1、第四章第四章机械振动基础机械振动基础机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程 4 41 1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 0l设弹簧原长为设弹簧原长为gmP在重力在重力 的作用下的作用下刚度系数为刚度系数为kst弹簧的变形为弹簧的变形为这一位置为平衡位置这一位置为平衡位置称为静变形称为静变形st/P k取重物的平衡
2、位置点取重物的平衡位置点O为坐标原点为坐标原点st()Fkkx 其运动微分方程为其运动微分方程为取取x 轴的正向铅直向下轴的正向铅直向下则则2st2d()dxmPkxtkxtxm22ddst/P k上式表明：上式表明：物体偏离平衡位置于坐标物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力比而与偏离方向相反的合力恢复力恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动mk200dd2022xtx无阻尼自由振动微分方程的标准形式无阻尼自由振动微分方程的标准形式kxtxm22dd其解具有如下形式其解具有如下形式r
3、tex 其中其中r r为待定常数为待定常数本征方程本征方程0202r本征方程的两个根为本征方程的两个根为0201iirr1r和和2r是两个共轭虚根是两个共轭虚根微分方程的解为微分方程的解为tCtCx0201sincos其中其中 和和 是积分常数，是积分常数，1C2C由运动的起始条件确定由运动的起始条件确定令：令：212221tanCCCCA)sin(0tAx无阻尼自由振动是简谐振动无阻尼自由振动是简谐振动2.2.无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点（1 1）固有频率）固有频率周期振动周期振动若运动规律若运动规律x(t)可以写为可以写为)()(TtxtxT T为常数为常数周期周期由式由式)s
4、in(0tAx00()()2tTt自由振动的周期为自由振动的周期为02T0122 fT其中其中 振动的振动的频率频率，表示每秒钟的振动次数。，表示每秒钟的振动次数。Tf1由式由式mk20mk0只与表征系统本身特性的质量只与表征系统本身特性的质量m和刚度和刚度k有关有关而与运动的初始条件无关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性它是振动系统固有的特性所以称为所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）固有角（圆）频率（一般也称固有频率）0m=P/gst/kP0stgmk0（2 2）振幅与初相角）振幅与初相角A A表示相对于振动中心点表示相对于振动中心点O O的最大位移的最大位移 振幅振幅相
5、位（或相位角）相位（或相位角）)(0t表示质点在某瞬时表示质点在某瞬时t t 的位置的位置而而表示质点运动的起始位置表示质点运动的起始位置初相角初相角设设t=t=0 0 时，时，0 xx 0)cos(dd00tAtx)sin(0tAx)sin(0tAx000202020tanxxA3.3.弹簧的并联与串联弹簧的并联与串联（1 1）弹簧并联）弹簧并联st11kF st22kF 在平衡时有在平衡时有st2121)(kkFFmg令令eqk等效弹簧刚度系数等效弹簧刚度系数steqkmg 21eqkkkeqst/kmg固有频率固有频率mkkmk21eq0 当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个当两
6、个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。（2 2）弹簧串联）弹簧串联1st1kmg22stkmg两个弹簧总的静伸长两个弹簧总的静伸长)11(212st1ststkkmg若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为eqk则有则有eqst/kmg比较上面两式得比较上面两式得21eq111kkk2121eqkkkkk固有频率为固有频率为)(2121eq0kkmkkmk当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个
7、弹簧刚度系数倒数的和。等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形4.4.其他类型的单自由振动系统其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统图为一扭振系统运动微分方程为运动微分方程为tOktJ22dd令令OtJk20则上式可变为则上式可变为0dd2022t例例 4 41 1已知：质量为已知：质量为m0.5kg0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度当物块下落高度h=0.1m=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k
8、k=0.8kN/m=0.8kN/m。倾角倾角 30求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。解：解：若物块平衡时，若物块平衡时，弹簧应有变形量弹簧应有变形量kmgsin0以物块平衡位置以物块平衡位置O为原点，为原点，取取x轴如图，运动微分方程为轴如图，运动微分方程为)(sindd022xkmgtxmkxtxm22dd通解为通解为)sin(0tAx固有频率固有频率00.8N/m 100040rad/s0.5kgkm当物块碰上弹簧时，取时间当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点，作为振动的起点m1006.31000N/m8.03
