节因素的影响，所以应在平均数的基
45、础上考虑季节因素的作用。具体做法：将每季度的数值(此处表现为平均值)乘以相应的季节指数，即是预测的销售量。第一季度：3560.18%=21.06（万件）第二季度：35 83.19%=29.12（万件）第三季度：35109.73%=38.41（万件）第四季度：35146.90%=51.42（万件）按月（季）平均法计算季节比率，其优点是计算简便。不足之处是所得季节比率，有时不够精确。2.移动平均趋势剔除法 移动平均趋势剔除法的步骤为：第一步，根据各年的按月（季）的数据 ，用移动平均法求出长期趋势 。第二步，将实际数值除以趋势值，得 ，以消除长期趋势的影响，只剩下季节变动与不规则变动。第三步，把 按
46、月（季）排列，取每年同月（季）的平均，消除不规则变动即为季节比率。第四步，加总季节比率，其总和应为 400%（或1200%）。如果不等，需要调整。iyTyiTyyiTyy 仍以表 5-13 为例，用移动平均趋势剔除法求季节比率。首先，根据五年的各季度资料，进行四项移动平均，求出长期趋势值 ,见表 5-17,再将实际数值除以趋势值即 ，剔除长期趋势影响,只剩下季节因素及不规则变动因素对数列的影响。把 按季排列后（见表 5-18）,可见剔除长期趋势影响后，各年同季的百分比之间差别不很大，取其简单平均数，即能消除不规则变动因素的影响。如第一季度季节比率为TyiTyyiTyy44.94%48.98%5
47、3.78%49.23%3其余类推。将各季季节比率求和：49.23%+74.94%+117.34%+147.38%=389.39%此和不等于 400%,需要调整。第一季度调整后季节比率400%第一季度原季节比率各季原季节比率之和49.23%400%50.57%389.39%其余类推。表表5-17 移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法 表表5-18 移动平均趋势剔除法季度比率计算移动平均趋势剔除法季度比率计算表表iyTyiTyy第四节第四节 循环变动的循环变动的测定测定 一、循环变动的概念一、循环变动的概念 循环变动是近乎规律性的从低至高的周而复始的变动。循环变动不同于长期趋势，它不是朝着单一方向
48、持续运动，而是涨落相间的交替波动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，且变动周期大多为一年以内，而循环变动则无固定规律，变动周期在一年以上，且周期长短不一。按周期长短不同，可将循环变动分为三种类型：(一一)大循环或长周期波动大循环或长周期波动 这种循环变动主要受重大技术突破或技术革命影响的结果，周期可长达50年左右。从西方工业革命以来，世界工业国家的经济已经历了三个大循环周期，现在正处于新一轮的技术革命时期。(二二)中循环或中周期波动中循环或中周期波动 如西方资本主义国家的周期性经济衰退便是最典型的中循环波动。上一世纪和本世纪初，这种周期波动一般为9-10年；二次大战以后，周期有逐渐
49、缩短的趋势。造成这种波动的社会原因是资本主义的生产相对过剩和固定资产的大规模更新。(三三)小循环或短周期波动小循环或短周期波动 周期一般为3-5年。造成这种短周期波动的原因主要是固定资产更新和周期性的技术变革。研究循环变动的目的主要有二个：第一，通过对社会现象循环变动的测定，可以了解其变化的规律；第二，研究不同现象之间循环变动的内在联系，了解掌握市场信息，为产业部门和销售部门制定决策提供必要的依据。二、循环变动的测定方法二、循环变动的测定方法（一）剩余法（一）剩余法 剩余法的基本思想是：从原时间序列中陆续或一次消除长期趋势和季节变动，剩下循环和不规则变动，然后再将结果进行移动平均，尽可能消去不
50、规则变动成分，其所余结果即为循环变动值。循环变动以指数形式表示。具体步骤如下：1.根据时间序列资料计算季节指数S，并用原数列除以S，求得一系列无季节变动资料。公式为：无季节性资料=2.计算长期趋势T，并以无季节变动资料除以T，以消除长期趋势，得到循环变动与不规则变动资料。公式为：循环变动与不规则波动资料=3.对循环变动与不规则变动资料进行移动平均(如采用3项移动平均等)，消除不规则变动，剩余结果便是循环变动指数。ICTSICSTICTICT【例5-19】已知某市近几年交通事故次数资料如表5-19。将循环变动指数C绘成曲线图如图5-2，便可看出该市 2010-2013交通事故次数经历由上升到下降
