1、 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例：有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球,2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球.某某人从中人从中随机取一罐随机取一罐，在从中，在从中任意取出一球任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？第第1章章 概率论基础概率论基础 定理定理1.2 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为 ,A1,A2,An为为E的的一组事件，且满足：一组事件，且满足：(1)A1,A2,An两两互不
2、相容，两两互不相容，i=1,2,n；(2)则对任一事件则对任一事件B，有，有 (1.7)(1.7)称为称为全概率公式全概率公式称满足称满足(1)和和(2)的的A1，A2，An为为完备事件组完备事件组或或样本空间的一个划分样本空间的一个划分 iniA1)()()(1iniiABPAPBP ,0)(iAP1A2A3A1 nAnA1.5.1 全概率公式全概率公式证明：证明：因为因为由于由于A1，A2，An两两互不相容，两两互不相容，由有限可加性由有限可加性由假设及乘法公式得到由假设及乘法公式得到 利用全概率公式求事件利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完的概率，关键是寻求完备事件组备事件组A1，
3、A2，An;寻求完备事件组寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事相当于找导致事件件B发生的所有互不相容的事件发生的所有互不相容的事件 BB )()(1iniBAPBP ).()()()(11iniiniiABPAPBAPBP )(1iniAB )(1iniBA niiBAP1)(1.5.1 全概率公式全概率公式 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球,2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球.某人从中随机取一某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=取到
4、的是取到的是 i 号罐号罐 i=1,2,3;B=取得红球取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生，发生，A1,A2,A3构成完备事件组构成完备事件组代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)0.639.31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得123再看引例再看引例 依题意依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1 全概率公式全概率公式【例【例1.15】假设有假设有3箱同种型号零件，里面分别装有箱同种型号零件，里面分别装有50件、件、30件、件、40件，而且一等品分别
5、有件，而且一等品分别有20件、件、12件件和和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率两次取出的零件均为一等品的概率 解解:设设Ai=“任取的一箱为第任取的一箱为第i箱零件箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”，j=1，2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件组，构成完备事件组，且且31)()()(321 APAPAP1.5.1 全概率公式全概率公式 (1)由全概率公式得由全概率公
6、式得 )|(11ABP)|(21ABP6.04024)()()(1311iiiABPAPBP ,4.05020 4.03012 )|(31ABP.467.0)6.04.04.0(31 1.5.1 全概率公式全概率公式 (2)因为因为由全概率公式得由全概率公式得)|(121ABBP)|(221ABBP)|(321ABBP22.0)3538.01517.01551.0(31 1551.0250220 CC1517.0230212 CC3538.0240224 CC)()()(213121iiiABBPAPBBP 1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一
7、罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是“已知结果求已知结果求原因原因”的问题是求一的问题是求一个条件概率个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式1.5.1 全概率公式全概率公式 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理1.3 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为 ，B为为E的事件，的事件，A1，A2，An为完备事件组，且为完备事件组，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，n，则，则 (1.8)(1.8)式称为式称为贝叶斯公式贝叶斯公式
8、 niABPAPABPAPBAPiniiiii,2,1,)()()()()(1 niABPAPABPAPBAPiniiiii,2,1,)()()()()(1 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式证明证明)()()(BPBAPABPii,)()()()(1 njjjiiAPABPAPABP.,2,1ni 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原发生的每个原因的概率因的概率.由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全概率公式全概率公式知：知：1.5.
9、2 贝叶斯公式贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例 解解 记记 i=取到第取到第 i 号罐号罐 i=1,2,3;=取得红球取得红球 1,2,3是完备事件组是完备事件组 31111)|()()()|()|(iiiABPAPAPABPBAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得代入数据计算得：代入数据计算得：213其中其中P(|1)=2/3,P(|2)=3/4,P(|3)=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,3348.0)|(1 BAP1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式特别有：特别有：设事
10、件设事件A、B为试验为试验E的两事件，由于的两事件，由于A和和是一个完备事件组，若是一个完备事件组，若P(A)0，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为，贝叶斯公式的一种常用简单形式为A0)(AP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式【例【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱只，假设各箱含含0，1，2只残次品的概率分别是只残次品的概率分别是0.8，0.1和和0.1，某，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，
11、则一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率概率 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解解：设设B=“顾客买下该箱玻璃杯顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有抽到的一箱中有i件残次品件残次品”，i=0,1,2(1)事件事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有箱中没有残次品、有1件残次品或有件残次品或有2件次品。件次品。显然显然A0，A1，A2是完备事
12、件组是完备事件组由题意知由题意知由全概率公式得由全概率公式得1.0)(,1.0)(,8.0)(210 APAPAP)(0ABP)(BP ,1420420 CC)(1ABP,54420419 CC)(2ABP1912420418 CC94.0)()()()()()(221100 ABPAPABPAPABPAP1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 (2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(0BAP)()()(00BPABPAP85.094.018.0 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概
13、率为有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人群对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？率为多少？1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式解解:设设A=“某人确有肝炎某人确有肝炎”，B=“某人做此试验结果为阳性某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有由已知条件有从而从而由贝叶斯公式，有由贝叶斯公式，有95.0)(ABP,95.0)(ABP005.0)(AP995.0)(
14、1)(APAP05.0)(1)(ABPABP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 087.005.0995.095.0005.095.0005.0 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式本题的结果表明，虽然本题的结果表明，虽然 这两个概率都很高但是，即试验这两个概率都很高但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这如果不注意这一点，将一点，将 和和 搞混，将会得出错误搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果诊断，造成不良的后果 ,95.0)(ABP95.0)(ABP)(ABP)(BAP1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，事件
15、在贝叶斯公式中，事件Ai的概率的概率P(Ai)，i=1，2，n，通常是人们在试验之前对，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习的认知，习惯上称其为惯上称其为先验概率先验概率若试验后事件若试验后事件B发生了，在发生了，在这种信息下考察这种信息下考察Ai的概率的概率 它反映了导致它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常发生的各种原因的可能性大小，常称为称为后验概率后验概率niBAPi,.,2,1),|(1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯公式是英国哲学家贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于于1763首先提出首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已的，经过多年的发展和完善，由这一公式
16、的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用白质结构等很多方面都有应用Thomas BayesBorn:1702 in London,EnglandDied:17 Apr.1761 in Tunbridge Wells,Kent,England1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式课堂练习课堂练习 有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为次品经检验被认为是次品的概率为0.990.99，而一只，而一只正品经检验被认为是次品的概率正品经检验被认为是次品的概率0.0050.005，已知产品，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，求它求它确确为次品的概率为次品的概率解解 品品产产品品经经检检验验被被认认为为是是次次设设 A 产品确为次品产品确为次品 B由贝叶斯公式，所求概率为由贝叶斯公式，所求概率为,04.0)(BP,96.0)(BP,.0)|(BAP,005.0)|(BAP由题设知由题设知)|(ABP .)()|()()|()()|(BPBAPBPBAPBPBAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式