9、0sinm/s8.9kg5.03200 x2022 9.8m/s0.1m1.4m/svgh22002035.1vAxmm000arctan0.087radxv 运动方程为运动方程为mm)087.040sin(1.35tx例例 4 42 2已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m的物块时，的物块时，其静挠度为其静挠度为2mm，若将此物块在梁未变形位置处若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。无初速释放。求：系统的振动规律。求：系统的振动规律。解：解：此无重弹性梁相当于一弹簧此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的
10、刚度系数为则梁的刚度系数为stmgk 取其平衡位置为坐标原点取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下轴方向铅直向下运动微分方程为运动微分方程为kxxkmgtxm)(ddst22设设mk200dd2022xtx)sin(0tAx固有频率固有频率rad/s70st0gmk在初瞬时在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上物块位于未变形的梁上其坐标其坐标mm2st0 x重物初速度重物初速度00则振幅为则振幅为2200202vAx mm初相角初相角000arctanarctan()2xv 最后得系统的自由振动规律为最后得系统的自由振动规律为mm)70cos(2tx例例 4 43 3已知：图为一摆振系统，杆重
11、不计球质量为已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴摆对轴O 的转动惯量为的转动惯量为J，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k。杆于水平位置杆于水平位置 平衡。平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。解：解：摆于水平平衡处，摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量弹簧已有压缩量0由平衡方程由平衡方程0)(iOFMdkmgl0以平衡位置为原点，以平衡位置为原点，摆绕轴摆绕轴O的转动微分方程为的转动微分方程为ddkmgltJ)(dd022222ddkdtJJkd0例例 4 44 4已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径已知：如图所示两个
12、相同的塔轮，相啮合的齿轮半径 皆为皆为R，半径为半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅连一铅 直弹簧，轮直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆 为为J，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k，重物质量为重物质量为m。求：此系统振动的固有频率。求：此系统振动的固有频率。解：解：以系统平衡时重物的位置为原点，取以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。轴如图。22)(21221rxJxmT系统的势能为系统的势能为221kxV 不计摩擦，不计摩擦，由系统的机械能守恒由系统的机械能守恒22222121kxxrJxmVT常数常数系统动能为系统动能为上式两端对
13、时间取一阶导数，得上式两端对时间取一阶导数，得0)2(2xkxxxrJm 0)2(2kxxrJm 自由振动微分方程自由振动微分方程系统的固有频率为系统的固有频率为Jmrkr2220如图所示无阻尼振动系统如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为当系统作自由振动时，运动规律为)sin(0tAx速度为速度为00cos()xvAttdd在瞬时在瞬时t t 物块的动能为物块的动能为22220011cos()22TmvmAt 4 42 2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 若选平衡位置为零势能点，有若选平衡位置为零势能点，有PxxkV)(212st2stPkst)(sin2121022
14、2tkAkxV 对于有重力影响的弹性系统，如果以平对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。单独弹性力的势能。当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能220max21AmT当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能2max21kAV由机械守恒定律由机械守恒定律maxmaxVT可得系统的固有频率可得系统的固有频率mk
