1、电磁场与电磁波(第第四四 版版)目录目录第一章 矢量分析第二章 静电场第三章 恒定电流的电场和磁场第四章 静态场的解第五章 时变电磁场第六章 平面电磁波第七章 电磁波的辐射第八章 导行电磁波第一章 矢 量 分 析1.1 场的概念1.2 标量场的方向导数和梯度1.3 矢量场的通量和散度1.4 矢量场的环量和旋度1.5 圆柱坐标系与球坐标系1.6 亥姆霍兹定理小结1.1 场的概念场的概念1.1.1 矢性函数矢性函数数学上,实数域内任一代数量a都可以称为标量,因为它只能代表该代数量的大小。在物理学中,任意一个代数量一旦被赋予物理单位,则成为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压u、电流i、面
2、积S、体积V等等。在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,实数矢量可用黑体A表示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,实数矢量是从原点出发的一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位,便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量，A(t)为变矢
3、，对于某一区间Ga，b内的每一个数值t，A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A(t)为数性变量t的矢性函数。记为A=A(t)而Ga，b为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为A=Ax(t)ex+Ay(t)ey+Az(t)ez其中，ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴的正向单位矢量。在矢量代数中，已经学习过矢性函数的极限和连续性，矢性函数的导数和微分，矢性函数的积分。由于篇幅所限我们不再讨论，但是它们的运算法则我们必须掌握，这样才能学好后面的内容。1.1.2 标量场和矢量场
4、标量场和矢量场在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量在某一空间区域的分布情况和变化规律,为此,在数学上引入场的概念。如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无限集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应该是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数
5、学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T(x，y，z)、电位场j(x，y，z)等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。1.1.3 标量场的等值面和矢量场标量场的等值面和矢量场的矢量线的矢量线在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分布的情况具有很大的意义。对于标量场，常用等值面的概念来描述。所谓等值面，是指在标量场j(x，y，z)中，使其函数j取相同数值的所有点组成的集合，这些点组成一个曲面，该曲面称为等值面。如温度场的等值面，就是由温度
6、相同的点所组成的一个曲面，此曲面称为等温面。等值面在二维空间就变为等值线。如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条曲线。标量场j(x，y，z)的等值面方程为j(x，y，z)=const.对于矢量场A(x，y，z)，则用一些有向线来形象地表示矢量A（x，y，z)在空间的分布，这些有向线称为矢量线，如图1-1所示。矢量线上任一点的切线方向表示该点矢量A(x，y，z)的方向。在直角坐标系中，其矢量线方程可写成(1-1)dddxyzxyzAAA按照一定的规则，绘制出矢量线，既可根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据矢量线的疏密程度，判别出矢量场中各点矢量的大小和变化趋势。因此，矢量线在分
7、析矢量场特性时是十分有用的。图 1-1 矢量场的矢量线例例1-1 求数量场j=(x+y)2z通过点M(1，0，1)的等值面方程。解解：点M的坐标是x0=1，y0=0，z0=1，则该点的数量场的场值为j=(x0+y0)2z0=0其等值面方程为(x+y)2z=0 或 z=(x+y)2 例例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解解：矢量线应满足的微分方程为zyzyxyxyx222ddd从而有2222ddddxyxyx yyzxyzy解之即得矢量方程2221xyczC xC1和C2是积分常数。1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导
