1、 西南大学附中西南大学附中 20202021 学年度上期期末考试学年度上期期末考试 高一数学试题高一数学试题 （满分：（满分：150分，考试时间：分，考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时用回答选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用 0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回（
2、试题卷自己保管好，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1.7cos6的值为 A.12 B.12 C.32 D.32 2.已知扇形的圆心角为60，面积为6，则该扇形的半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知命题:Npn，225nn+，则 p 的否定为（）A.,nN 225nn+B.nN，225nn+C.Nn，225nn+D.Nn，225nn+4.关于四个数2
3、2，0.6log2，0(ln6)，ln6的大小，下面结论正确的是（）A.200.62log2(ln6)ln6 B.200.6log22(ln6)ln6 C.200.6log22ln6(ln6)D.020.6log2(ln6)2ln6 5.33tan151tan15+的值为（）A.33 B.1 C.3 D.2 6.()2sintanf xxx=在22x，的图象大致是（）A.B.C.D.7.函数2()lg(28)f xxx=的单调递增区间是（）A.(2)，B.(1)，C.(1)+，D.(4)+，8.若costan1()sintan1xxf xxx=，则()f x的值域为（）A.2222，B.222
4、2，C.1 1，D.220022，二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.下列式子中，能使11ab成立的充分条件有（）A.0ab B.0ba C.0ba D.0ba恒成立，则（）A.3 的一个周期 B.(29)2f=C.()f x在8 10,上是减函数 D.方程()20f x+=在(7,7)上有 4 个实根 三、填空题（本大题共
5、三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上）13.已知集合|2Axx=（1）求 AB；（2）已知22210Cx xmxm=+，若xC是xB的充分不必要条件，求实数m的取值范围 19.已知锐角与钝角，2 5sin5=，2sin10=（1）求()cos的值；（2）求2的值 20.已知函数()3sin2cos2f xxx=，,3 4x （1）求函数()f x的周期和值域；（2）设()3ag xxx=+，若对任意的1(0)x+，及任意的2,3 4x ，都有不等式12()()g xf x恒成立，求实数a的取值范围 21.
6、已知函数4()log(41)xf xkx=+为 R 上的偶函数（1）求实数 k 的值；（2）若方程4()log0f xa=在 1 1x ，恰有两个不同实根，求实数 a 的取值范围 22.已知2()2sin()142xf x=+（1）求()(2)3g xfx=的递增区间；（2）是否存在实数k，使得不等式(2)(4)()(4)()32fxkf xkf x+，则 p 的否定为（）A.,nN 225nn+B.nN，225nn+C.Nn，225nn+D.Nn，225nn+【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定规则判断.【详解】p 的否定为:nN，225nn+.所以 B 正确，A、C、D 错误.故选
7、:B【点睛】此题考查全称命题与存在性命题的否定，属于基础题.4.关于四个数22，0.6log2，0(ln6)，ln6的大小，下面结论正确的是（）A.200.62log2(ln6)ln6 B.200.6log22(ln6)ln6 C.200.6log22ln6(ln6)D.020.6log2(ln6)2ln6【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出每个数的范围即可比较大小.【详解】2124=，0.60.6log2log10=，200.6log22(ln6)ln6，所以可排除 B，只有 A 选项图象满足题意，故选：A 7.函数2()lg(28)f xxx=的单调递增区间是（）A
8、.(2)，B.(1)，C.(1)+，D.(4)+，【答案】D【解析】【分析】求出函数()f x的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x的单调递减区间.【详解】对于函数()()2lg28f xxx=，2280 xx，解得2x，所以，函数()()2lg28f xxx=的定义域为()(),24,+.内层函数228uxx=在区间(),2 上单调递减，在区间()4,+上单调递增，外层函数lgyu=为增函数，因此，函数()()2lg28f xxx=的单调递增区间为(4)+，.故选：D.【点睛】方法点睛：形如()()yf g x=的函数为()yg x=,()yf x=的复合函数，()yg x=为内层函数