15、/0例例 4 45 5求：系统作微振动时的固有频率。求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中，摆杆已知：如图振动系统中，摆杆OA对铰链点对铰链点O的转动惯量的转动惯量J，杆的点杆的点A和和B各安置一个弹簧，刚度系数分别为各安置一个弹簧，刚度系数分别为 和和 。系统在水平位置处于平衡。系统在水平位置处于平衡。1k2k解：解：)sin(0t系统振动时摆杆的最大角速度系统振动时摆杆的最大角速度0max系统的最大动能为系统的最大动能为220max21JT选择平衡位置为零势能点选择平衡位置为零势能点最大势能为最大势能为222212221max)(21)(21)(21dklkdklkV即即222
16、21220)(2121dklkJ解得固有频率解得固有频率Jdklk22210由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有maxmaxVT例例 4 46 6求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知：如图表示一质量为已知：如图表示一质量为m，半径为半径为r的圆柱体，的圆柱体，在一半径为在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。的圆弧槽上作无滑动的滚动。解：解：1()OvRrrrR/)(系统的动能为系统的动能为1122222221111()()()222223()4OOmrRrTmvJm RrrmRr系统的势能为系统的势能为2sin)(2)cos1)(2r
17、RmgrRmgV当圆柱体作微振动时，当圆柱体作微振动时，可认为可认为22sin2)(21rRmgV设系统作自由振动时设系统作自由振动时的变化规律为的变化规律为)sin(0tA则系统的最大动能则系统的最大动能2202max)(43ArRmT系统的最大势能系统的最大势能2max)(21ArRmgV由机械守恒定律由机械守恒定律有有maxmaxVT解得系统的固有频率为解得系统的固有频率为)(320rRg1.1.阻尼阻尼 43 单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼阻尼振动过程中的阻力。振动过程中的阻力。粘性阻尼粘性阻尼当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻 力近似地与
18、速度的一次方成正比。力近似地与速度的一次方成正比。dFcv 其中：其中：c c粘性阻力系数粘性阻力系数（简称为（简称为阻力系数阻力系数）以阻尼元件以阻尼元件c c表示。表示。一般的机械振动系统一般的机械振动系统弹性元件（弹性元件（k）惯性元件（惯性元件（m）阻尼元件（阻尼元件（c）2.2.振动微分方程振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，如以平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力方程时可以不再计入重力的作用。的作用。在振动过程中作用在物块上的力有在振动过程中作用在物块上的力有（1 1）恢复力）恢复力eFkxFe（2 2）粘性阻尼力）粘性阻尼力dFt
19、xccFxddd物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为txckxtxmdddd22令令mk20mc2固有角（圆）频率固有角（圆）频率0 阻尼系数阻尼系数0dd2dd2022xtxtx有阻尼自由振动微分方程的标准形式有阻尼自由振动微分方程的标准形式其解可设为其解可设为rtex 本征方程本征方程02202rr方程的两个根为方程的两个根为2021r2022r通解为通解为trt reCeCx21213.3.欠阻尼状态欠阻尼状态0mkc2欠阻尼状态欠阻尼状态本方程的两个根为共轭复数本方程的两个根为共轭复数2201ir2202ir220esin()txAtesin()txAtd其中其中A A和和为两个积
20、分常数，由运动的初始条件确定。为两个积分常数，由运动的初始条件确定。有阻尼自由振动的固有角频率有阻尼自由振动的固有角频率220d令令设设t t=0=0，,0 xx 022000220()vxAx002200tanxx振动的振幅是随时间不断衰减的，称为振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动衰减振动。是否为周期振动呢？是否为周期振动呢？仍具有振动的特点。仍具有振动的特点。定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间称为衰减振动的所需要的时间称为衰减振动的周期周期，记为记为dT22022Tdd令令220002211()Tdmkc20
21、称为称为阻尼比阻尼比2d1TT2d1 ff20d1设在某瞬时设在某瞬时t t，振动达到的最大偏离值为振动达到的最大偏离值为A A，eitiAA经过一个周期经过一个周期 后后dT()1eitTiAAddd()1eeeiitTitTiAAAA减缩因数减缩因数相当相当振幅振幅esin()txAtd对数减缩，对数减缩，反映阻尼的参数。反映阻尼的参数。d212ln21iiATA4.4.临界阻尼临界阻尼)1(0临界阻尼状态临界阻尼状态crc临界阻力系数临界阻力系数mkc2cr本征方程的根为两个相等的实根本征方程的根为两个相等的实根1r2r微分方程的解为微分方程的解为12e()txCC t是否具有振动的特点
