1、第一章 信号与系统1.1信号与系统概述信号与系统概述1.2信号及其分类信号及其分类1.3典型信号典型信号1.4连续信号的运算连续信号的运算1.5连续信号的分解连续信号的分解1.6系统及其响应系统及其响应1.7系统的分类系统的分类1.8LTI系统分析方法系统分析方法1.9基于基于MATLAB的信号描述及其运算的信号描述及其运算1.1 信号系统概述信号系统概述现代社会的人们每天都会与各种各样载有信息的信号密切接触。例如,听广播、看电视是接收带有信息的消息；发短信、打电话是为了把带有信息的消息借助一定形式的信号传送出去。信号是各类消息的运载工具，是某种变化的物理量，如电话铃声，交通红绿灯，收音机、电
2、视机、手机收到的电磁波等，并称之为声信号、光信号、电信号。不同的声、光、电信号都包含有一定的意义，这些意义统称为信息，消息中有意义或实质性的内容可用信息量度量。在自然科学，社会等诸多领域中，系统的概念与方法被广泛应用。系统泛指由若干相互作用，相互关联的事物组合而成的，具有特定功能的整体。通信、控制系统是信息科学与技术领域的重要组成部分，它们还可以组合成更复杂的系统。本书所研究的是信号通过系统进行传输、处理的基本理论和基本分析方法，通常可由图1.11所示的方框图表示。其中f()是系统的输入（激励），y()是系统的输出（响应），h()是系统特性的一种描述。“”是信号的自变量，可以是连续变量t，也可
3、以是离散变量n。图 1.1-1 信号与系统分析框图 图1.11所示信号与系统分析框图中，有激励、系统特性、响应三个变量。描述它们的有时域、频域、复频域三种方法。研究各变量的不同描述方法之间的转换关系以及三个变量之间的关系（已知其中两个求解出第三个），是“信号与系统”课程研究的主要问题。因为存在连续与离散两类不同的信号的描述，所以有连续与离散两类不同的传输、处理系统。本书采用先连续信号与系统分析，后离散信号与系统分析的顺序编排。1.2 信号及其分类信号及其分类人们用来传递信息的信号主要是电信号。电信号有许多众所周知的优点，传播速度快、传播方式多:有线、无线、微波、卫星等。日常许多非电的物理量如压
4、力、流速、声音、图像等都可以利用转换器变换为电信号进行处理、传输。本书讨论的电信号，一般是指随时间变化的电压或电流，有时也可以是电荷或磁通。为了对信号进行处理或传输，要对信号的特性进行分析研究。这既可以从信号随时间变化的快、慢、延时来分析信号时间特性，也可以从信号所包含的主要频率分量的振幅大小、相位的变化来分析信号的频率特性。当然，不同的信号具有不同的时间特性与频率特性。信号随时间变化的关系，可以用数学上的时间函数来表示，所以有时亦称信号为函数f(t)，离散信号为序列x(n)。因此本书中信号与函数、序列这几个名词通用。信号的函数关系可以用数学表达式、波形图、数据表等表示，其中数学表达式、波形图
5、是最常用的表示形式。1.确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号 信号可以用确定的时间函数来表示的，是确定性信号，也称规则信号。如正弦信号、单脉冲信号、直流信号等。信号不能用确定的时间函数来表示，只知其统计特性，如在某时刻取某值的概率的，则是随机信号。从常识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但确定性信号作为理想化模型，其基本理论与分析方法是研究随机信号的基础，在此基础上根据统计特性可进一步研究随机信号。本书只涉及确定性信号。2 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号 周期信号是依一定的时间间隔周而复始、无始无终的信号，一般表示为 f(t)=f(t+nT)n=0,1,.（1.2-1）其中
6、T为最小重复时间间隔，也称周期。不满足式（1.2-1）这一关系的信号为非周期信号。如果若干周期信号的周期具有公倍数，则它们叠加后仍为周期信号,叠加信号的周期是所有周期的最小公倍数；其频率为周期的倒数。只有两项叠加时，若 T1、T2与1、2分别是两个周期信号的周期与角频率，叠加后信号的角频率、周期的计算为 2211122122110,TNTNTTTTTNN（1.2-2a）其中N1、N2为不可约的正整数。若是大于两项叠加时，信号的角频率、周期的计算为 1212000,nnNNNNNN001N（1.2-2b）若有公因子N，则00NN（1.2-2c）T=N1T1=N2T2N3T3=NnTn其中，N1,