8、数标量场的方向导数在标量场中，标量j=j(M)的分布情况可以由等值面或等值线来描述，但这只能大致地了解标量j在场中的整体分布情况。而要详细地研究标量场，还必须对它的局部状态进行深入分析，即要考察标量j在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。设M0是标量场j=j(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引入一条射线l，在l上M0点的邻近取一点M，其长度M0M=，如图1-2所示。若当M0点趋于M点时(即长度趋于零时)，即 图 1-2 方向导数的定义的极限存在，则称此极限为函数j(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 ，即jjj)()(0MM 0Ml j(1-2)jjj
9、)()(lim000MMlMMM在直角坐标系中，方向导数可按下述公式计算。若函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处沿l方向的方向导数必定存在，且为(1-3)jjjjcoscoscos0zyxlM证明：证明：M点的坐标为M(x0+x，y0+y，z0+z)，由于函数j在M0处可微，故zzyyxxMMjjjjjj)()(0式中为高阶无穷小。上述等式两边除以，可得jjjjjjjcoscoscos zyxzzyyxx当趋于零时对上式取极限，可得jjjjcoscoscos0zyxlM 证
10、毕例例1-3 求数量场u=在点M(1，1，2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解解：l方向的方向余弦为zyx22322212cos322212cos312211cos222222222而其数量场对坐标的偏导数为,2zxxu,2zyyu222)(zyxxu数量场在l方向的方向导数为coscoscoszuyuxulu22232232231zyxzyzx在点M处沿l方向的方向导数为3242321 321 31Mlu1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度方向导数可以描述标量场中某点处标量沿某方向的变化率。但从场中某一点出发有无穷多个方向，通常不必要更不可能研究所有方向的变化率，而只是关心沿哪
11、一个方向变化率最大，此变化率是多少?我们从方向导数的计算公式来讨论这个问题。标量场j(x，y，z)在l方向上的方向导数为jjjjcoscoscoszyxl在直角坐标系中，令zyxeeelcoscoscos0zyxezeyexGjjj则矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即 cos(G，l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说，沿矢量G的方向的方向导数最大，此最大值为(1-4),cos(00lGGlGlj(1-5)Glmaxj这样，我们找到了一个矢量G，其方向是标量场在M点处变化率最大的方向，其模值即为最大的变化率。在标量场j
12、(M)中的一点M处，其方向为函数j=j(M)在M点处变化率最大的方向，其大小又恰好等于最大变化率矢量G的模，该最大变化率矢量G称为标量场j=j(M)在M点处的梯度，用grad(M)表示。在直角坐标系中，梯度的表达式为(1-6)zyxezeyexjjjjgrad梯度用哈密尔顿微分算子表示的表达式为 (1-7)jjgrad下面给出梯度的基本运算法则。u(M)和v(M)为标量场，c为一常数。很容易证明下面的梯度运算法则成立。gradc=0 或 c=0(1-8)grad(cu)=cgradu 或 (cu)=c u(1-9)grad(uv)=gradugradv 或 (uv)=u v (1-10)gra
13、d(uv)=vgradu+ugradv 或 (uv)=v u+u v (1-11)(1-12)gradv)gradu(1)grad(2uvvvu)(1)(2vuuvvvu或(1-13)uufufgrad)()(graduufuf)()(或例例1-4 标量函数r是动点M(x，y，z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：gradr=r。证证：222zyxrrrzyxezreyrexrrrgrad因为rxzyxxzyxxxr222222ryzyxyzyxyyr222222rzzyxzzyxzzr222222所以)(1gradzyxzyxrrreeezyxezreyrexrrrgrad0)
14、(1rreeerzyxrzyx例例1-5 求r在点M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解解：由例1-4得知点M处的坐标为x=1，y=0，z=1，而，所以r在M点处的梯度为2222zyxrzxeerr2121gradr在点M处沿l方向的方向导数为lrlrMzyxeeelll32323121322132203121Mlr而所以例例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M(x，y，z)处产生的电位为j=，其中矢径r为r=xex+yey+zez，且已知电场强度与电位的关系是E=j，求电场强度E。rq4解：解：)1(4)4(rqrqEj根据 f(u)=f(u)u的运算法则，rrrr
15、1rrrrr2111又由例1-4得知，所以rrqrrqrrqrq23244 14)1(4jE1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量在分析和描绘矢量场的特性时，矢量穿过一个曲面的通量是一个很重要的基本概念。将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即dS=n dS(1-14)n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示；对封闭曲面上的面元，n取为封闭曲面的外法线方向，如图1-3(b)