9、,()yf x=为外层函数.当内层函数()yg x=单增，外层函数()yf x=单增时，函数()()yf g x=也单增；当内层函数()yg x=单增，外层函数()yf x=单减时，函数()()yf g x=也单减；当内层函数()yg x=单减，外层函数()yf x=单增时，函数()()yf g x=也单减；当内层函数()yg x=单减，外层函数()yf x=单减时，函数()()yf g x=也单增.简称为“同增异减”.8.若costan1()sintan1xxf xxx=，则()f x的值域为（）A.2222，B.2222，C.1 1，D.220022，【答案】B【解析】【分析】作出函数si
10、n,cosyx yx=的图象，结合正弦、余弦函数图象与性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数sin,cosyx yx=的图象，如图所示，当tan1x 时，可得(,),2442xkkkkkZ+，则22cos,0)(0,22x；当tan1x 时，可得(,),44xkkkZ+，则22sin(,)22x，所以函数()f x的值域为2222，.故选：B.二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题是符合题目要求的，全部选对得目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选
11、对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.下列式子中，能使11ab成立的充分条件有（）A.0ab B.0ba C.0ba D.0ba【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式性质，逐个判断即可得解.【详解】对 A，因为0ab，所以110ab，故 A 正确，对 B，0ba，根据不等式的性质可得：11ab，故 B 正确 对 C，由于 0ba，所以 110ba，故 C 错误，对 D，由于 0ba，根据不等式的性质可得：11ab，根 D 正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.10.设集合2|8150,|10Ax xxBx ax=+=，若AB
12、B=，则实数 a 的值可以为（）A.15 B.0 C.3 D.13【答案】ABD【解析】【分析】先求出集 A，B，再由ABB=得BA，然后分B=和B 两种情况求解即可【详解】解：3,5,|1=ABx ax，ABB=，BA，B=时，0a=；B 时，13a=或15a=，13a=或15.综上0a=，或13a=，或15a=故选：ABD.11.关于函数()sin|sin|f xxx=+，下列叙述正确的是（）A.()f x是偶函数 B.()f x在区间,2单调递增 C.()f x的最大值为 2 D.()f x在,有 4 个零点【答案】AC【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、最值，零点等概念结合正弦函
13、数性质判断各选项【详解】()sinsin()sinsin()fxxxxxf x=+=+=，()f x是偶函数，A正确；,2x时，()sinsin2sinf xxxx=+=，单调递减，B错误；()sinsin1 12f xxx=+=，且()22f=，因此 C 正确；在,上，0 x，0 x，()f x的零点只有,0,共三个，D错 故选：AC 12.已知函数()f x是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x 都有(3)()f xf x+=，且(5)2f=，对任意的1x，20,3x，且12xx时，1212()()0f xf xxx恒成立，则（）A.3 的一个周期 B.(29)2f=C.()f x在8 1
14、0,上是减函数 D.方程()20f x+=在(7,7)上有 4 个实根【答案】BD【解析】【分析】由()()3f xf x+=，得到()()6f xf x+=，可判定 A 不正确；根函数的周期性和(5)f的值，可判定 B 正确；根据函数的单调性和奇偶性、周期性，可判定 C 不正确；根据题意求得()()152ff=，进而求得方程()20f x+=的根，可判定 D 正确，即可求解.【详解】由()()3f xf x+=，可得()()6f xf x+=，所以函数()f x是周期为 6 的周期函数，所以 A 不正确；因为(5)2f=，可得(29)(4 65)(5)2fff=+=，所以 B 正确；因为对任
15、意的12,03x x，且12xx时，1212()()0f xf xxx恒成立，所以函数()f x在0,3上为单调递增函数，又由函数()f x为偶函数，所以3 0，上为单调递减函数，所以函数在6,9上单调递增，在区间9 12，上单调递减，所以函数()f x在区间8 10,先增后减，所以 C 不正确；由(5)2f=，可得(16)2f +=，所以()()12,52ff=，可得在区间(7,7)内，方程()20f x+=，可得()2f x=的实根为1,5xx=，故 D 正确.故选：BD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解
