1、1工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论第第 10 章章 应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论10-1 概概 述述10-2 平面应力状态分析平面应力状态分析10-3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆10-4 平面应力状态下的虎克定律平面应力状态下的虎克定律10-5 强度理论及其应用强度理论及其应用2工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论1.应力状态的概念应力状态的概念2.平面应力状态分析平面应力状态分析3.平面应力状态下的胡克定律平面应力状态下的胡克定律4.三向应力状态三向应力状态5.强度理论及其应用强
2、度理论及其应用3工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 应力状态应力状态：过一点各方向截面上的应力的集合叫做一点的应过一点各方向截面上的应力的集合叫做一点的应力状态。力状态。应力状态分析应力状态分析：分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律。分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律。应力状态分析的目的应力状态分析的目的：为强度分析计算打基础。了解强度破坏的力学因为强度分析计算打基础。了解强度破坏的力学因素。素。10-1 概概 述述1.应力状态的概念应力状态的概念4工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论FFFFTT 通过
3、杆内任意一点所作各个截面上的应力随通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着截面的方位而改变。着截面的方位而改变。轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析5工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论2/,45 ,02/)2(sin,cosmax0max02 时时时时APAF/N cos/cos/APAPp6工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 受扭杆件受扭杆件 TTy a bcdenx(a)detnxc(b)类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个截面上的
4、应力也随着截面的方位而改变。上的应力也随着截面的方位而改变。7工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论12344545 maxmin,45,145Y,0X,0 根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料破坏的力学因素，并建立强度条件。坏的力学因素，并建立强度条件。8工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论铸铁轴向拉伸：铸铁轴向拉伸：沿横截面拉断破坏，断沿横截面拉断破坏，断口平齐。口平齐。铸铁轴向压缩：铸铁轴向压缩：沿斜截面剪断破坏。沿斜截面剪断破坏。低碳钢轴向拉伸时，沿低碳钢轴向拉伸
5、时，沿45 斜截面滑移而产生屈服斜截面滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。流动。断口有颈缩现象。回顾单向应力状态的情况回顾单向应力状态的情况9工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论低碳钢扭转：低碳钢扭转：沿横截面剪断破坏。沿横截面剪断破坏。铸铁扭转：铸铁扭转：沿斜截面拉断破坏。沿斜截面拉断破坏。TTmax断裂线断裂线min铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45 方向拉伸方向拉伸引起的断裂。引起的断裂。10工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时，在但对于
6、一般的情况，例如梁在横力弯曲时，在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力，作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩）时材料的容许应力加以比较来建立强度条件。时材料的容许应力加以比较来建立强度条件。对于自由扭转的构件，其材料处于纯剪切应力对于自由扭
7、转的构件，其材料处于纯剪切应力状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪切时状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪切时材料的容许应力加以比较来建立强度条件。材料的容许应力加以比较来建立强度条件。11工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。问题，就需要全面的研究
8、一点处的应力状态。2.应力状态分析的方法应力状态分析的方法 单元体单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。：一点处取出的边长无限小的正立方体。应力特点应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的剪布。平行面上的应力相等。相邻垂直面上的剪应力根据切应力互等定理确定。应力根据切应力互等定理确定。取研究对象取研究对象 截开并考察平衡截开并考察平衡 讨论结果讨论结果12工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论ITTTXXXY F F xFSMbIQSZZXyIMZXX13工程力学电子教案工程力学电子
9、教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论XXXYYXYY10-2 平面应力状态分析平面应力状态分析1.求斜截面上的应力求斜截面上的应力XXYXXYYYxydAxXXYYntyp 平面应力状态平面应力状态 yyxxyyxx14工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论0sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(d0 AAAAAnyyxxXXYXXYYYxydAxXXYYntyp0cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(d0 AAAAAtyyxx15工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和