16、所示。图 1-3 法线方向的取法若面元dS位于矢量场A中，由于面元dS很小，且面元上各点的场值可以认为是相同的，矢量场A和面元dS的标量积AdS便称为矢量A穿过面元dS的通量。例如在流速场中，流速v是一个矢量，vdS就是每秒钟通过面元dS的通量。通量是一个标量。将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：=SAdS=SAndS(1-15)如果曲面是一个封闭曲面，则=SAdS(1-16)该积分表示矢量A穿过封闭曲面S的通量。若0，表示有净通量流出，这说明封闭曲面S内必定有矢量场的源；若0，表示有净通量流入，说明封闭曲面S内有洞(负的源)。在大
17、学物理课程中我们已知，通过封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷Q。若电荷Q为正电荷，为正，则表示有电通量流出；若电荷Q为负电荷，为负，则表示有电通量流入。1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度上述通量是一个大范围面积上的积分量，它反映了在某一空间内场源总的特性，但它没有反映出场源分布的特性。为了研究矢量场A在某一点附近的通量特性，我们把包围某点的封闭曲面向该点无限收缩，使包含这个点在内的体积元V趋于零，取如下极限：VSASVdlim0称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为(1-17)VSAASVddivlim0此式表明，矢量场A的散度是一个标量，它表示从该点单位
18、体积内散发出来的矢量A的通量(即通量密度)。它反映出矢量场A在该点通量源的强度。显然，在无源区域中，矢量场A在各点的散度均为零。矢量场A的散度可表示为哈密尔顿微分算子 与矢量A的标量积，即(1-18)AAdiv计算 A时，先按标量积规则展开，再做微分运算。在直角坐标系中有(1-19)()(zzyyxxzyxeAeAeAezeyexAzAyAxAzyx利用哈密尔顿微分算子，读者可以证明，散度运算符合下列规则：(1-20)BABA)(jjjAAA)(1-21)1.3.3 散度定理散度定理矢量A的散度代表的是其通量的体密度，因此可直观地知道，矢量场A散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总
19、通量，即(1-22)VSSAVAdd上式称为散度定理，也称为高斯定理。证明这个定理时，将闭合曲面S围成的体积V分成许多体积元dVi(i=1，2，n)，计算每个体积元的小封闭曲面Si上穿过的通量，然后叠加。由散度的定义可得),2,1()(dniVASAiSii由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好是等值异号，求和时就互相抵消了。除了邻近S面的那些体积元外，所有体积元都是由几个相邻体积元间的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S面的那些体积元，它们中有部分表面是在S面上的面元dS，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭曲面S穿出的通量。
20、因此有niSSiSASA1dd故得到VSniiVAVASAd)(d1例例1-7 已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H 所围成的封闭曲面的通量。解解：根据题意（见图1-4）可把封闭曲面分成S1面，即Z=H所围成的平面，S2面也就是圆锥面。则所围成的封闭曲面的通量为21dddSSSSrSrSr因为在圆锥侧面上r处处垂直于dS，所以0cosdd22SSSrSr因此1111132dddddddddddSSSSSHHHyxHyxHyxzzxyzyxSr 图1-4 圆锥面与平面围成的封闭曲面例例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移
21、矢量为)|,|,(42rrrrrzeyexe，rrrqDzyx其中求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-5)。解解：穿过以原点为球心，R为半径的球面的电通量为SSD d由于球面的法线方向与dS的方向一致，因此qRRqSRqSDSDSSS22244 d4dd 图 1-5 例 1-8 图例例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量,试求电位移矢量D的散度。解解：rrqrrqD324452234rxrqxDx52234ryrqyDy52234rzrqzDzzyxerzeryerxqD33343334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx所以zDyDxDDDzyxdiv0)(3345222