22、？是否具有振动的特点？其中其中 和和 为两个积分常数，为两个积分常数，1C2C由运动的起始条件决定。由运动的起始条件决定。物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置因此运动已不具有振动的特点因此运动已不具有振动的特点)1(0过阻尼状态过阻尼状态阻力系数阻力系数crcc 本征方程的根为两个不等的实根本征方程的根为两个不等的实根2021r2022r微分方程的解为微分方程的解为22220012e(ee)tttxCC5.5.过阻尼状态过阻尼状态其中其中 和和 为两个积分常数，为两个积分常数，1C2C由运动起始条件来确定由运动起始条件来确定运动图线如图运动图
23、线如图不具有振动性质不具有振动性质例例 4 47 7已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系 数为数为kt t，圆盘对杆轴的转动惯量圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受如圆盘外缘受 到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭 振的周期为振的周期为 。dT求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系解：解：设设M为阻力偶系数为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为圆盘绕杆轴转动微分方程为tJk t0kJJd2t2()2TkJJ222dd24tT k JJT例例 4 48
24、8求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg，弹簧刚度系数弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振使系统发生自由振 动，测得其相邻两个振幅比动，测得其相邻两个振幅比 。981001iiAA解：解：对数减缩为对数减缩为0202.098100lnln1iiAA阻尼比为阻尼比为0.0032152系统的临界阻力系数为系统的临界阻力系数为s/mN20N/m2000kg05.022crmkc阻力系数阻力系数s/mN0643.0cr cc 4 44 4 单自由度系统的
25、无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 在外加激振力作用下的振动称为在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。受迫振动。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力)sin(tHF其中：其中：H称为激振力的力幅，即激振力的最大值；称为激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的角频率；是激振力的角频率；是激振力的初相角；是激振力的初相角；1.1.振动微分方程振动微分方程恢复力恢复力kxFe质点的运动微分方程为质点的运动微分方程为)sin(dd22tHkxtxmmHhmk，20)sin(dd2022thxtx取物块的平衡位置为坐标原点，取物块的平衡位置为坐标原点，x
26、轴向下为正。轴向下为正。令令齐次方程的通解为齐次方程的通解为)sin(01tAx设特解有如下形式设特解有如下形式)sin(2tbx其中其中b b为待定常数为待定常数将将 代入方程代入方程2x)sin()sin()sin(202thtbtb220hb全解为全解为)sin()sin(2200thtAx)sin(dd2022thxtx上式表明上式表明无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为固有频率的自由振动第一部分是频率为固有频率的自由振动第二部分是频率为激振力频率的振动第二部分是频率为激振力频率的振动受迫振动受迫振动)sin(01tAx)sin(22
27、02thx2.2.受迫振动的振幅受迫振动的振幅（1 1）若）若0即激振力为一恒力，即激振力为一恒力，此时并不振动此时并不振动所谓的振幅所谓的振幅 实为静力实为静力H 作用下的静变形作用下的静变形0bkHhb200220hb（2 2）若）若00振幅振幅b b 随着频率随着频率单调上升单调上升当当接近接近 时，时，0振幅振幅b b 将趋于无穷大。将趋于无穷大。（3 3）若）若0b b为负值为负值b b取其绝对值，取其绝对值，而视受迫振动而视受迫振动 ，与激振力反向，与激振力反向2x随着激振力频率随着激振力频率增大，振幅增大，振幅b b 减小。减小。当当趋于趋于，振幅振幅b b 趋于零。趋于零。22
28、0hb)sin(2202thx振幅振幅b b与激振力频率与激振力频率之间的关系曲线称为之间的关系曲线称为振幅频率曲线振幅频率曲线，又称为又称为共振曲线共振曲线。将纵轴取为将纵轴取为0bb横轴取为横轴取为0振幅频率曲线如图所示振幅频率曲线如图所示3.3.共振现象共振现象当当 时，即激振力频率等于系统的固有频率时，时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅振幅b b在理论上应趋向无穷大，这种现象称为在理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振共振。0当当 时时0没有意义没有意义微分方程式的特解应具有下面的形式微分方程式的特解应具有下面的形式)cos(02tBtx02/hB220hb代入代入)sin(dd