10、强度理论应力状态理论和强度理论)12(2sin2cos22 xyxyx)22(2cos2sin2 xyx2222()()(2 3)22xyxyxXXYXXYYYxyAdxXXYYntyp16工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 0,2 yx应力圆圆心：应力圆圆心：222xyx 半径：半径：2.作应力圆作应力圆XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A21202O应力圆方程：应力圆方程：2222()()22xyxyxXXYXXYYYxy17工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论作应力圆：作应力圆：(2)注意应力的符号
11、，特别是剪应力注意应力的符号，特别是剪应力求斜截面上的应力：求斜截面上的应力：(1)找准起始点找准起始点(2)角度的旋转以角度的旋转以C为圆心为圆心(3)旋转方向相同旋转方向相同(4)2倍角的关系倍角的关系(5)应力的符号应力的符号(1)注意截面的选取注意截面的选取(1)点与面对应。点与面对应。(2)倍角与角对应。倍角与角对应。应力圆与单元体的对应关系：应力圆与单元体的对应关系：18工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论角度的取值范围和对应关系：角度的取值范围和对应关系：xyxODxDyCD2219工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力
12、状态理论和强度理论3.主应力与主平面主应力与主平面 单元体内切应力为零的截面称为主平面，单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力主平面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值，称为主应力。的极值，称为主应力。可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个相互垂直的主平面和三个相应的主应力。相互垂直的主平面和三个相应的主应力。XXXYYXYYXX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O20工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论222221)2(2)2(2xyxyxxyxyx y
13、xxyxx 2arctg22/)()2tg(0003 平面应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。平面应力状态为有两个主应力不等于零的应力状态。XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O21工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论xyx121 2yxxyxx2tanarc22/)()2(ant00XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O22工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？(a)(b)MPa100MPa
14、100MPa100(c)MPa25MPa75MPa325思考题思考题 10123工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论思考题思考题10-1参考答案：参考答案：单向应力状态单向应力状态平面应力状态平面应力状态单向应力状态单向应力状态(a)(b)MPa100MPa100MPa100(c)MPa25MPa75MPa325222221)2(2)2(2xyxyxxyxyx 24工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论根据图示应力圆是否可知，对于图根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单元体，示的单元体，(1)垂直于垂直于 x y
15、平面的截面上之最大平面的截面上之最大切切应力其值为应力其值为 max=(1-2)/2，作用在自，作用在自 1作用截面逆时针旋转作用截面逆时针旋转45的面上；（的面上；（2）该截面上还有正应力，其值为）该截面上还有正应力，其值为(1-2)/2。思考题思考题 10-2xyx12XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O25工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意截求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意截面上的应力。面上的应力。思考题思考题 10-3221232)12(2sin2cos22 xyxyx)22(
16、2cos2sin2 xyx26工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论平面应力状态的应力圆平面应力状态的应力圆 1 2 3123=0132=0231=0平面应力状态平面应力状态27工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论3=-1=2=0单向应单向应力状态力状态1=2=03=-平面应平面应力状态力状态2=3=01=28工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(1)一点的应力随截面方位的改变而变化。一点的应力随截面方位的改变而变化。4.小结：小结：2sin2cos22xyxyx 2cos2s
17、in2xyx (2)切应力极值：切应力极值：2)2(1222 xyxyyxxyyxxXX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O29工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(4)主平面主平面主应力主应力主方向主方向,321 zyx 22tg0(3)正应力极值：正应力极值：22)2(2xyxyx 1 2XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O30工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(1)基本概念，描述方法及其分类基本概念，描述方法及其分类(回顾）回顾）5.点的应力状态分析点的应力状态分析描述方