16、决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和 单调性求解.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把分把答案填在题中的横线上）答案填在题中的横线上）13.已知集合|2Axx=，20 1 2B=，则AB=_【答案】0,1【解析】【分析】求出集合A，再利用集合的交运算即可求解.【详解】|222Ax xxx=，解得 0,1,2m=，当0m=时，2233mm+=，此时()3f xx=为奇函数，不满足题意；当 1m=时，2234mm+=，此时()4f xx=为偶函数；当2m=时，2233mm+=，此时(
17、)3f xx=为奇函数，不满足题意，综上所述，1m=考点：幂函数的图象与性质 15.设为锐角，若3cos()65+=，则sin2的值为_【答案】24+7 350【解析】【分析】由条件求得sin6+的值，利用二倍角公式求得sin 23+和cos 23+的值，再根据sin2sin233=+，利用两角差的正弦公式计算求得结果 【详解】为锐角，3cos()65+=，4sin65+=，24sin 22sincos36625+=+=，27cos 22cos13625+=+=故sin2sin233=+sin 2coscos 2sin3333=+24 173247 325 225250+=+=故答案为：24+
18、7 350.【点睛】要善于根据题目条件凑角，再运用三角恒等变换公式.16.已知函数4sin()0 2()1(2)(2)2xxf xf xx=+，则方程1()02f xx=的根的个数为 _【答案】4【解析】【分析】作出函数()f x的大致图象，根据()yf x=与12yx=的图象交点个数即可得出结果.【详解】方程1()02f xx=的根的个数，即函数()yf x=与函数12yx=的图象交点个数，在同一坐标系中作出两个的图象，如下：由图象可知，方程1()02f xx=的根的个数为 4.故答案为：4 四、解答题解答题（本大题共四、解答题解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的
19、文字说明、证明过程或演分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）算步骤）17.已知是三角形的一个内角，5sincos5+=（1）求sincos的值；（2）求sin()2sin()2sincos(2)+的值【答案】（1）3 5sincos5=；（2）0.【解析】【分析】（1）将5sincos5+=平方可得2sincos=5，再将sincos平方即可求解.（2）法一：由（1）求出52 5cos,sin55=，从而可得tan2=，利用诱导公式以及齐次式可求解；法二：利用诱导公式将52 5cos,sin55=代入直接求解即可.【详解】（1）由5sincos5+=，则21(sincos)12sin
20、cos5+=+=，所以2sincos=5，则29(sincos)12sincos5=，所以3 5sincos5=.又因为2sincos=05，则cos0 （1）求 AB；（2）已知22210Cx xmxm=+，若xC是xB的充分不必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）3ABx x=；（2）5m.【解析】【分析】（1）先化简A与B集合，再计算并集即可；（2）化简11Cx mxm=+，又因为xC是xB的充分不必要条件，则14m 即可得出结果.【详解】（1）由41242x得36x 则36Axx=，由3log(12)2x+得4x 则4Bx x=，所以3ABx x=；（2）11Cx mxm=+，因为
21、xC是xB的充分不必要条件 所以C是B的真子集，所以14m，即5m 19.已知锐角与钝角，2 5sin5=，2sin10=（1）求()cos的值；（2）求2的值【答案】（1）1010；（2）4【解析】【分析】（1）根据，的范围结合平方关系，可得cos,cos，然后使用两角差的余弦公式可得结果.（2）根据（1）可得()()2,0，依据2=+，使用两角和的余弦公式，计算()cos 2，最后可得结果.【详解】（1）由题可知：0,22 且2 5sin5=，2sin10=所以57 2cos,cos510=所以()coscoscossinsin=+()57 22 5210cos51051010=+=（2）
22、由0,22，则,0 又由（1）可知，()10cos10=，所以,2 所以()3 10sin10=则2=+，所以()()2,0 所以()()()cos 2coscossinsin=所以()5102 53 102cos 25105102=所以24=【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式以及平方关系，关键在于角度的范围以及对公式的记忆，考验计算能力，属中档题.20.已知函数()3sin2cos2f xxx=，,3 4x （1）求函数()f x的周期和值域；（2）设()3ag xxx=+，若对任意的1(0)x+，及任意的2,3 4x ，都有不等式12()()g xf x恒成立，求实数a的取值范围【答案】