29、2022thxtx当当 时，系统共振。时，系统共振。0受迫振动的振幅随时间无限地增大。受迫振动的振幅随时间无限地增大。其运动图线如图所示其运动图线如图所示它的幅值为它的幅值为thb02)cos(2002tthx共振时受迫振动的运动规律为共振时受迫振动的运动规律为例例 4 49 9已知：如图长为已知：如图长为l无重杠杆无重杠杆OA，其一端其一端O 铰支，另一端铰支，另一端A水水 平悬挂在刚度系数为平悬挂在刚度系数为k的弹簧上，杆的中点装有一质的弹簧上，杆的中点装有一质 量为量为m的小球，若在点的小球，若在点A A 加一激振力加一激振力 ，其中激振力的频率其中激振力的频率 ，tFFsin00210
30、为系统的固有频率为系统的固有频率忽略阻尼。忽略阻尼。求：系统的受迫振动规律。求：系统的受迫振动规律。解：解：设任一瞬时刚杆的摆角为设任一瞬时刚杆的摆角为系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为tlFklmsin)21(022 令令mklmkl4)2(2220mlFlmlFh0204)2(thsin20 可得上述方程的特解，即受迫振动为可得上述方程的特解，即受迫振动为thsin220将将 代入上式代入上式021tklFtmkmlFthsin34sin4434sin430020例例 4 41010求：当电机以匀速角速度求：当电机以匀速角速度旋转时，系统的受迫振动规律。旋转时，系统的受迫振动规律。已
31、知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上，已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上，设电机的质量为设电机的质量为 ，偏心矩为偏心矩为e e，弹性梁的刚度系数为弹性梁的刚度系数为k k。1m偏心块的质量为偏心块的质量为2m解：解：质点系动量定理的微分方程质点系动量定理的微分方程kxmtixi)(ddkxtextmtxmt)sin(dddddd21质点系包括电机和偏心块。质点系包括电机和偏心块。以平衡位置为坐标原点，以平衡位置为坐标原点，电机轴心的坐标为电机轴心的坐标为x。受迫振动振幅受迫振动振幅22122220)(mmkemhb上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示上述振
32、幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示微分方程微分方程temkxxmmsin)(2221 令令22emH 2122mmemhtmmkemthxsin)(sin221222202例例 4 41111求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数弹簧刚度系数k，测振仪放在振动物体表面，测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为将随物体而运动。设被测物体的振动规律为tessin解：解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是测振仪随
33、被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是tessin取取t t=0=0时物块的平衡位置为坐标原点时物块的平衡位置为坐标原点O取取x 轴如图轴如图sx st物块绝对运动的微分方程为物块绝对运动的微分方程为tkekxxmsin（a a）物块的受迫振动形式为物块的受迫振动形式为tbxsin此时激振力的力幅为此时激振力的力幅为H=keb b为物块绝对运动的振幅为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e e。记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅eba20220220)(1)(emkehb当当 时时00b有有ea
34、记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。4 45 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动选平衡位置选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下为坐标原点，坐标轴铅直向下线性恢复力线性恢复力eFkxFe粘性阻尼力粘性阻尼力dFtxccFddd简谐激振力简谐激振力FtHFsin质点运动微分方程质点运动微分方程tHtxckxtxmsindddd22令令mk20mc2mHh thxtxtxsindd2dd2022有阻尼受迫振动微分方程的标准形式有阻尼受迫振动微分方程的标准形式其解由两部分组成其解由两部分组成21xxx在欠阻尼在欠阻尼 的状
35、态下有的状态下有)(02210esin()txAt)sin(2tbxthxtxtxsindd2dd2022其中其中表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角)cos(sin)sin(cos)sin(sinthththth0)cos(sin2)sin(cos)(220thbthb对任意瞬时对任意瞬时t t，上式都必须是恒等式上式都必须是恒等式0cos)(220hb0sin2hbthtbtbtbsin)sin()cos(2)sin(202将上述两方程联立可解出将上述两方程联立可解出2222204)(hb2202tan于是得方程的通解为于是得方程的通解为220e