18、法：单元体法三个方描述方法：单元体法三个方向均为无穷小的立方体向均为无穷小的立方体特点：特点：每个面上应力均匀分布相互每个面上应力均匀分布相互平行的一对面上应力相等，平行的一对面上应力相等，且等于杆件相应截面上该点且等于杆件相应截面上该点的应力。的应力。应力符号规定：应力符号规定：31工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论主平面主平面(principal plane of stress)切应力等于零的面。切应力等于零的面。(2)点的应力状态分类：点的应力状态分类：正应力正应力拉为正，压为负拉为正，压为负 切应力切应力从坐标轴正从坐标轴正向看，绕单元体内任意
19、点顺时针转时为正，反向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，反之为负。之为负。主应力主应力(principal stress)即主平面上的正应力。对任一点必存在三即主平面上的正应力。对任一点必存在三个个 相互垂直的主平面及相应的主应力，相互垂直的主平面及相应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。约定三个主应力按代数值大小排序。32工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(b)平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态有两个主应力不为零。有两个主应力不为零。(c)空间（三向）应力状态空间（三向）应力状态三个主应力均不为零三个主应力均不为零。(a)单向应力状态（
20、单向应力状态（uniaxial stress)只有一个主应力不为零。只有一个主应力不为零。分类分类33工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论6.平面（二向）应力状态分析平面（二向）应力状态分析已知已知:单元体各面应力单元体各面应力大小求任一大小求任一斜截面上斜截面上的应力由平衡方程。的应力由平衡方程。(1)XXYXXYYYxydAxXXYYntyp 2cos2sin22sin2cos22 00 xyxxyxyxtnFF 得得34工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(2)求最大、最小正应力及其方位求最大、最小正应力及其
21、方位主应力及主方向主应力及主方向另一主应力为零。另一主应力为零。22000)2(22)2arctg(21)2arctg(21)/(22tgmaxmin xyyxyxyxxyyxxyyxxy 得得00 令令XX,YY,2,0,2YX222xyxA1A22102O35工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论(4)例题：纯剪切应力状态，求主应力及主方向。例题：纯剪切应力状态，求主应力及主方向。.,0 ,:45 ,45 2 tan ,0 :321000minmax主应力状态为解得由解得已知xyyx 22000)2(22)2arctg(21)2arctg(21)/(2
22、2tgmaxmin xyyxyxyxxyyxxyyxxy 36工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论1=2=03=-maxmin0000123:0,45,45:,0,.xyxy已 知解 得主 应 力 状 态 为(5)常见的二向应力状态常见的二向应力状态 22)2(2 ,0 ,:maxmin 代入公式求得代入公式求得已知已知xyyx37工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论10-3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 1 2 3123=0132=0231=0平面应力状态平面应力状态38工程力学电子教案工程力学电子教
23、案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论3=-1=2=0单向应单向应力状态力状态1=2=03=-平面应平面应力状态力状态2=3=01=39工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 可以证明，代表不平可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应在三个以主应力作出的应力圆之间。力圆之间。应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为零而单元体处于三向应力状态
24、，因为平行不为零而单元体处于三向应力状态，因为平行于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力状态绘出的通过表示主应力而按平面应力状态绘出的通过表示主应力 1、2的点的点A1 A2之应力圆，仍然表示那组截面上的之应力圆，仍然表示那组截面上的应力情况，即代表平行于该主应力的诸截面上应力情况，即代表平行于该主应力的诸截面上应力的情况。应力的情况。A1A2 A3O132max1304540工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论132132132132三向应力状态三向应力状态 A1A2 A3O41工程力学电子教案
25、工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论132max13045三向应力状态三向应力状态A1A2A3231maxO42工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论10-4 平面应力状态下的胡克定律平面应力状态下的胡克定律 各向同性材料在平面应力状态下，当变形微各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与剪小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与剪应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪
26、切应力状态的叠加。切应力状态的叠加。yyyyxxyyxxxxxyyx43工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论EEyxx EExyy )(yxzE Gxxy yyxxyyxxEyEyEyyyExExExxx000 xyyx44工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论平面应力状态下的胡克定律：平面应力状态下的胡克定律：)(1)(122xyyyxxEE xxyxyxzG 0 xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEG )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEG )1(2 zxzxzxEG )1(2 三向应力状态下的胡克定
27、律45工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 已知已知|ea|+|eb|=400 10-6，E=200 GPa,=0.25，D=120 mm,d=80 mm，求求T。TT13545aabb=解：解：16)1(43p DWWTPEEEa)1()(1 )(14545 例题例题 10146工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论EEEb)1()(1 )(14545 Ea)1(=TT13545aabb6610400)1(210400)1(2 EE 例题例题 10147工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态
28、理论和强度理论mkN 71.811020010400)1(2p66 EWTEWTP16)1(43pp DWWT=TT13545aabb例题例题 10148工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论 2cos2sin22sin2cos22 00 xyxxyxyxtnFF 得得dAxXXYYntyp平面应力状态下由测点处的线应变求应力平面应力状态下由测点处的线应变求应力49工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论xy4545根据胡克定律：根据胡克定律：)(1)(122xyyyxxEE x4545-45)(1454545 Exyx
29、xyx 224545平面应力状态下由测点处的线应变求应力平面应力状态下由测点处的线应变求应力50工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论)2(1)2(113545yxxyxxEE )(1454545 E一般地说，要确定一点处的平一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之该点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这方向的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。两个主应力方向的线应变。xxyx4545-4551工程力学电子教案工程力学电子
30、教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论10-5 强度理论及其应用强度理论及其应用1321 1强度极限可强度极限可以通过试验以通过试验来测定。来测定。强度极限无法通过试验来测定，强度极限无法通过试验来测定，需要分析材料发生强度破坏的需要分析材料发生强度破坏的力学因素，以推断在复杂应力力学因素，以推断在复杂应力状态下的强度。状态下的强度。研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常称之为称之为强度理论强度理论。52工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论1FF(1)脆性破坏：没有明显的塑性变形例如铸铁在脆性破坏：没有
31、明显的塑性变形例如铸铁在室温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。室温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。1.两种破坏形式：两种破坏形式：(2)塑性破坏：有明显的塑性变形，例如低碳钢塑性破坏：有明显的塑性变形，例如低碳钢在室温、静载下受单向拉（压）及三向压缩时发在室温、静载下受单向拉（压）及三向压缩时发生屈服，断口有颈缩。生屈服，断口有颈缩。53工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论2.四个基本的强度理论四个基本的强度理论(1)关于脆性断裂的强度理论关于脆性断裂的强度理论(a)最大拉应力理论最大拉应力理论破坏条件：破坏条件：1=u,b强度条件：强度条件：1 适用范围
32、适用范围:()脆性材料在脆性材料在单向拉伸单向拉伸和和纯纯剪剪应力状态下发生的破坏应力状态下发生的破坏 ()铸铁在双向受拉和一拉一铸铁在双向受拉和一拉一压的平面应力状态下压的平面应力状态下TTmax断裂线min54工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论适用范围适用范围：()石料等脆性材料在单向压缩石料等脆性材料在单向压缩状态下发生的破坏。状态下发生的破坏。()铸铁一拉一压的平面应力状铸铁一拉一压的平面应力状态下偏于安全。态下偏于安全。(b)最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论破坏条件：破坏条件：1=u,b，EEbu,321)(1 强度条件：强度条件：)(3
33、21 yxyx55工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论强度条件：强度条件：1-3 适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。的塑性材料。（2）关于塑性屈服的强度理论）关于塑性屈服的强度理论(c)最大切应力理论最大切应力理论破坏条件：破坏条件：max=u,s，22s31 破坏条件一：破坏条件一：u ud=u ud,u(d)形状改变比能理论形状改变比能理论56工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论强度条件：强度条件：适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。材料。)()()(21213232221)2(61)()()(612213232221sEE 破坏条件二：破坏条件二：57工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论3.强度理论的应用强度理论的应用(1)按第三强度理论：按第三强度理论：22*34(2)按第四强度理论：按第四强度理论：22*43对图示平面应力状态，试证明。对图示平面应力状态，试证明。58工程力学电子教案工程力学电子教案应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论