7、N2,Nn为正整数。若N1,N2,Nn无公因子，则 例例1.2-1 判断下列信号是否为周期信号，若是，求出其周期。(1)e1(t)=a sin5t+b cos8t；(2)e2(t)=3 cos1.2t-5 sin5.6t。解解 (1)方法一方法一：8521为有理数，且无公因子，所以，22,1885500T方法二：1228582,5202121TTTTTT(2)方法一：52,4.0146.532.11436.52.1002121TNN方法二：4.05225143,6.52,2.1202121TTTTTT 3 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 按函数的独立变量(自变量)取值的连
8、续与否，可将信号分为连续信号与离散信号。本书默认独立变量(自变量)为时间，实际工程中可为非时间变量。连续时间信号在所讨论的时间内，对任意时间值(除有限不连续点外)都可以给出确定的函数值。连续时间信号的幅值可以是连续的（也称模拟信号），也可以是离散的(只取某些规定值)，如图1.2-1所示。图 1.2-1 连续时间信号离散信号亦称序列，其自变量n是离散的，通常为整数。若是时间信号（可为非时间信号），它只在某些不连续的、规定的瞬时给出确定的函数值，其它时间没有定义，其幅值可以是连续的也可以是离散的，如图1.2-2所示。图 1.2-2 离散时间信号 图1.2-2中,为其它nnnnnx2,01.13,2
9、0211)(1000)(2nnenxanx1(n)还可简写为 x1(n)=-1 1 2 1 2-1式中小箭头标明n=0的位置。4 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 为了了解信号能量或功率特性，常常研究信号f(t)（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。在(-T/2T/2)区间信号的平均功率P为/22/21()dTTPfttT（1.2-3）在(-,)区间信号的能量E为（1.2-4）2()dEftt 如果信号f(t)的能量有界，即0E，而平均功率P=0，则它就是能量信号，例如单脉冲信号。如果信号f(t)的平均功率有界，即0P，而能量E趋于无穷大，那么它就是功率信号，例如周期正弦信号。如果有
10、信号能量E趋于无穷大，且功率P趋于无穷大，就是非能量非功率信号，例如e-at信号。也就是说，按能量信号与功率信号分类并不能包括所有信号。5.因果信号与非因果信号因果信号与非因果信号 按信号所存在的时间范围，可以把信号分为因果信号与非因果信号。当t0时，连续信号f(t)=0，信号f(t)是因果信号，反之为非因果信号；当n0时,f(t)随时间增长;a0)图 1.3-3 正弦信号图 1.3-4 单边衰减振荡信号 3.复指数信号复指数信号 f(t)=Aest （1.3-5）其中,s=+j为复数，为实部系数，为虚部系数。借用欧拉公式：Aest=Ae(+j)t=Aet e jt=Aet cost+jAet
11、 sint （1.3-6）复指数信号可分解为实部与虚部。实部为振幅随时间变化的余弦函数，虚部为振幅随时间变化的正弦函数。可分别用波形画出实部、虚部变化的情况。表示了正、余弦信号振幅随时间变化的情况；是正、余弦信号的角频率。特别地,当0时，正、余弦信号是增幅振荡；当0或t0时aatat1d)(1d)(a0、a0时为1，t0，f(t)的波形在时间t轴上整体右移t0；若t01，波形在时间t轴上压缩；|a|t0或t0时的iC(t)以及系统的初始条件vC()、vC(0+)，才能求解tt0（t0）系统的响应vC(t)。而vC()或vC(0+)与系统的初始状态vC()或vC(0-)密切相关。vC()或vC(
12、0-)是在iC(t)时刻t=或t=0-以前的作用，反映了系统在该时刻的储能。由电容与电感的对偶关系，不难得到0t0t_0t_0t_0tttiLtvLLd)(d)(1.6-4)d)(1)(d)(1)(d)(1)(d)(1)(LL0L0LttLLttLLvLtivLtivLtivLti(1.6-5a)(1.6-5b)与电容情况相同，(1.6-5)式表明电感也为动态(记忆、储能)元件。只有已知 t t0(t 0)时的 vL(t)以及系统的初始条件 iL(t0+)、iL(0+)，才能求解 tt0(t 0)系统的响应 tiL。同样的 iL(t0+)、iL(0+)与系统的初始状态 iL(t0)、iL(0)
