1、7/29/2022第第3 3章章 线性规划的扩展线性规划的扩展1 CONTENTS目录3.1 运输问题3.2 目标规划3.3 数包络分析7/29/202223.1 运输问题例例3.1 某个公司从三个产地A1,A2,A3将物品运往四个销地 B1，B2，B3，B4。各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示。应如何调运，使得总运输费用最小？3.1.1 运输问题的建模（1）问题的提出7/29/2022434114131min,1,.,3.,1,.,40ijijijijijijjiijc xxa istxbjx产地约束销地约束非负约束其中，cij为从产地Ai运到销地Bj的线
2、路的运输价格;a1,a2,a3分别为16,10,22；b1,b2,b3,b4分别为8,14,12,14。解：解：设xij为从产地Ai运到销地Bj的运量，（i=1,2,3;j=1,2,3,4）。3.1.1 运输问题的建模7/29/20225运输问题（Transportation Problem，简记为TP）：在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，把某种产品从多个产地调运到多个销地，如何确定每条运输线路上的运量使得总的运输费用最小的问题。02 运输问题的一般模型（2）运输问题的一般模型3.1.1 运输问题的建模7/29/20226图3.1运输问题的示意图02
3、运输问题的一般模型3.1.2 运输问题的一般模型3.1.1 运输问题的建模7/29/20227所有产地的总供给量 所有销地的总销售量 设 为从产地Ai运到销地Bj的运量。根据供需关系可以将 运输问题分为三种类型：1）供需平衡的物资调运问题，S=D 1njjDb1niiSaijx总供给等于总需求。当供需平衡时，每个产地的物资可全部 运出，每个销地的需求都可以得到满足，因此供需平衡的物资调运问题的数学模型为：02 运输问题的一般模型3.1.1 运输问题的建模7/29/2022811,1,.,.,1,.,0,1,.,;1,.,nijijmijjiijxa imstxbjnxim jn11minmni
4、jijijzc xijx这是一个具有mn个决策变量，m+n个约束条件的线性规划问题。在一些实际的问题中还要求 为整数，如调运的物资为电脑、家电或其它包装成箱的物资，从而形成一个整数规划问题。02 运输问题的一般模型3.1.1 运输问题的建模7/29/202292）供大于求的物资调运问题，SD总供给大于总需求时，有些产地的物资不能全部运出，数学模型改为：11minmnijijijzc x1111111min0mnmmnijijinijijijiijzc xxc x11,1,.,.,1,.,0,1,.,;1,.,nijijmijjiijxa imstxbjnxim jn111,1,.,.,1,.,
5、0,1,.,;1,.,nijinijmijjiijxxa imstxbjnxim jn3.1.1 运输问题的建模7/29/20221011minmnijijijzc x1111111min0mnnmnijijmjijijijjijzc xxc x11,1,.,.,1,.,0,1,.,;1,.,nijijmijjiijxa imstxbjnxim jn111,1,.,.,1,.,0,1,.,;1,.,nijijmijjiijxa imstxbjnxim jn3）供不应求的物资调运问题，S销地余量，则销地上运满，填xst=销地的余量，划去第t列；若产地余量 Pi+1，i=1,2,L-1.即在计算过
6、程中,首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时，可分别赋于它们不同的权系数wj。优先因子及权系数的值，均由决策者按具体情况来确定3.2.1 多目标规划模型7/29/202266（4 4）目标规划的目标函效）目标规划的目标函效 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的 决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小：Min f f（d+，d-)其基本形式有三种：3.2.1 多目标规划模型7/29/202267
7、要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。这时取 Min（d+d-)；要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。这时取 Min（d+)；要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。这时取 Min（d-)；3.2.1 多目标规划模型7/29/202268 对于例 3.15,我们根据决策者的考虑知 第一优先级要求 Min（d1+d2+)；第二优先级要求 Min（d3+)；第三优先级要求 Min（d4-)；第四优先级要求 Min（d1-+2d2-)，这里,当不能满足市场需求时,市场认为B产品的重要性是A产品的2倍即减少B产品的影响是A产品的
8、2倍，因此我们引入了2:1的权系数。3.2.1 多目标规划模型7/29/202269综合上述分析，可得到下列目标规划模型 Min f=P1（d1+d2+)+P2 d3+P3 d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1 +d1-d1+=9 x2+d2-d2+=8 4x1+6x2+d3-d3+=60 12x1+18x2+d4-d4+=252 x1,x2,di-,di+0 ,i=1,2,3,4.3.2.1 多目标规划模型7/29/202270(3)(3)目标规划模型的一般形式目标规划模型的一般形式 KLkkllkllk 1l 1nljjlllj 1nijjij 1jllMinM d dc xddg