22、2rzyxrq例例 1-10 半径为R的球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 rdS。解解：根据散度定理知SVSVrSrdd而r的散度为3zzyyxxr所以33434 3d3ddRRVVrSrVVS1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.4.1 矢量场的环量矢量场的环量在力场中，某一质点沿着指定的曲线l运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线l的线积分，即W=lFdl=F cos dl(1-23)其中dl是曲线l的线元矢量，方向是该线元的切线方向，角为力场F与线元矢量dl的夹角。在矢量场A中，若曲线l是一闭合曲线，其矢量场A沿闭合曲线l的线积分可表示为lAdl=lA
23、 cos dl(1-24)此线积分称为矢量场A的环量(或称旋涡量)，如图 1-6 所示。图 1-6 矢量场的环量矢量场的环量与矢量场的通量一样都是描述矢量场特性的重要参量。我们知道，若矢量穿过封闭曲面的通量不为零，则表示该封闭曲面内存在通量源。同样，矢量沿闭合曲线的环量不为零，则表示闭合曲线内存在另一种源旋涡源。例如在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生该磁场的旋涡源。1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度从式(1-24)中可以看出，环量是矢量A在大范围内闭合曲线上的线积分，它反映了闭合曲线内旋涡源分布的情况，而从矢量场分析的要求来看，我们需要知道每个点附近的旋涡源分布的
24、情况。为此，我们把闭合曲线收缩，使它包围的面积元S趋于零，并求其极限值：(1-25)SlAlsdlim0此极限值的意义就是环量的面密度，或称为环量强度。由于面元是有方向的，它与闭合曲线l的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述的极限对于不同的面元是不同的。为此，引入如下定义，称为矢量场A的旋度，记为rotA：矢量场A的旋度可用哈密尔顿微分算子 与矢量A的矢量积来表示，即rotA=A (1-27)计算时，可先按矢量积的规则展开，然后再作微分运算。在直角坐标系中可得(1-26)SlAnAlSmax0drotlim(1-28)()(zzyyxxzyxeAeAeAezeyexAzxyyzxxyz
25、eyAxAexAzAezAyA)()()(即(1-29)zyxzyxAAAzyxeeeA利用哈密尔顿微分算子可以证明旋度运算符合如下规则：BABA)(AAAjjj)(BAABBA)(0)(A0)(jAAA2)(1-30)(1-31)(1-32)(1-33)(1-34)(1-35)式(1-33)说明，任意矢量场的旋度的散度恒等于零。式(1-34)表明任一标量场的梯度的旋度恒等于零。式(1-35)中 2称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中有(1-36)2222222zyxzzyyxxeAeAeAA2222(1-37)1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线l
26、上的环量等于闭合曲线l所包围曲面S上旋度的总和，即 (1-38)此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。斯托克斯定理的证明，与散度定理的证明相类似，这里就不再叙述了。例例 1-11 求矢量A=yex+xey+cez(c是常数)沿曲线l:(x2)2+y2=R2、z=0的环量(见图 1-7)。lSlASAdd)(图 1-7 例 1-11 图解解：由于在曲线l上z=0，因此dz=0。)sind()cos2()cos2d(sin )dd(d2020RRRRyxxylAl22022
27、22022022022d)cos2(dcos2)cos(sindcoscos)2(dsinRRRRRRRR环量的计算通常利用曲线的参数方程。例例1-12 求矢量场A=x(zy)ex+y(xz)ey+z(yx)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解解：矢量场A的旋度 zxxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeAA)()()()()()(rot在点M(1，0，1)处的旋度 A|M=ex+2ey+ezn方向的单位矢量zyxzyxeeeeeen737672)362(3621232则沿n方向的环量面密度为7177327672|nAM例例 1
28、-13 在坐标原点处放置一点电荷q，它在自由空间产生的电场强度矢量为)(4433zyxzeyexerqrrqE求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度 E。解解：3334rzryrxzyxqzyxeeeE0)()()()()()(43333330zyxerxyryxerzxrxzeryzrzyq这说明点电荷产生的电场为无旋场。1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系在圆柱坐标系(简称柱坐标系)中，任意一点P的位置用、z三个量来表示，如图 1-8 所示。各量的变化范围是20z 图 1-8 圆柱坐标系P点的三个坐标单位矢量为e、e、ez，分别指向、z的增加方向