36、sin()sin()txAtbt其中其中A A和和为积分常数，由运动的初始条件确定。为积分常数，由运动的初始条件确定。受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。220esin()sin()txAtbt有阻尼受迫振动包括两部分有阻尼受迫振动包括两部分衰减振动衰减振动过渡过程过渡过程受迫振动受迫振动稳态过程稳态过程振动频率激振力的频率振动频率激振力的频率振幅频率关系曲线振幅频率关系曲线横轴表示频率比横轴表示频率比0s纵轴表示振幅比纵轴表示振幅比0bb0crcc2222204)(hb影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、m m、
37、k k和和c c。（1 1）当）当 时时0当作无阻尼受迫振动处理。当作无阻尼受迫振动处理。（2 2）当）当时)1即(0s阻尼增大，振幅下降。阻尼增大，振幅下降。20220212振幅振幅b b具有最大值具有最大值maxb这时的频率称为这时的频率称为共振频率。共振频率。220max2hb20max12bb在一般情况下在一般情况下 阻尼比阻尼比1 共振频率共振频率0共振的振幅为共振的振幅为20maxbb（3 3）当）当 时时0阻尼对受迫振动的振幅影响也较小阻尼对受迫振动的振幅影响也较小将系统当作无阻尼系统处理将系统当作无阻尼系统处理有阻尼受迫振动的相位角，总比激振力落后一个相有阻尼受迫振动的相位角，
38、总比激振力落后一个相位角位角，称为称为相位差相位差。相位差相位差随激振力频率变化曲线如图随激振力频率变化曲线如图)sin(2tbx2202tan例例 4 41212已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端已知：如图为一无重刚杆，其一端铰支，距铰支端l l处有处有 一质量为一质量为m的质点，距的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系处有一阻尼器，其阻力系 数为数为c，距距3l处有一刚度系数为处有一刚度系数为k的弹簧。并作用一的弹簧。并作用一 简谐激振力简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡。刚杆在水平位置平衡。tFFsin0试列出系统的振动微分方程，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率并求系统
39、的固有频率0以及当激振力频率以及当激振力频率等于等于 时质点的振幅。时质点的振幅。0解：解：设刚杆摆角为设刚杆摆角为，振动微分方程为振动微分方程为tlFklclmlsin3940222 tmlFmkmcsin3940 令令mlFhmcmk00329，0即系统的固有频率。即系统的固有频率。当当 时时0kmclFlcFhb44320000质点的振幅质点的振幅kmcFlbB40 4 46 6 转子的临界转速转子的临界转速使转子发生激烈振动的特定转速使转子发生激烈振动的特定转速临界转速临界转速。单圆盘转子：质量单圆盘转子：质量m，质心为质心为C，圆盘与轴的交点为圆盘与轴的交点为A，偏心距为偏心距为eA
40、C。圆盘角速度为圆盘角速度为 ，转轴，转轴弯曲偏离原来的固定轴线，点弯曲偏离原来的固定轴线，点O为为z轴与圆盘的交点，轴与圆盘的交点，。OArA设转轴安装于圆盘的中点。设转轴安装于圆盘的中点。圆盘惯性力：圆盘惯性力：OCmFI2弹性恢复力：弹性恢复力：AkrF 0mk2202erA)(22ermOCmkrAA22mkemrA使转轴挠度异常增大的转动角速度使转轴挠度异常增大的转动角速度临界角速度临界角速度。记为记为cr此时的转速称为此时的转速称为临界转速临界转速。记为记为crn 4 47 7 隔振隔振隔振分为隔振分为主动隔振主动隔振和和被动隔振被动隔振两类。两类。1.1.主动隔振主动隔振主动隔振
41、是将振源与支持振源的基础主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。隔离开来。如图所示为主动隔振的简化模型。如图所示为主动隔振的简化模型。由振源产生的激振力由振源产生的激振力隔振：隔振：将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼 元件进行隔离。元件进行隔离。减振：减振：使振动物体的振动减弱的措施。使振动物体的振动减弱的措施。tHtFsin)(按有阻尼受迫振动的理论按有阻尼受迫振动的理论物块的振幅为物块的振幅为222202222204)1(4)(ssbhb弹簧变形而作用于基础上的力弹簧变形而作用于基础上的力)sin(etkbkxF通过阻尼元件作用于基础的力
42、通过阻尼元件作用于基础的力)cos(dtcbxcF这两部分力相位差为这两部分力相位差为9090,而频率相同而频率相同它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为它们可以合成为一个同频率的合力，合力的最大值为222maxd2maxemaxN)()(cbkbFFF22maxN41skbF它与激振力的力幅它与激振力的力幅H之比为之比为222222maxN4)1(41sssHF其中其中称为称为力的传递率力的传递率在不同阻尼情况下传递率在不同阻尼情况下传递率与频率比与频率比s s 之间的关系曲线之间的关系曲线2.2.被动隔振被动隔振将需要防振的物体与振源隔开称为将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振被
