1、 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1正弦定理、余弦定理及相关知识正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理 内容 a2 ，b2 ，c2 b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2.在在ABC中中，已知已知a，b和和A时时，解的情况如下解的情况如下ABC中的常用结论中的常用结论A+B+C=A、B、C成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是B60；S=abABsin Asin B；【知识拓展知识拓展】111sinsinsin222abCbCAA CB在在ABC中，给定中，给定A、B的正弦或余弦值，则
2、的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解的正弦或余弦有解(即存在即存在)的的充要条件是充要条件是cosAcosB0.简证如下：简证如下：C有解有解(AB)有解有解0AB0ABcos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判断因此判断C是否有解，是否有解，只需考虑只需考虑cos Acos B的符号即可的符号即可(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin .(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边等边对等
3、角，等角对等边，大边对大角，大角对大边1(苏州市高三教学调研考试苏州市高三教学调研考试)在在ABC中，中，A，B，C对应的三边长为对应的三边长为a，b，c，若，若a2(bc)2bc，则，则A的大小等于的大小等于_ 解析：解析：根据余弦定理得根据余弦定理得cos A ，A 答案：答案：2(2019东台中学高三诊断东台中学高三诊断)若若ABC的三个内角的三个内角A、B、C所对边的长所对边的长分别为分别为a、b、c，向量，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若，若mn，则，则C等于等于_ 答案：答案：603在在ABC中，如果中，如果A60，c4，a2 ，则此三角形有则此三角形有_个解个解 解析：解
4、析：A60，c4，a2 ，由正弦定理得：由正弦定理得：，即，即 sin C1.又又0C0)，利用余弦定理，有利用余弦定理，有cos AA45.同理可得同理可得cos B ，B60.C180(AB)75.这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断【例【例2】在在ABC中，如果中，如果lg alg clg sin Blg ，且，且B为锐角，为锐角，试判断此三角形的形状试判断此三角形的形状思路点拨：思路点拨：先进行对数的运算，再将边
5、化角即可先进行对数的运算，再将边化角即可解：解：由由lg alg clg sin Blg ，得得sin B ，又又B为锐角为锐角，B45.同时同时 ，.sin C2sin A2sin(135C)，即即sin Csin Ccos C，cos C0，所以所以C90.故此三角形为等腰直角三角形故此三角形为等腰直角三角形变式变式2：在在ABC中，已知中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么，那么ABC的形状是的形状是_解析：解析：由由sin C2sin(BC)cos B，得，得sin C2sin Acos B.再结合正、余弦定理得：再结合正、余弦定理得：整理得整理得a2b2，所以，所以ABC
6、一定是等腰三角形也可由一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B，可得可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，从而，从而AB.答案：答案：等腰三角形等腰三角形1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化式有角的转化和边的转化2三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展
7、开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题子的化简问题【例【例3】在在ABC中，证明：中，证明：思路点拨：思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边左边的角转化为边证明：证明：左边左边 右边故原命题得证右边故原命题得证【例【例4】在在ABC中，中，a、b、c分别是分别是A、B、C的对边长已知的对边长已知a、b、c成等比数列，且成等比数列，且a2c2acbc，求，求A的大小及的大小及 的值的值思路点拨：思路点拨：把已知条件把已知条件a2c
8、2acbc变形，构造余弦定理结构求出变形，构造余弦定理结构求出A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值的值解：解：(1)a、b、c成等比数列成等比数列，b2ac，又又a2c2acbc，b2c2a2bc.在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos A ，A60.(2)在在ABC中，由正弦定理中，由正弦定理sin B ，b2ac，A60，变式变式3：(2019北京海淀区高考模拟题北京海淀区高考模拟题)在在ABC中中，a、b、c分别表示分别表示三个内角三个内角A、B、C的对边如果的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且且AB，求证求证：
9、ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：由已知得由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用两角和、差的三角函数公式可得利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B.又由正弦定理得又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb，2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即即sin 2Asin 2B.AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形是直角三角形【规律方法总结】【规律方法总结】1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据
10、所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换2用正弦用正弦(余弦余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等角与应用向量的模求三角形边长等3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用【高考真题高考真题】【例
11、例5】(2009天津卷天津卷)在在ABC中中，BC ，AC3，sin C2sin A.(1)求求AB的值的值；(2)求求sin 的值的值分析：分析：根据正弦定理求根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出的值，根据余弦定理求出A的余弦，根据倍角公的余弦，根据倍角公式求出式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式求求sin 的值的值解：解：由由 ，得得sin Aab，AB45，A为锐角或钝角为锐角或钝角，A60 或或A120.当当A60时时，C180604575，c当当A120时时，C1801204515，c2已知方程已知方程x2(bcos
12、A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且的两根之积等于两根之和，且a，b为为ABC的两边，的两边，A，B为为a，b的对角，试判断的对角，试判断ABC的形状的形状 分析：分析：要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断 解：解：设方程的两根为设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系，得由根与系数关系，得x1x2bcos A，x1x2acos B，由题意，得由题意，得bcos Aacos B，由正弦定理，由正弦定理，得得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，即即sin Bcos Asin Acos B0，即即sin(AB)0，在在ABC中中，A，B为其内角为其内角，AB，AB0，ABC为等腰三角形为等腰三角形