13、密切相关，iL(t0)、iL(0)是电压 vL(t)在时刻 t=t0、t=0以前的作用（系统在该时刻的储能）。以及 1.6.3 系统的响应系统的响应 下面通过具体例题讨论系统的响应。例例1.6-2 如图1.6-2所示电路系统，且已知 vC(0-)=1/2V，C=2F,电流i(t)的波形如图1.6-3所示，求t0的响应vC(t)并绘出波形图。图 1.6-3 例1.6-2电流i(t)波形解由已知条件可见，该系统既有初始储能,也有激励，所以系统响应既有初始储能产生的部分，也有激励产生的部分。从电流i(t)波形可知，i(t)除了在t=0时刻加入，在t=1 及t=2还有变化，都可以理解为“换路”，因此在
14、t=0、t=1及t=2分别有三个初始状态vC(0)、vC(1)、vC(2)，利用该电容电压无跳变，要解出对应的三个初始条件vC(0+)、vC(1+)、vC(2+)。由此得到响应(如图1.6-4所示)为 图 1.6-4例1.62中vC(t)波形 由引起响应的不同原因，我们给出系统零输入响应与零状态响应的定义：当系统的激励为零，仅由系统初始状态（储能）产生的响应是零输入响应，记为yzi(t)或yx(t)；当系统的初始状态（储能）为零，仅由系统激励产生的响应是零状态响应，记为yzs(t)或yf(t)。上例是一阶微分方程描述的简单系统。我们看到，为了求解它的响应，除了知道系统的激励外，还需要知道系统的
15、一个初始条件。推论，若系统是由n阶微分方程描述的，则求解响应除了激励外，还必须知道系统的n个初始条件（状态）。n阶线性微分方程的一般形式为 )()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd1111011110tfbtftbtftbtftbtyatytatytatytammmmmmnnnnnn (1.6-6)当给定 y(0+),y(0+),y(n-1)(0+)，及 f(t)，可以得到 n 阶线性微分方程的完全解。为 讨 论问题方便 y(0+),y(0+),y(n-1)(0+)可简写为y(k)(0+)(k=0,1,2,)或y(k)(0+)。y(k)(0+)这样一组数据是解微分方程所需要的标
16、准初始条件。在处理实际 n 阶电路系统时，已知的储能情况，通常是由 n 个独立储能元件的初始值(电容电压、电感电流)xk(0)(k=1,2,n)(以下简写为xk(0)表示，储能元件的初始值也可简称初始状态。电路中的各独立的 iL(0)、vC(0)是xk(0)的组成部分，是我们求解零输入响应的已知条件。这样的初始状态反映了系统储能的情况，它为求 t0 的系统响应提供了以往储能的全部信息(若初始时间为 t=t0时类推)，由此而确定的响应是系统的零输入响应。虽然初始状态一般有xk(0)=xk(0+)，但通常xk(0)不能全部直接用于系统微分方程求解，所以也称其为非标准初始条件。例如一阶 RC 或 R
17、L 电路中，待求的响应是电阻电压。而已知的初始状态，是电容上的电压 vC(0)或电感上的电流 iL(0)，即非标准化初始条件。通过xk(0)及 0+初始值等效电路，可以确定系统零输入时的标准初始条件 y(k)(0+)，即可以将非标准化初始条件转换为标准化初始条件。有关初始条件标准化的具体内容将在第 2 章讨论。因为零输入响应是由初始状态xk(0)产生的，零状态响应是由激励 f(t)产生的，所以也有教材将零输入响应记为 yx(t)；零状态响应记为 yf(t)。1.7 系系 统统 的的 分分 类类 1.7.1 动态系统与静态系统动态系统与静态系统 含有动态元件的系统是动态系统，如RC、RL电路。没
18、有动态元件的系统是静态系统也称即时系统，如纯电阻电路。动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻以前的激励有关；静态系统在任意时刻的响应仅与该时刻的激励有关。描述动态系统的数学模型为微分方程，描述静态系统的数学模型为代数方程。1.7.2 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。例如系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为f(t)=dy(t)/dt，
