1、第三章第三章 集中量数集中量数v9 9，1313，1010，8 8，9 9，1111，7 7，1212，1010，1313，1010，8 8v5555，5757，5252，5656，5555，5656，5959，5858，5151，5353，5454，5454v2525，2828，1212，-1-1，-10-10，3939，1010，1818，-7-7，-13-13，2222，-3-3数据分布的基本特征数据分布的基本特征集中趋势与离中趋势集中趋势与离中趋势v集中趋势集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中是指数据分布中大量数据向某方向集中的程度。的程度。集中趋势与离中趋势集中趋势与离中趋势v
2、集中趋势集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中是指数据分布中大量数据向某方向集中的程度。的程度。v离中趋势离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。是指数据分布中数据彼此分散的程度。v集中量数与差异量数集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和：描述一组数据集中趋势和离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及统计特征。统计特征。v测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值v集中量数集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平包括算术平均数、中数、众数、加权平均数、几何平均数、调和平均数等。均数、几何平均数、调
3、和平均数等。第一节第一节 算术平均数算术平均数一、算术平均数的定义 算术平均数，一般简称为平均数，或均数，或均值。一般用字母M或 表示。X第一节第一节 算术平均数算术平均数二、算术平均数的计算方法（一）未分组数据计算平均数 NXXNXXNii可简写为可简写为1第一节第一节 算术平均数算术平均数二、算术平均数的计算方法（二）用估计平均数计算算术平均数NxAMNAMXAMX)(AM为估计平均数为估计平均数N为数据个数为数据个数AMXxv 9 9，1313，1010，8 8，9 9，1111，7 7，1212，1010，1313，1010，8 8v 5555，5757，5252，5656，5555，
4、5656，5959，5858，5151，5353，5454，5454v 2525，2828，1212，-1-1，-10-10，3939，1010，1818，-7-7，-13-13，2222，-3 3NxAMNAMXAMX )(第一节第一节 算术平均数算术平均数二、算术平均数的计算方法（三）使用次数分布表计算平均数1.1.由次数分布表求平均数由次数分布表求平均数2.2.用估计平均数计算分组次数分布表平均数用估计平均数计算分组次数分布表平均数NfXXC iXdiNfdAMXAMC .第一节第一节 算术平均数算术平均数三、平均数的特点 各变量值与均值的离差之和等于零各变量值与均值的离差之和等于零3.
5、3.各变量值与均值的离差平方和最小各变量值与均值的离差平方和最小01NiiXXNiiXXN1最小2XX22)()(cxxxii4.4.所有的观测值都加上常数所有的观测值都加上常数C C，则平均值也增加，则平均值也增加常数常数C C5.5.所有观测值都乘以不等于所有观测值都乘以不等于0 0的常数的常数C C，则平均，则平均值也增大值也增大C C倍倍6.6.7.7.算术平均数是算术平均数是“真值真值”的渐进、最佳的估计的渐进、最佳的估计值值第一节第一节 算术平均数算术平均数CXCX 二、平均数的特点二、平均数的特点XCCX YXYX Xxii-X 推导：推导：设观测值与平均数的差为：设观测值与平均
6、数的差为：观测值与真值的差为：观测值与真值的差为：则：则：因为：因为：代入可得：代入可得：-Xdii n-Xdn-X ，XxXxnX0 ，-ndn-ndXX ，X0ndn故故，时时，当当平均数的优缺点（一）优点（一）优点1.反应灵敏2.计算严密3.计算简单4.简明易解5.适合于进一步代数运算6.较少受抽样变动的影响平均数的优缺点（二）缺点（二）缺点1.易受极端数据影响 修剪平均数：也称截尾平均数，是从一组数据中去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值数据后，再次计算的算术平均数。2.若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数小结小结 如果一组数据比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算，
7、同时还要作进一步代数运算时，这时就要用算术平均数表示其集中趋势。如果一组数据中出现两个极端的数目，或有一些数据不清楚，数据不同质时，就不宜使用算术平均数。在报告平均数时，要按特别指定的单位来表达。在书写平均数时，习惯上平均数保留的小数位数要比原来的测量数据多一位小数。计算和应用平均数的原则计算和应用平均数的原则同质性原则 同质数据：指使用同一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数据。平均数与个体数值相结合的原则平均数与标准差、方差相结合原则（即平均数的代表性受标准差和方差所影响）第二节第二节 中数和众数中数和众数一、中数一、中数（一）中数的意义和特点（一）中数的意义和