9、,l1,2,La x,b,i1,2,ms.t.x0,j1,2,nd,d0,l1,2,L 式中的第二行是L个目标约束，第三行是m个绝对约束，clj 和gl 是目标参数。3.2.1 多目标规划模型7/29/202271 LP：Max Z=100X1+80X2 2X1+4X2 500 s.t 4X1+2X2 400 X*=(50,100)X1,X2 0 Z*=13000 例例3.16 某工厂生产甲，乙两种产品，受到金工和装配有效工时限制。在单件收益已知的条件下，要求制定一个收益最大的计划。具体数据见表3.27。甲乙有效工时金工42400装配24500收益10080 表3.41 基本数据表3.2.1
10、多目标规划模型7/29/202272目标：去年总收益9000，增长要求11.1%即：今年希望总收益不低于10000引入 d+：决策超过目标值部分(正偏差变量正偏差变量)d-：决策不足目标值部分(负偏差变量负偏差变量)目标约束：100X1+80X2-d+d-=10000 d+d-=0 d+,d-03.2.1 多目标规划模型7/29/20227312121212min1000042400.241008500,00 xxxxzdddxxstd dx x可得到目标规划模型如下所示：3.2.1 多目标规划模型7/29/2022741.原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制2.市场情况，产品销售
11、量下降，产品的产量不大于产品的产量3.尽可能达到并超过利润计充分利用设备，不希望加班4.划指标56千元例例3.17 某企业生产两种产品，受到原材料供应和设备限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求一个获利最大的生产计划。具体数据见表3.28。资源拥有量原材料2111设备1210利润810 表3.28 基本数据表3.2.1 多目标规划模型7/29/202275建模：1.设定约束条件。(目标约束、绝对约束)2.规定目标约束优先级3.建立模型 设X1，X2为产品，产品产量。3.2.1 多目标规划模型7/29/2022762X1+X2 11X1-X2+d1-d1+=0X1+2X2+d2-d2+=1
12、08X1+10X2+d3-d3+=56X1,X2,di-,di+0 di-di+=0d1-:X1产量不足X2 部分d1+:X1产量超过X2 部分d2-:设备使用不足10 部分d2+:设备使用超过10 部分d3-:利润不足56 部分d3+:利润超过56 部分或 Min Z1=d1+Min Z2=d2-+d2+Min Z3=d3-Min Z=p1d1+p2(d2-+d2+)+p3(d3-)3.2.1 多目标规划模型7/29/202277 对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解通过图解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、负偏差变量及权系数等的几何意义。下面用图解法图解
13、法来求解例3.15 我们先在平面直角坐标系的第一象限内，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上 G-i，i=1，2，3，4。图中x，y分别表示问题的x1和x2；各直线移动使之函数值变大、变小的方向用+、-表示 di+,di-3.2.2 几何意义及图解法7/29/202278图 10 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2+-G-3G-4+-3.2.2 几何意义及图解法7/29/202279 下面我们根据目标函数的优先因子优先因子来分析求解首先考虑第一级具有P1优先因子的目标的实现，在目标函数中要求实现Min（d1+d2+),取d1+=d2+=0.图2 中浅红
14、色阴影部分即表示出该最优解集合的所有点。我们在第一级目标的最优解集合中找满足第二优先级要求Min（d3+)的最优解.取d3+=0,可得到图3 中浅绿阴影部分即是满足第一、第二优先级要求的最优解集合。3.2.2 几何意义及图解法7/29/202280图 20 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2+-G-3G-4+-3.2.2 几何意义及图解法7/29/202281图 30 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2+-G-3G-4+-3.2.2 几何意义及图解法7/29/202282 第三优先级要求 Min（d4-)，根据图示可知，d4-不可能取0值，我
15、们取使d4-最小的值72得到图4中两阴影部分的交线(红色粗线)，其表示满足第一、第二及第三优先级要求的最优解集合。最后，考虑第四优先级要求 Min（d1-+2d2-)，即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1-的权因子小于d2-，因此在这里可以考虑取d2-=0。于是解得d1-=5，最优解为A点x=3，y=8。3.2.2 几何意义及图解法7/29/202283图 40 5 10 15 20 yx2015105+-G-1+-G-2+-G-3G-4+-A(3,8)3.2.2 几何意义及图解法7/29/202284 目标规划的数学模型,特别是约束的结构与线性规划模型没有本质的区别，只是它的目标不止是一个