19、这是一阶微分方程，而响应与激励的关系 是积分关系，则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也称为物理可实现系统。d)()(ftyt 如果响应出现在激励之前，那么，系统为非因果系统，也称为物理不可实现系统。书中一般不特别指明均为因果系统。例如图1.7-1(a)所示系统的响应与激励的关系为y1(t)=f1(t1)，响应出现在激励之后，系统是因果系统；如图1.7-1(b)所 示 系 统 的 响 应 与 激 励 的 关 系 为y2(t)=f2(t+1)，响应出现在激励之前，那么它是非因果系统。图 1.7-1 (a)因果系统；(b)非因果系统 一般由模拟元器件如电阻、电容、电感等组成的实际物理系统
20、都是因果系统。在数字信号处理时，利用计算机的存储功能，可以逼近非因果系统，实现许多模拟系统无法完成的功能，这也是数字系统优于模拟系统的一个重要方面。另外，t0时为零的信号也称为因果信号。对于因果系统，在因果信号激励下，响应也是因果信号。1.7.3 连续时间系统与离散时间系统连续时间系统与离散时间系统 激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统，也称数字系统。普通的电视机是典型的连续时间系统，而计算机则是典型的离散时间系统。随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系统是既有连续时间系统又有离散时间系统的混合系统。如图1.7-
21、2所示为一个混合系统。图 1.7-2 混合系统 1.7.4 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 “线性”系统是满足叠加性与比例(齐次或均匀)性的系统。考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还有系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件。1.分解性分解性 系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一定可以分解为零输入响应与零状态响应，即系统响应可表示为 y(t)=yzi(t)+yzs(t)（1.7-1）式中，yzi(t)是零输入响应，yzs(t)是零状态响应。2.零输入线性零输入线性 输入为零时，由各初始状态x1(0),x2(0),.,xn(0)引起的响应满足叠加性与比例性，若
22、 xk(0-）yz i k(t)(k=1 n)t0 则 0)1()()0(zi11tnktyaxakknkkknk(1.7-2)式（1.7-2）可用图1.7-3的方框图表示。图 1.7-3 零输入线性 3.零状态线性零状态线性 初始状态为零时，由各输入激励f1(t),f2(t),.,fm(t)引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性），若 fi(t)u(t)yzsi(t)u(t)则 11()()()()mmiiizsiiib f t u tb yt u t(1.7-3)式（1.7-3）可由图1.7-4的方框图表示。图 1.7-4 零状态线性 不满足上述任何一个条件的系统就是非线性系统。如果线性系统
23、还是因果系统，那么由tt0，f(t)=0可以得到 y(t)=0 t0 (2.2-4)由式(2.2-4)可知，此时解的一般模式取决于特征根，而解的系数由初始条件确定。二阶齐次微分方程的一般算子形式为 (p2+a1p+a0)y(t)=0 y(0-),y(0)(2.2-5)由p2+a1p+a0=(p-1)(p-2)=0，得到二阶系统的两个特征根1、2。与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根1、2，其表达式为 (2.2-6)0)(2121teCeCtytt式中,系数C1、C2由两个初始条件y(0)、y(0)确定。y(0)=C1+C2 y(0)=1C1+2C2(2.2-7)解此