43、动隔振。图为被动隔振的简化模型图为被动隔振的简化模型设地基振动为简谐振动设地基振动为简谐振动tdxsin1将引起搁置在其上物体的振动，将引起搁置在其上物体的振动，这种激振称为这种激振称为位移激振。位移激振。质点运动微分方程为质点运动微分方程为)()(11xxcxxkxm 11xckxkxxcxm 将将 的表达式代入的表达式代入1xtdctkdkxxcxmcossin )sin(tHkxxcxm 其中其中222ckdHkcarctan方程的特解（稳态振动）为方程的特解（稳态振动）为)sin(tbx2222222)(cmkckdb写成纲量为写成纲量为1 1的形式的形式2222224)1(41sss
44、db其中其中 是振动物体的位移与地基激振动位移之比是振动物体的位移与地基激振动位移之比称为称为位移的传递率位移的传递率例例 4 41313求：汽车以速度求：汽车以速度v=v=45km/h45km/h匀速前进时，车体的垂匀速前进时，车体的垂 直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？直振幅为多少？汽车的临界速度为多少？已知：如图为一汽车在波形路面行走的力学模型，已知：如图为一汽车在波形路面行走的力学模型，其中幅度的其中幅度的d=25mm，波长波长l=5m，汽车质汽车质量为量为m=3000kg，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k=294kN/m，忽略阻尼。忽略阻尼。路面的波形用公式路面的波形用公式 表示，表
45、示，12sinydxl解：解：xvt122sinsinvydxdtll令令 则则2vltdysin1其中其中相当于位移激振频率相当于位移激振频率x以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为以汽车起始位置为坐标原点，路面波形方程可以写为22 12.5m/s5rad/s5mvl系统的固有频率为系统的固有频率为rad/s9.9kg30001000N/m2940mk激振频率与固有频率的频率比为激振频率与固有频率的频率比为59.19.950s求得位移传递率为求得位移传递率为65.0)1(122sdb因此振幅因此振幅mm4.16mm2565.0db当当 时系统发生共振时系统发生共振 有有002vlcr
46、解得临界速度解得临界速度05m 9.9rad/s7.88m/s28.4km/h22radlvcr 4 48 8 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动例子：汽车的振动例子：汽车的振动00)(221222221211xkxkxmxkxkkxm 上式是一个二阶线性齐次微分方程组上式是一个二阶线性齐次微分方程组两个物块的运动微分方程两个物块的运动微分方程)()(122221221111xxkxmxxkxkxm 2212121mkdmkcmkkb，令令上列方程组的解为上列方程组的解为00212211dxdxxcxbxx ，)sin()sin(21tBxtAx，其中：其中：A A、B B是振幅
47、；是振幅；为角频率为角频率将上式代入将上式代入0)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22tdBtdAtBtcBtbAtA00212211dxdxxcxbxx ，整理后得整理后得0)(0)(22BddAcBAb，系统发生振动时，方程具有非零解系统发生振动时，方程具有非零解则方程的系数行列式必须等于零则方程的系数行列式必须等于零022ddcb频率行列式频率行列式0)()(24cbddb系统的本征方程，称为系统的本征方程，称为频率方程频率方程)()2(2222,1cbddbdb整理得整理得cddbdb222,1)2(2其中第一根其中第一根 较小，称为较小，称为第一固有频率第
48、一固有频率。1其中第二根其中第二根 较大，称为较大，称为第二固有频率第二固有频率。2结论结论两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。条件无关。对应于频率对应于频率 的振幅为的振幅为111BA，对应于频率对应于频率 的振幅为的振幅为222BA，12121111ddbcBA22222221ddbcBAcddbdb222,1)2(20)(0)(22BddAcBAb，其中其中 和和 为比例常数为比例常数12对应于第一固有频率对应于第一固有频率 的振动
49、称为第一主振动的振动称为第一主振动1它的运动规律为它的运动规律为)sin()sin(1111)1(2111)1(1tAxtAx，对应于第二固有频率对应于第二固有频率 的振动称为第二主振动的振动称为第二主振动2它的运动规律为它的运动规律为)sin()sin(2222)2(2222)2(1tAxtAx，cddbdb222,1)2(212121111ddbcBA22222221ddbcBA各个主振动中两个物块的振幅比各个主振动中两个物块的振幅比0)2(210)2(21222222221111cddbdbccbABcddbdbccbAB图图b b表示在第一主振动中振动形状表示在第一主振动中振动形状称为
50、称为第一主振型第一主振型图图c c表示在第二主振动中振动形状表示在第二主振动中振动形状称为称为第二主振型第二主振型图图c c中的点中的点C是始终不振动的节点是始终不振动的节点主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关而与振动的初始条件无关因此主振型也叫而与振动的初始条件无关因此主振型也叫固有振型固有振型.自由振动微分方程的全解为自由振动微分方程的全解为第一主振动与第二主振动的叠加第一主振动与第二主振动的叠加即即)sin()sin()sin()sin(2222111122221111tAtAxtAtAx其中包含其中包含4 4个待定常数个待定常数 21