16、,虽然其利用优先因子和权系数把目标写成一个函数的形式,但在计算中无法按单目标处理,所以可用单纯形法单纯形法进行适当改进后求解。在组织、构造算法时，我们要考虑目标规划的数学模型一些特点，作以下规定：因为目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是相同的；3.2.3 单纯形法7/29/202285 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，Pi Pi+1，i=1,2,L-1.于是从每个检验数的整体来看：Pi+1（i=1,2,L-1）优先级第k个检验数的正、负首先决定于 P1，P2，Pi 优先级第k个检验数的正、负。若P1 级第k个检验数为0，则此检验数的正、负取决于P2
17、级第k个检验数；若P2 级第k个检验数仍为0，则此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数，依次类推。换一句话说，当某当某P Pi i 级第级第k k个检验数为个检验数为负数时，计算中不必再考察负数时，计算中不必再考察P Pj j（j Ij I ）级第）级第k k个检验数的正、负情况个检验数的正、负情况；根据目标规划模型特征，当不含绝对约束时，di-（i=1,2,K）构成了一组基本可行解。在寻找单纯形法初始可行点时，这个特点是很有用的。3.2.3 单纯形法7/29/202286解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:1)建立初始单纯形表初始单纯形表在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行。初始的检
18、验数需根据初始可行解计算出来，方法同基本单纯形法。当不含绝对约束时，di-（i=1,2,K）构成了一组基本可行解，这时只需利用相应单位向量把各级目标行中对应di-（i=1,2,K）的量消成0即可得到初始单纯形表。置k 1；2)检查当前第k行中是否存在小于0，且对应的前k-1行的同列检验数为零的检验数检验数。若有取其中最小者对应的变量为换入变量，转3)。若无这样的检验数，则转5)；3.2.3 单纯形法7/29/2022873)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变量换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转4）；4)按单纯形法进行换基运算换基运算，建立
19、新的单纯形表，（注意：要对所有的行进行初等变换运算）返回2)；5)当k K 时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置k=k+1，返回2）。3.2.3 单纯形法7/29/202288例例 3.18 3.18 试用单纯形法来求解例3.15的目标规划模型11223344121112221233124412min()(2)98.46601218252,0,1,2,3,4.iizP ddPdPdP ddxddxddstxxddxxddx x ddi3.2.3 单纯形法7/29/202289解解:首先处理初始基本可行解对应的各级检验数。Cj 0 0 P1 P4 P1 2 P4 P2 0 0 P3 CB X
20、B b x1 x2 d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-P4 d1-9 1 0-1 1 0 0 0 0 0 0 2 P4 d2-8 0 1 0 0-1 1 0 0 0 0 0 d3-60 4 6 0 0 0 0-1 1 0 0 P3 d4-252 12 18 0 0 0 0 0 0-1 1 P1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P3-12-18 0 0 0 0 0 0 1 0 P4-1-2-1 0 2 0 0 0 0 0 3.2.3 单纯形法7/29/202290（1）k=1，在初始单纯形表中基变量为 （d1-,d2-,d3-,
21、d4-)T=（9，8，60，252)T；（2）因为P1与P2优先级的检验数均已经为非负，所以这个单纯形表对P1与P2优先级是最优单纯形表；（3）下面考虑P3优先级，第二列的检验数为-18，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij 写在 列。通过比较，得到d2-对应的比值最小，于是取a22（标为*号）为主元进行矩阵行变换得到新的单纯形表；（4）下面继续考虑P3优先级，第一列的检验数为-12，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij，得到d3-对应的比值最小，于是取a31（标为*号）为转轴元进行矩阵行变换得到新的单纯形表；3.2.3 单纯形法7/29/202291Cj 0 0 P1 P4 P1
22、 2 P4 P2 0 0 P3 CB XB b x1 x2 d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-P4 d1-9 1 0-1 1 0 0 0 0 0 0 0 x2 8 0 1 0 0-1 1 0 0 0 0 0 d3-12 4 0 0 0 6-6-1 1 0 0 P3 d4-108 12 0 0 0 18-18 0 0-1 1 P1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P3-12 0 0 0-18 18 0 0 1 0 P4-1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 3.2.3 单纯形法7/29/202292（5）当前的单纯形表各优先级