29、。值得注意的是与直角坐标系的不同点，即除ez外，e和e都不是常矢量，它们的方向随P点位置的不同而变化，但e、e、ez三者总保持正交关系，并遵循右手螺旋法则。ee=ez矢量A在球面坐标系中可表示为A=Ae+Ae+Azez以坐标原点为起点，指向P点的矢量r称为P点的位置矢量或矢径。在圆柱坐标系中P点的位置矢量是r=e+zez式中未显示角度，但角度将影响e的方向。对任意增量d、d、dz，P点位置沿、z方向的长度增量(长度元)分别为dl=d，dl=d，dlz=dz它们的拉梅系数(它们同各自坐标增量之比)分别为，lh1dd1,dd2lh1dd3zlhz与三个单位矢量相垂直的三个面积元以及体积元分别是zl
30、lSzdddddzllSzddddddddddllSzzlllVzddddddd哈密尔顿微分算子 的表示式为2(1-39)zezee1拉普拉斯微分算子 的表示式为2(1-40)2222221)(1z在圆柱坐标系中标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的表示式，可以根据上面介绍的关系自行导出，也可以从附录中查出。1.5.2 球面坐标系球面坐标系在球面坐标系(简称球坐标系)中，任意P点的位置用r、三个量来表示，如图 1-9 所示。它们分别称为矢径长度、高低角和方位角，它们的变化范围是0rl时，其空间电位的表达式为求其电场强度E(r，)。解解：在球面坐标系中，哈密尔顿微分算子 的表达式为jcos4)(20
31、rqlr，erererrsin11jjjjerererErsin11jcos42cos)1(43020rqlrrqlr因为 jsin4cos42020rqlrql0j)sincos2(430jeerqlEr所以1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即 F=j+A (1-43)亥姆霍兹定理的严格的表述和证明这里不再给出，读者可参考其它文献。简化的证明如下：假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和
32、旋度，但这两个矢量函数不相等，可令F=G+g(1-44)由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根据矢量场由其散度和旋度唯一确定，那么矢量g应该为零矢量，也就是矢量F与矢量G是同一个矢量。现在我们来证明矢量g为零矢量。对式(1-44)两边取散度，得 F=(G+g)=G+g因为 F=G，所以 g=0(1-45)对式(1-44)两边取旋度，得 F=(G+g)=G+g同样由于 G=F，因此 g=0由矢量恒等式 j=0，可令g=j (1-46)j是在无限空间取值的任意标量函数，将式(1-46)代入式(1-45)，可得 j=2 j=0 (1-47)已知满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，而j又是无限空间
33、上取值的任意函数，因此它只能是一个常数(j=c)，从而求得g=j=0，于是式(1-44)变成F=G。由此可以得出，已知矢量的散度和旋度所决定的矢量是唯一的。因此，亥姆霍兹定理得证。在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场Fd(有散度)和一个无散场Fc(有旋度)之和F=Fd+Fc(1-48)对于无旋场Fd来说，Fd=0，但这个场的散度不会处处为零。因为任何一个物理场必然有源来激发它，若这个场的旋涡源和通量源都为零，那么这个场就不存在了。因此无旋场必然对应于有散场，根据矢量恒等式 j=0，可令(负号是人为加的)Fd=j(1-49)对于无散场Fc来说，Fc=0，但这个场的旋度不会
34、处处为零，根据矢量恒等式 (A)=0，可令Fc=A (1-50)将式(1-49)和式(1-50)代入式(1-48)，便可得到式(1-43)，即F=j+A也就是说矢量场F可表示为一个标量场的梯度再加上一个矢量场的旋度。亥姆霍兹定理告诉我们，研究一个矢量场必须从它的散度和旋度两方面着手。因为，矢量场的散度应满足的关系和矢量场的旋度应满足的关系，决定了矢量的基本性质，故将矢量场的旋度和矢量场的散度称为矢量场的基本方程。例如，以后我们将学到静电场的基本方程是 E=0 (1-51)D=(1-52)对于各向同性的媒质，电通量密度和电场强度的关系为D=E，因此电场强度的散度可以写为(1-53)上述方程说明静
35、电场是一个无旋场，但是它是有散场，其电通量源的强度为/(为电荷的体密度)。E小小 结结 (1)我们讨论的物理量若只有大小，则它是一个标量函数，该标量函数在某一空间区域内确定了该物理量的一个场，该场称为标量场。若我们讨论的物理量既有大小又有方向，则它是一个矢量函数，该矢量函数在某一空间区域内确定了该物理量的一个场，该场称为矢量场。矢量运算应满足矢量运算法则。(2)标量函数u在某点沿l方向的变化率，称为标量场u沿该方向的方向导数。标量场u在该点的梯度gradu=u与方向导数的关系为lululu（3）矢量A穿过曲面S的通量为。矢量A在某点的散度定义为它是一个标量，表示从该点散发的通量体密度，描述了该
36、点的通量源强度。其散度定理为 （4）矢量A沿闭合曲线l的线积分，称为矢量A沿该曲线的环量。矢量A在某点的旋度定义为SSA dVSAhAASVddivlim0VSSAVAddllA dSlAnAAlSmax0drotlim它是一个矢量，其大小和方向是该点最大环量面密度的大小和此时的面元方向，它描述旋涡源强度。其斯托克斯定理为lSlASAdd)(5)哈密尔顿微分算子 是一个兼有矢量和微分运算作用的运算符号。A可以看作两个矢量的标量积，A可以看作两个矢量的矢量积。计算时，先按矢量运算法则展开，然后再作微分运算。u可以看作矢量与标量相乘。在直角坐标系中，其 算子可表示为zyxezeyex在圆柱坐标系中