8、特点1.1.定义：定义：中数又称中点数，中位数，中值，是指中数又称中点数，中位数，中值，是指按顺序排列按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数。符号为在一起的一组数据中居于中间位置的数。符号为MdMd或或MdnMdn。2.2.特点：特点：受极端数目的影响较小受极端数目的影响较小 （二）中数的计算方法（二）中数的计算方法1.1.未分组数据求中数的方法未分组数据求中数的方法（1 1）一组数据中无重复数值的情况）一组数据中无重复数值的情况 先将数据排序，若数据个数为奇数时，则先将数据排序，若数据个数为奇数时，则 为为中数；若数据个数为偶数时，则中数；若数据个数为偶数时，则 为中为中数。数。求数列
9、求数列4 4，6 6，7 7，8 8，1212的中数。的中数。有有2 2，3 3，5 5，7 7，8 8，1010，1515，1919共共8 8个数，求其中数。个数，求其中数。21 NX 2122 NNXX（二）中数的计算方法（二）中数的计算方法（2）一组数据中有重复数值的情况当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。（二）中数的计算方法（二）中数的计算方法（2）一组数据中有重复数值的情况当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中数。11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 1
10、1 12 13 14 15 16 17 12 13 14 （二）中数的计算方法（二）中数的计算方法（2）一组数据中有重复数值的情况当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中数。（二）中数的计算方法（补充说明）（二）中数的计算方法（补充说明）个数为奇数（仅与第(N+1)/2这一个数值有关）：v 例1：2 2，2 2，2 2，5 5，6 6，6 6，7 7（无重复）（无重复）v 例2：2 2，3 3，5 5，5 5，5 5，6 6，7 7（对称重复）（对称重复）v 例3：2 2，2 2，2 2，5 5，5 5，6 6，7 7（不
11、对称重复）（不对称重复）个数为偶数（与第N/2和N/2+1两个数值有关）：v 例4：2 2，5 5，5 5，5 5，5 5，7 7（自身对称重复）（自身对称重复）v 例5：5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，7 7（自身不对称重复）（自身不对称重复）v 例6：2 2，5 5，5 5，6 6，8(8(6 6)，9 9（一个或两个有重复，连续）（一个或两个有重复，连续）v 例7：2 2，5 5，5 5，8 8，8 8(9)(9)，9 9（一个或两个有重复，不连续）（一个或两个有重复，不连续）看组中值看组中值看上下限看上下限（二）中数的计算方法（二）中数的计算方法（2 2）3.3.量数已分组求中
12、数的方法量数已分组求中数的方法 公式原理：公式原理：公式：公式：aabbFNfiMdFNfiMdLL22N为数据总数，为数据总数，i为组距，为组距，f为中数所在的分组区间的数据个数，为中数所在的分组区间的数据个数，Lb为为中数所在分组区间的精确下限，中数所在分组区间的精确下限，Fb为该组以下各组累加次数，为该组以下各组累加次数，La为中为中数所在分组区间的精确上限，数所在分组区间的精确上限，Fa该组以上各组累加次数。该组以上各组累加次数。利用公式求分组次数表中中数利用公式求分组次数表中中数 组限组限 次数次数自上而下自上而下累积次数累积次数自下而上自下而上累积次数累积次数 65 60 55 5
13、0 45 40 35 3 4 11 13 8 6 3 3 7 18 31 39 45 48 48 45 41 30 17 9 395218248135529521724813521.4.51.49.5 aabbFNfiLMdFNfiLMd中数的优缺点与应用中数的优缺点与应用v （1 1）当一组观测结果中出现两个极端数目时）当一组观测结果中出现两个极端数目时v （2 2）当次数分布的两端数据或个别数据不清）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时楚时,只能取中数作为集中趋势的代表值只能取中数作为集中趋势的代表值v （3 3）当需要快速估计一组数据的代表值时）当需要快速估计一组数据的代表值时,也也常
14、用中数常用中数（一）众数的意义和特点（一）众数的意义和特点 意义：指在一组量数中，出现频数最多的量数。意义：指在一组量数中，出现频数最多的量数。用符号用符号 表示。表示。特点：特点：（1 1）获取容易；）获取容易；（2 2）在一组量数中，众数可能不止一个；）在一组量数中，众数可能不止一个；（3 3）在次数分布中，观察次数最多的那个分组区间的组）在次数分布中，观察次数最多的那个分组区间的组中值为众数，因此众数受组距和组限的影响很大。中值为众数，因此众数受组距和组限的影响很大。二、众数二、众数 OM二、众数二、众数（二）众数的求法（二）众数的求法1.1.用观察法求众数用观察法求众数 例：求例：求2