23、（1）T=，2,3；（2）14a.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f xx=，代入周期公式，可求得周期 T，根据 x 的范围，求得26x的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得minmax()()g xf x，由（1）可得max()3f x=，分别讨论0a 三种，()3ag xxx=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）31()2(sin2cos2)2sin(2)226f xxxx=，周期22T=由,3 4x ，则52,663x ，所以当262x=，即6x=时，()2sin(2)6f xx=有最小值-1 当263x=，
24、即4x=时，()2sin(2)6f xx=有最大值32，所以31sin(2)62x，所以22sin(2)36x.即()f x的值域为 2,3（2）对任意的1(0)x+，及任意的2,3 4x ，都有不等式12()()g xf x恒成立，只需当minmax()()g xf x 由（1）知，max()3f x=.当0a，()3ag xxx=+为对勾函数，所以()32 32 3aag xxxaxx=+=，即min()2 3g xa=，当且仅当3axx=，即3ax=时取等号.由题意，2 33a 即可，所以14a.【点睛】解题的关键是将题干条件等价为minmax()()g xf x，分别根据12,x x的
25、范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题.21.已知函数4()log(41)xf xkx=+为 R 上的偶函数（1）求实数 k 的值；（2）若方程4()log0f xa=在 1 1x ，恰有两个不同实根，求实数 a 的取值范围 【答案】（1）12k=；（2）52,2.【解析】【分析】（1）运用偶函数定义()()fxf x=即可；（2）将a表示成x的函数，运用数形结合即可.【详解】（1）由题意得()()fxf x=，即()()44log41()log41xxkxkx+=+，化简得441log241xxkx+=+，从而(21)41kx+=，此式在xR上恒成立，12k=；（2
26、）由（1）得()441log41log2xxa+=在 1,1x 恰有两个不同实根，即()12414xxa+=在 1,1x 恰有两个不同实根，等价转化为122xxa+=在 1,1x 恰有两个不同实根，设2xt=，所以1,22t，所以1ytt=+在1,12t单调递减，在(1,2单调递增，当1t=时，有最小值 2，当2t=或12时，有最大值52.所以152,2ytt=+，122xxa+=在 1,1x 恰有两个不同实根，所以1att=+在1,22t上有 2 个解，所以522a，即方程4()log0f xa=在 1,1x 恰有两个不同实根，实数a的取值范围52,2.【点睛】含参方程有解的问题，可以分离参
27、数，然后运用数形结合的方法求解.22.已知2()2sin()142xf x=+（1）求()(2)3g xfx=的递增区间；（2）是否存在实数k，使得不等式(2)(4)()(4)()32fxkf xkf x+对任意22x，的恒成立，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）5,12 12kkZ+；（2）存在，142k+.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简可得()sinf xx=，从而可得()sin(2)3g xx=，由正弦函数的单调性可得222232kxk+，kZ，解不等式即可.（2）不等式化为2sincos(4)(sincos)3xxkxx+，令sincos 1,2txx
28、=+，不等式等价为2(4)40tkt+在1,2恒成立，令函数2()(4)4,m ttkt=+根据二次函数根的分布只需(1)0(2)0mm，解不等式即可.【详解】（1）解：2()2sin()1cos()sin422xf xxx=+=+=，()(2)sin(2)33g xfxx=，222232kxk+解得5,1212kxkkZ+，函数()g x的递增区间为5,12 12kkZ+；（2）假设存在这样的实数k,则不等式即为2sincos(4)(sincos)3xxkxx+,令sincos,txx=+则()22sincos11sincos22xxtxx+=则不等式()221(4)3(4)40tkttkt+又sincos2sin()4txxx=+=+，由,02x，3,444x+，所以sincos2sin()1,24txxx=+=+令函数2()(4)4,m ttkt=+即2()(4)40,t1,2m ttkt=+恒成立，由一元二次方程根的分布，只需(1)010142(2)02(4)20mkkmk+.
