1、2.3.2平面向量的正交平面向量的正交分解及坐标表示分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标平面向量的坐标运算运算学习目标1.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法，减法，实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底
2、e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。a=1 e1+2 e2复习复习G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解正交分解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理
3、知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设O
4、A=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b (1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.b如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2-3-4-5ji1 2
5、 3 4由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)例例1.用基底用基底 i,j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4ABij12-2-1Oxyabcd 45323(2,3)ABij 23(2,3)bij 23(2,3)cij 23(2,3)dij a 的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。4a=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131 A-a+b Ba-b Ca-b D-a+b22222222、若若向向量量那那么么等等于于、B5a=3,-1,b=-1,2,-3a-2b A7,1 B-7-1
6、C-7,1 D7-1、已已知知那那么么等等于于、，、，B6B m,n,AB 、已已知知 的的坐坐是是标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A随堂练习随堂练习1 a=4,6,a=2b,b、且且那那么么 的的坐标是坐标是A A、(3,2)B(3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)B2a=x-2,3b=1,y+2、若若向向量量与与向向
7、量量相相等等，那那么么A A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B3AB=x,y,B -2,1,OA 、已已知知的的坐坐是是那那么么的的标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C2.3.3平面向量的坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差1.已知a ，b ，求a+b，a-b),(11yx),(22yx 解：a+b
8、=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxx a+b同理可得a-b),(2121yyxx ij、a b c d 、23ijaabcd 形成练习的坐标的坐标求求和实数和实数已知已知ayxa、,),(=2 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标),(yx a2已知 求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：OAOBAB-=),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 你能在图中标出坐标为 的P点吗?),(1212yy
9、xx 思考:解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）例2已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标解：设顶点D的坐标为（x，y），（），），（211321(AB)4,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4,3()2,1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22D 例3 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点D的坐标小结:1.向量坐标的定义;2.两个向量相等的条件;3.平面向量的坐 标运算向量加法与减法实数与向量的积向量坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的坐标之间的关系