15、 2，3 3，3 3，5 5，3 3，4 4，3 3，6 6这一组这一组数据的众数。数据的众数。2.2.用公式计算众数用公式计算众数 众数的应用众数的应用1.1.当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；2.2.当一组数据出现不同质的情况时；当一组数据出现不同质的情况时；3.3.当次数分布中有两极端的数目时，除了一般用中数外，当次数分布中有两极端的数目时，除了一般用中数外，有时也用众数；有时也用众数；4.4.当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数与众数当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数与众数之差，作为表示次数分布是否偏态的指标。之差，作为表示次
16、数分布是否偏态的指标。5.5.当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多时，即当一组数据中同时有两个数值的次数都比较多时，即次数分布中出现双众数时，也多用众数来表示数据次数分布中出现双众数时，也多用众数来表示数据分布形态。分布形态。平均数、中数与众数之间的关系平均数、中数与众数之间的关系2,3,5,6,7,10,10,14,15平均数、中数与众数之间的关系平均数、中数与众数之间的关系v 在偏态分布中，平均数永远位于尾端。在偏态分布中，平均数永远位于尾端。v 一般偏态情况下，中数离平均数较近，而距众数较远。一般偏态情况下，中数离平均数较近，而距众数较远。MMMdo23 第三节第三节 其他集中量数其
17、他集中量数一、加权平均数一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。nXniiTiX 由各小组平均数计算总平均数是应用加权平均数的一个特由各小组平均数计算总平均数是应用加权平均数的一个特例。例。kiikiiiWXW11n21nn2211WWWXWXWXWMWW为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。加权平均数加权平均数例例1：某小学三年级举行英语测验。甲班：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均名学生的平均分为分为72.6，乙班，乙班40名学生平均分为名学生平均分为80.2，丙班，丙班3
18、6名学生的名学生的平均分为平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。分。求全年级英语测验的总平均分数。321332211NNNxNxNxNxw加权平均数加权平均数例例2：某课题组在：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样个省区进行一项调查，各省区的取样人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。省区代码省区代码人数人数平均分数平均分数1 162762798982 226826860603 340040082824 467067096965 541141180806 631431465657 761061096968 85005008888合
19、计合计38003800665665二、几何平均数二、几何平均数（一）几何平均数的定义（一）几何平均数的定义NNXXXM21gNXantiMNXMNiiGNiiG11lglglglg二、几何平均数二、几何平均数（二）几何平均数的应用条件（二）几何平均数的应用条件一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态。呈偏态。在心理物理学的等距与等比量表实验中，只能用几何在心理物理学的等距与等比量表实验中，只能用几何平均数。平均数。主要用于计算平均增长率或平均进步率等。主要用于计算平均增长率或平均进步率等。几何平均数的计算（平均进步率）几何平均数的计算（
20、平均进步率）时间时间20192019201920192019201920192019成绩成绩6565757580808888比率比率计算计算15.1657507.175801.18088106.11.107.115.13GM106.16588311 NNGaaM某生阅读能力每周进步情况某生阅读能力每周进步情况测验次数测验次数第一次第一次第二次第二次第三次第三次第四次第四次第五次第五次阅读能力阅读能力分数分数3434525260.6760.6769.3369.3377.3377.33每次增进每次增进率的比率率的比率X X5294.134521667.15267.601427.167.6033.6
21、91154.133.6933.77412.141.171.153.1 GM43477.33 GM三、调和平均数三、调和平均数（一）调和平均数的意义（一）调和平均数的意义定义：又称倒数平均数。定义：又称倒数平均数。应用：主要应用于计算平均速度或速率应用：主要应用于计算平均速度或速率 情况一：任务量相同，所用时间不同情况一：任务量相同，所用时间不同 情况二：任务时间相同，工作量不同情况二：任务时间相同，工作量不同 无论哪种情况，都先求出单位时间的工作量，然后代入公式计算。)111(1121NHXXXNM两组学生演算速度（共两组学生演算速度（共1515道题）的比较道题）的比较组别学生所需时间速度（每