24、方程组,求出C1、C2,从而确定了二阶系统的零输入响应。以上是二阶系统特征根不同的情况，如果p2+a1p+a0=(p-)2=0，特征根相同，则是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为 y(t)=C1et+C2tet t0 (2.2-8)系数C1、C2仍由两个初始条件y(0),y(0)确定 y(0-)=C1 y(0-)=C1+C2 n阶齐次微分方程的算子形式为 (pn+an-1pn-1+.+a1p+a0)y(t)=0 y(0),y(0)y(0),.,y(n-1)(0)(2.2-9)由特征方程 D(p)=pn+an-1pn-1+.+a1p+a0=(p-1)(p-2).(p-n)=0 得到n个特征
25、根1、2、.、n，n阶齐次方程解的模式取决于这n个特征根，表达式为0)(12121teCeCeCeCtynititnttin(2.2-11)n个系数C1、C2、.、Cn由n个初始条件y(0)、y(0)y(0)、.、yn-1(0)确定。y(0)=C1+C2+.+Cn y(0)=1C1+2C2+.+nCn yn-1(0)=1n-1C1+2n-1 C2+.+nn-1Cn (2.2-12)式(2.2-11)可用矩阵形式表示为421112114211111)0()0()0(CCCyyynnnnn(2.2-13)常数C1、.、Cn可用克莱姆法则解得，或用逆矩阵表示为12124111112111(0)(0)
26、(0)nnnnnnCyCyCy (2.2-14)若n阶系统的特征方程为 D(p)=(p-1)k(p-k+1）(p-n)=0(2.2-15)则此时1为k重根，其余均为单根。重根1对应齐次解的一般形式为 1112()tkkCC tC te(2.2-16)当只有一个特征根1为k重根时，齐次通解yzi(t)的一般形式为 11zi121()()einttkkii kytCC tC tC e(2.2-17)若还有其他特征根是重根的，处理方法与1为重根时相同。有重根时求解系数的n个方程不再是线性方程，虽无法用矩阵表示，但仍可据此方法得到零输入响应的n个系数。例2.2-1 已知系统的传输算子H(p)=初始条件
27、yzi(0)=1，试求系统的零输入响应。解解 特征根1=-3,2=-4 由式(2.2-8)，零输入响应形式为 yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t t0 将特征根及初始条件y(0)=1，y(0)=2代入式(2.3-6)1=C1+C2 2=-3C1-4C2 2)0(ziy)4)(3(2)(ppppH 解出 C1=6 C2=-5 yzi(t)=6e-3t-5e-4t t0)4)(3(2)(ppppH最后 例2.2-2 已知电路如图2.2-1所示，开关K在t=0时闭合，初始条件i2(0-)=0，i2(0-)=-1 A/s。求零输入响应i2(t)。图 2.2-1 例2.2-2电路1212(1)()
28、1(1)0piie tiip (p+1)i1-i2=e(t)-pi1+(p+1)i2=0 解解 先求e(t)i2(t)时的H(p)22221313()()22222121()0()1111()11313()1(j)(j)2222()jtjtzipe tppe tippppppH pppD pppppitC eC e 3131123212321)0(0)0(21212212jCjCCjCjiCCi解出 代初始条件 则 2.2.2初始条件标准化初始条件标准化 n阶电路系统的储能情况，通常由n个独立储能元件的初始状态xk(0-)表示。在求零输入响应时，需要把这样的初始状态，即非标准初始条件转变为所需
29、要的零输入响应标准初始条件y(k)zi(0+)(k=0,1,2,n-1)，这个过程就叫做零输入响应初始条件标准化，简称初始条件标准化。利用系统储能元件上的初始状态一般不会突变，即xk(0-)=xk(0+)，以及借助换路后0+瞬间的电路方程，可以将系统的非标准初始条件转变为标准化初始条件。举例说明初始条件如何标准化。图 2.2-2 例2.2-3电路例2.2-3 已知电路如图2.2-2，且iL(0-)=1 A，vC(0-)=10 V，求izi(t)。解2265()()(56)()()()()56()(2)(3)pi tf tpppi tpf tpf ti tpppH ppp D(p)=(p+2)(