37、，其 算子可表示为zezee1在球面坐标系中，算子可表示为erererrsin11（6）亥姆霍兹定理总结了矢量场共同的性质：矢量场可由矢量场的散度和旋度唯一地确定；矢量场的散度和旋度各自对应矢量场中的一种源。所以分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本特性。第二章 静 电 场2.1 库仑定律与电场强度2.2 高斯定理2.3 静电场的旋度与静电场的电位2.4 电偶极子2.5 电介质中的场方程2.6 静电场的边界条件2.7 导体系统的电容2.8 电场能量与能量密度2.9 电场力小结2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度2.1.1 库仑定律库仑定律库仑定律
38、是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的实验定律，如图 2-1 所示，其内容是，点电荷q作用于点电荷q的力为(2-1)302044RqqRRqqRF式中，R=rr表示从r到r的矢量；R是r到r的距离；R是R的单位矢量；0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为F/m1036110854.89120 图 2-1 库仑定律用图电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元V，若其中的电量为q，则电荷体密度为(2-2)VqVqVddlim0如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元S内的电量为q，则面密度为(2-3)SqSqSSd
39、dlim0 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元l内的电量为q，则线密度为lqlqllddlim0(2-4)2.1.2 电场强度电场强度电荷q对电荷q的作用力，是由于q在空间产生电场，电荷q在电场中受力。用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力为F(r)=qE(r)(2-5)这里的试验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响电场分布的电荷。由两个点电荷间作用力的公式(2-1)，可以得到位于点r处的点电荷q在r处产生的电场强度为(2-6)3030)(44)(rrrrRrEqRq以后我们将电荷所在点r称为源点，
40、将观察点r称为场点。如果真空中一共有n个点电荷，则r点处的电场强度可由叠加原理计算，即(2-7)3014)(iiiniqrrrrrE对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为(2-8)30d)(41)(VVrrrrrrE同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为(2-9)30d)(41)(SSSrrrrrrE(2-10)30d)(41)(lllrrrrrrE例例 2-1 一个半径为a的均匀带电圆环,求轴线上的电场强度。解解：取坐标系如图 2-2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为l。r=zez r=a cosex+a siney|rr|=(z
41、2+a2)1/2dl=ad所以 图 2-2 例 2-1 用图2023220d)()sincos(4)(azaaazlyxzeeerEze23220)(2zazal 2.2 高斯定理高斯定理从库仑定律出发，可以推导出高斯定理。先介绍立体角的概念。如图2-3 所示，立体角是由过一点的射线，绕过该点的某一轴旋转一周所扫出的锥面所限定的空间。如果以点o为球心、R为半径作球面，若立体角的锥面在球面上截下的面积为S，则此立体角的大小为=S/R2。立体角的单位是球面度(sr)。整个球面对球心的立体角是 4。对于任一个有向曲面S，面上的面积元dS对某点o的立体角是(2-11)32)(dcosddrrrrSRS
42、 图 2-3 立体角整个曲面S对点o所张的立体角是(2-12)S3d)(rrSrr若S是封闭曲面，则(2-13)外在内在SSS304d)(rrrrSrr即任意封闭面对其内部任一点所张的立体角为 4，对外部点所张的立体角为零。高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量：(2-14)SrrrrSEd4d30SSqSqd40若q位于S内部，上式中的立体角为 4；若q位于S外部，上式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为(2-15)0dQSSE上式中，Q是闭合面内的总电荷。高斯定理是静电场的一个基本定理。它说明，在真
43、空中穿出任意闭合面的电场强度通量，等于该闭合面内部的总电荷量与0之比。应该注意曲面上的电场强度是由空间的所有电荷产生的，不要错误地认为其与曲面S外部的电荷无关。但是外部电荷在闭合面上产生的电场强度的通量为零。如果闭合面内的电荷是密度为的体分布电荷，则式(2-15)可以写为(2-16)VSVd1d0SE式中V是S所限定的体积。用散度定理，可以将上式左面的面积分变换为散度的体积分，即(2-17)VVVVd1d0E由于体积V是任意的，所以有(2-18)0 E例例 2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为0的电荷，试求任意点的电场强度。解解：本题的电荷分布是球对称的，电场强度仅有径向分量Er，同