23、的检验数均满足了上述条件,故为最优单纯形表。我们得到最优解x x1 1=3=3，x x2 2=8=8。Cj 0 0 P1 P4 P1 2 P4 P2 0 0 P3 CB XB b x1 x2 d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-P4 d1-6 0 0-1 1-3/2 3/2 1/4-1/4 0 0 0 x2 8 0 1 0 0-1 1 0 0 0 0 0 x1-3 1 0 0 0 3/2-3/2-1/4 1/4 0 0 P3 d4-72 0 0 0 0 0 0 3-3-1 1 P1 0 0 1 0 1 1/2 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P3 0
24、0 0 0 0 0-3 3 1 0 P4 0 0 1 0 3/2 0-1/4 1/4 0 0 3.2.3 单纯形法7/29/2022933.3 数据包络分析Data Envelopment Analysis是一种基于线性规划的用于评价同类型组织工作绩效相对有效性的工具手段。如：学校，银行，超市，医院衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用“投入产出投入产出”这个指标。当投入和产出均可折算成同一单位时，容易计算比较 当有多项投入和多项产出，且不能统一折算时，就无法计算投入产出比 A.Charnes,W.W.Cooper&E.Rhodes(1978)3.3 数据包络分析 7/29/202295例如例如
25、:有 4 所小学s1，s2，s3，s4，在校学生分别为1200，1000，1600，1400人，首先按800名学生的规模折算各校教职工数和建筑面积的投入。学校投入s1s2s3s4教职工数25403520建筑面积/m218001500170025003.3 数据包络分析 7/29/202296就培养800名学生来看，s1，s2，s4 三所学校的投入处于Pareto 最优状态，即不可能保持其中一项投入不变的情况下，减少另一项投入的水平。s4s1s3s2PM称处于生产前称处于生产前沿面上的点为沿面上的点为DEA有效有效3.3 数据包络分析 7/29/202297当投入与产出变量数总和超过当投入与产出
26、变量数总和超过3个时，就需要借助线性规划个时，就需要借助线性规划的方法。的方法。在在DEA中通常称被衡量绩效的组织为中通常称被衡量绩效的组织为决策单元决策单元 （decision making unit，缩写缩写DMU）3.3 数据包络分析 7/29/202298111212122212nnijmmmnxxxxxxxxxx111212122212nnrjsssnyyyyyyyyyy投入产出1 2 n构造一个假想决策单元，其第 i 项投入为：第 r 项产出为：说明 j0 决策单元不处在生产前沿面上 12m12s01 1,njrjrjjyyrs3.3 数据包络分析 7/29/20229900111
27、 1,s.t.1,1,0 1,njrjrjjnjijijjnjjjyyrsxE ximjnE min LLL基于上述可写出如下线性规划的数学模型：3.3 数据包络分析 7/29/2022100例例：王先生是一家快餐公司在某地分公司的经理。在该地区，王先生管理着10个下属的快餐连锁店。王先生正在对这10家快餐连锁店去年的业绩进行评估，并依据或部分依据各连锁店的相对效率，提出关于这10家快餐连锁店经理年终奖的分配方案。王先生收集了反映该10家快餐连锁店效率的有关数据，见表3.36。其中，连锁店的输出包括三个项目：净利润、平均顾客满意度和增长率。连锁店的输入包括两个项目：总工作时间和生产成本。王先生
28、希望采用DEA分析这些数据，以确定每个连锁店的效率。3.3 数据包络分析 7/29/2022101连锁店序号顾客满意度净利润（百万元）增长率（%）工作时间（万小时）生产成本（千万元）193107.9136.75290148.4209.07395127.6228.69492108.0166.3159368.5167.34691410.094.43785109.0247.2889069.2173.23996156.7157.421089108.7216.35表3.36 家快餐连锁店的输入与输出数据3.3 数据包络分析 7/29/20221023.3 数据包络分析 7/29/2022123101ww
29、ww合成连锁店的满意度1234567891093909592939185909689wwwwwwwwww123456789109390959293918590968993wwwwwwwwww已知连锁店4的满意度是92，所以对应于满意度指标的约束条件是：1033.3 数据包络分析 7/29/202212310=*2*wwww合成连锁店的工作时间（连锁店1的工作时间）（连锁店 的工作时间）（连锁店3的工作时间）（连锁店10的工作时间）在DEA模型中，设合成连锁店的可用资源（即约束条件右边）等于连锁店5的相应可用资源输入量可用资源输入量乘以某个百分比百分比E。本案例中，已知连锁店5的生产成本是7.3
30、4，而7.34E表示合成连锁店的生产成本提供量。当E=1时合成连锁店的生产成本提供量为7.34，这表明合成连锁店与连锁店5具有相同的生产成本提供量；当E1时，合成连锁店比连锁店5具有更多的生产成本资源提供量；当E1时，合成连锁店比连锁店5具有较少的可用生产成本。可见，E可以直接影响合成连锁店的输入资源提供量，所以E又称为效率指数效率指数。1043.3 数据包络分析 7/29/2022可得到本案例的DEA模型（BCC模型）如下：123456789101234567891012345678912310939095929391859096899314121064106151068.47.688.51099.26.i1.7m nwwwwwwwwwwwwwwwwEwwwwwwwwwwwwstwwwww1012345678910123456789108.78.5320221616924171521169.078.696.317.344.437.283.237.426.357.30,1,2,.,10.4iwwwwwwwwwwwEwwwwwwwwwwwiE105