30、p+3),1=-2,2=-3 izi(t)=C1e-2t+C2e-3t t0d()5()()()dCi ti tvtf tt标准初始条件应为 izi(0+)与 izi(0+)，这就需要将两个已知的非标准初始条件 iL(0)、vC(0)转变为标准初始条件 izi(0+)、izi(0+)。此电路中的电感电流及电容电压不会突变，即有 vC(0)=vC(0+)=10V、iL(0)=iL(0+)。又因为 i(t)=iL(t)，所以可得到 iL(0+)=izi(0+)=1A(标准初始条件之一)；而 izi(0+)就需要由 0+电路及非标准初始条件解出。列电路方程为：令t=0+代入上式，得 5i(0+)+i
31、(0+)+vC(0+)=0 将vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有 5+10+i(0+)=0 由上式解得标准初始条件为i(0+)=1 A及 i(0+)=-15 A/s，解出131215321213121CCCCCC代入izi(t)得到izi(t)=-12e-2t+13e-3t t0图 2.2-3 例2.2-4电路 例例2.2-4 电路如图2.2-3所示，已知iL(0)=1 A，vC(0)=1 V，求i2zi(0+)，i2zi(0+),i2zi(t)。解解 此题也有非标准化初始条件转化为标准化初始条件的问题。由网孔KVL方程组：11212()()()()0CdLiR iie t
32、dtR iivt将e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C参数值代入，得到 i1(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0 (A)-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0 (B)由式(B)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(A)对式(B)求导2111(0)(0)0(0)(0)1A/siiii 0)0()0()0(21CviisAivii/1)0()0()0()0(112得到标准化初始条件：sAii/10)0(22，与例2.2-2的标准化初始条件相同，解得结果相同，不再重复。因为 ，代入上式0)0(0)0(|dd20CtCitC 2.3 LTI因果系统的零状态响应
33、因果系统的零状态响应 2.3.1 单位冲激响应单位冲激响应h(t)输入为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应定义为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图2.3-1所示。h(t)由传输算子表示为 h(t)=H(p)(t)(2.3-1a)或 记 为 (t)h(t)(2.3-1b)图 2.3-1 单位冲激响应 n阶线性系统的传输算子为 11101110()()()mmmmnnnb pbpb pbN pH ppapa paD p(2.3-2)为分析简便，更突出求解单位冲激响应的基本方法，假设H(p)的分母多项式D(p)均为单根，将分母多项式D(p)分解，并代入式(2.3-1a)，得到)()(
34、)()()(21tppppNthn 将其展开为部分分式之和1212121211()()()()()()()nnnnnniiiiiAAAh ttpppAAAtttpppAth tp(2.3-3a)(2.3-3b)式中()()iiiAh ttp(2.3-3c)式(2.3-3b)中的系数A1An由待定系数法确定，上式表明一个n阶系统可以分解为n个一阶子系统之和。首先讨论一阶系统的单位冲激响应的一般表示，再将结果推广至高阶系统。式(2.3-3c)是一阶子系统的单位冲激响应的算子表示。由式(2.3-3c)，分别得到一阶系统的算子方程及微分方程为()()()d()()()diiiiiiiph tAth t
35、h tAtt(2.3-4a)(2.3-4b)对式(2.3-4b)的微分方程求解，先在式(2.3-4b)的等式两边同时乘以 tied()e()()ediiiYtttiiiih th t eAtt 得到了hi(t)的全微分，即tiede()e()()diitiiih thAtt对上式两边同时积分 0_0_0_e()d()de()|()e()(0_)()iiittiitiitiiihAhAu th thAu t 由于因果系统的hi(0-)=0，因此一阶子系统冲激响应的一般项为()()()itiiiiiAHph tAe u tp(2.3-5)代入式(2.4-3b)，得到n阶系统的单位冲激响应为)()(