44、时它具有球对称性质。作一个与带电体同心、半径为r的球面，将积分形式的高斯定理运用到此球面上。当ra时，3002344arEr故)(32030arraEr当r0 的结论。对z轴上的任意点，电位为)(2)(2122zzazSj例例 2-5 求均匀带电球体产生的电位。解解：在前面我们计算了均匀带电球体的电场：)(32030arraEr)(300arrEr由此可求出电位。当ra时，rrrE djrrrad32030ra0303当ra时，ararrrErEddj)3(22200ra 例例 2-6 若半径为a的导体球面的电位为U0，球外无电荷，求空间的电位。解解：可以通过求解电位的微分方程计算电位。对于一
45、般问题，电位方程是二阶偏微分方程，但是对于本题，因其是对称的，就简化为常微分方程。显然电位仅仅是变量r的函数。球外的电位用j表示。2j=0将以上方程写成球坐标的形式，即0)dd(dd122rrrrj对以上方程积分一次，得12ddCrrj21ddrCrj21CrCj即再对其积分一次，得这里出现的两个常数通过导体球面上的电位和无穷远处的电位来确定。在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=代入上式，得210CaCU20C这样解出两个常数为raUr0)(j所以C1=aU0，C2=02.4 电偶极子电偶极子电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统，如图 2-5 所示。真
46、空中电偶极子的电场和电位可用来分析电介质的极化问题。用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即p=ql(2-35)电偶极距是一个矢量，它的方向是由负电荷指向正电荷。取电偶极子的轴和z轴重合，电偶极子的中心在坐标原点。电偶极子在空间任意点P的电位为(2-36)11(4210rrqj 图 2-5 电偶极子其中，r1和r2分别表示场点P与q和q的距离，r表示坐标原点到P点的距离。当lr时，2/12/12222/12/1221cos1cos224cos1cos224rlrlrlrrrlrlrlrrcos2111cos211121rlrrrlrr从而有(2-37)204co
47、srqlj或(2-38)304rjrp其电场强度在球坐标中的表示式为(2-39)sincos2(430eerprE电偶极子电场的分布如图 2-6 所示。电偶极子的电位和电场分别与r2和r3成反比，单个点电荷的电位和电场分别与r和r2成反比。图 2-6 电偶极子的电场分布2.5 电介质中的场方程电介质中的场方程2.5.1 介质的极化介质的极化介质的极化一般分为三种情况。分别叫做电子极化、离子极化、取向极化。单原子的电介质只有电子极化；所有化合物都存在离子极化和电子极化；一些化合物同时存在三种极化。在极化介质中，每一个分子都是一个电偶极子，整个介质可以看成是真空中电偶极子有序排列的集合体。用极化强
48、度表征电介质的极化性质。极化强度是一个矢量，它代表单位体积中电矩的矢量和。假设体积V里分子电矩的总和为p，则极化强度P为(2-40)VpP0Vlim极化强度的单位是C/m2。2.5.2 极化介质产生的电位极化介质产生的电位当一块电介质受外加电场的作用而极化后，就等效为真空中一系列电偶极子。极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极子产生的电场，如图 2-7 所示。设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r处取一个体积元V，因|rr|远大于V的线度，故可将V中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PV，它在r处产生的电位是(2-41)304)()(rrr
49、rrPrjV 图 2-7 极化介质的电位整个极化介质产生的电位是上式的积分：(2-42)30d)()(41)(VVrrrrrPrj对上式进行变换，利用31rrrrrr变换为0d1)(41)(VVrrrPrj再利用矢量恒等式：AAAuuu)(令，A=P，则1rr u0d)(41)(VVrrrPrj0d)(41VVrrrP0d)(41SSrrnrP0d)(41VVrrrP式中，n是S上某点的外法向单位矢量。等效体电荷密度和面电荷密度分别为(2-45)()(rPrp(2-46)nrP)(SP例例 2-7 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P0ez，求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。解解：取球坐
50、标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为0)()(rPr极化电荷面密度为cos00PeePsprznP2.5.3 介质中的场方程介质中的场方程在真空中高斯定理的微分形式为 ，其中的电荷是指自由电荷。如前述，极化介质产生的电场等效于束缚电荷的影响，因此，在电介质中，高斯定理的微分形式便可写为0E(2-47)(10PE将p=P代入，得(2-48)(0PE这表明，矢量0E+P的散度为自由电荷密度。称此矢量为电位移矢量(或电感应强度矢量)，并记为D，即(2-49)PED0于是，介质中高斯定理的微分形式变为(2-50)D在介质中，电场强度的旋度仍然为零。将介质中静电场的方程归纳如下：(2-51)D(2