22、小时所做的题数）计算计算第第一一组组A AB BC CD D3.753.752.502.501.501.501.251.25第第二二组组E EF FG GH H2.502.502.502.501.501.501.501.50两组学生演算速度（共两组学生演算速度（共1515道题）的比较道题）的比较组别学生所需时间速度（每小时所做的题数）计算计算第第一一组组A AB BC CD D3.753.752.502.501.501.501.251.254 46 610101212第第二二组组E EF FG GH H2.502.502.502.501.501.501.501.506 66 610101010
23、)/(./(.小时小时题题小时）小时）题题5710110161614761211016141421 HHMMv学习实验中，6名被试在2小时的解题量依次为24题，20题，16题，12题，8题，4题。这6名被试平均每小时解多少道题？课堂练习课堂练习v 1.1.当变量数列中各变量值的频数相等时，该数当变量数列中各变量值的频数相等时，该数列列_。A.A.众数等于中位数众数等于中位数 B.B.众数等于均值众数等于均值C.C.无众数无众数D.D.众数等于最大的数值众数等于最大的数值 课堂练习课堂练习v 2.2.计算平均指标最常用的方法和基本形式是计算平均指标最常用的方法和基本形式是_。A.A.中位数中位数
24、 B.B.众数众数C.C.算术平均数算术平均数D.D.调和平均数调和平均数 课堂练习课堂练习v 3.3.计算平均发展速度的方法有计算平均发展速度的方法有_。A.A.算术平均数算术平均数 B.B.几何平均数几何平均数C.C.调和平均数调和平均数D.D.加权平均数加权平均数 课堂练习课堂练习v 4.4.计算学习速度常用的方法有计算学习速度常用的方法有_。A.A.算术平均数算术平均数 B.B.几何平均数几何平均数C.C.调和平均数调和平均数D.D.加权平均数加权平均数 课堂练习课堂练习v 5.5.负偏态分布中，算术平均数、中数和众数之负偏态分布中，算术平均数、中数和众数之间数值大小的关系为间数值大小
25、的关系为_。A.A.M MM Md d M Mo o B.B.M Md d M M M Mo o C.C.M Mo o M MM Md dD.D.M Mo o M Md d M M 课堂练习课堂练习v 6.6.数列数列11,12,12,11,13,13,13,17,17,1811,12,12,11,13,13,13,17,17,18和数和数列列23,25,25,26,26,26,2723,25,25,26,26,26,27的中数分别是的中数分别是_。A.12.66,25.33A.12.66,25.33 B.12.83,25.83B.12.83,25.83C.12.83,25.66C.12.83
26、,25.66D.12.5,26.33 D.12.5,26.33 课堂练习课堂练习v 7.7.数列数列65,48,63,52,61,53,63,70,6565,48,63,52,61,53,63,70,65的平均数的平均数和中数分别是和中数分别是_。A.60,62.75A.60,62.75 B.60,63.5B.60,63.5C.63,63.5C.63,63.5D.63,63 D.63,63 课堂练习课堂练习v 8.8.某职业学校某职业学校19901990年招生年招生300300名，随着国家对名，随着国家对职业教育的重视和学校办学规模的进一步扩大，职业教育的重视和学校办学规模的进一步扩大，200
27、02000年招生达年招生达800800名。该校这几年招生人数平均名。该校这几年招生人数平均年增长率是年增长率是_。A.70%A.70%B.17%B.17%C.12%C.12%D.10%D.10%课堂练习课堂练习v 9.9.下列表示算术平均数性质公式中错误的是下列表示算术平均数性质公式中错误的是_。AXXniinA)(C.10 B.n1iiXXXnXiin1 A.2n1_2n10)X(X)X(X D.iiii（X0为非为非 的任意值）的任意值）X（A为任意值）为任意值）课堂练习课堂练习v 10.10.对于下列数据，使用何种集中量数表示集对于下列数据，使用何种集中量数表示集中趋势其代表性更好？并计
28、算它们的值。中趋势其代表性更好？并计算它们的值。v（1 1）4 4，5 5，6 6，6 6，7 7，2929v（2 2）3 3，4 4，5 5，5 5，7 7，5 5v（3 3）2 2，3 3，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9 （1）因为出现极端数目，适合选择中数表示集中趋势）因为出现极端数目，适合选择中数表示集中趋势（2）使用众数计算更为快捷，出现最多的数值为）使用众数计算更为快捷，出现最多的数值为5（3）使用算术平均数）使用算术平均数v 11.11.求下列四个年级的总平均成绩求下列四个年级的总平均成绩年级年级一一二二三三四四平均成平均成绩绩90.590.5919192929494人数
29、人数23623631831821521520020091.72v 12.12.三个不同被试对某词的联想速度如下表，求平均联想速三个不同被试对某词的联想速度如下表，求平均联想速度。度。被试被试联想词数联想词数时间（分）时间（分）A A13132 2B B13133 3C C13132.52.55.2个个/分分v 13.13.下面是某校几年来毕业的人数，问平均增长率是多少？下面是某校几年来毕业的人数，问平均增长率是多少？并估计并估计1010年后的毕业人数是多少？年后的毕业人数是多少？年级年级1978197819791979198019801981198119821982198319831984198419851985毕业毕业人数人数542542601601750750760760810810930930105010501120112011%3180人人