36、)()(121121tuektuekekekththtinitnttiniin(2.3-6)例2.3-1 求例2.1-6系统单位冲激响应h(t)。解解 例2.1-6的传输函数由待定系数法分解为 3322)3)(2()(ppppppH利用式(2.4-5)，可得 h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)图 2.3-2 例2.3-2电路 例2.3-2 如图2.3-2所示电路，输入为电流源i(t)，输出为电容电压vC(t)，试求系统的冲激响应h(t)。解解 由广义KCL列算子节点方程)(107)7(10)()(1.071)()()(1.07)()()()(2tippptvtipptvtitpptv
37、tititiCCCCCL)(e320e350)(53/2033/5052)5)(2()7(10107)7(10)(52212tuthpppkpkpppppppHtt表2-2列出了部分H(p)与其对应的h(t)，可以直接应用。表2-1 H(p)所对应的h(t)2.4.2 系统的零状态响应系统的零状态响应yzs(t)当系统的初始状态（储能）为零时，其响应是零状态响应yzs(t)。利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不变性、比例性以及积分特性，我们可以得到因果系统的零状态响应yzs(t)。根据LTI系统的时不变性，当输入移位时，(t)h(t)输出也移位，可以得到 (t-)h(t-)(2.3-7)
38、根据LTI系统的比例性，当输入乘以强度因子f()时，输出也乘以强度因子f()，又得到 f()(t-)f()h(t-)(2.3-8)最后利用LTI系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，可以得到 00()()d()()d()()ttzsftfh tf tyt 式(2.3-9)得到的正是因果系统的零状态响应yzs(t)。我们注意到，这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，故称之为时域法；又由于式(2.3-9)是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。当已知f(t)、h(t)时，系统的零状态响应可用式(2.3-9)的卷积计算。卷积计算时，积分变量为，t仅是参变量，计算时
39、按常数处理。即 d)()()(0thftytzs(2.3-9)卷积计算的具体步骤：第一步是变量转换，将f(t)变为f()，h(t)变为h(t)；第二步是将f()与h(t)两个函数相乘；第三步确定积分上、下限，也就是找到f()h(t)相乘后的非零值区；最后，对f()h(t)积分得出零状态响应yzs(t)。图 2.3-3 例2.3-3电路 例2.3-3 如图2.3-3所示电路，已知激励f(t)=u(t)，用时域法求i(t)。解解 (pL+R)i(t)=f(t)()(11)()()(tuethppHRpLtftit 将f(t)、h(t)代入式(2.4-9)()0()()000()()()d()e()
40、de()()dd()e e|()e(e1)()(1 e)()tttttttttttti tfh tuu tuu teu tu tu tu t 从以上求解过程，可以看到时域法是利用系统的冲激响应，借助卷积积分来完成系统的零状态响应求解。2.4 卷积及其性质卷积及其性质 2.5.1 卷积卷积 卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数y(t)。这个关系表示为d)()()()()(2121tfftftfty(2.4-1)式(2.4-1)是卷积的一般形式，与2.4节式(2.4-9)公式比较，若令f1()=f()，f2(t)=h(t)，则变量置换、
41、相乘、积分等运算相同,仅积分限不同。下面说明两者不同的原因，即当f1(t)、f2(t)受到某种限制时，由卷积的一般公式可以得到与式(2.4-9)相同的表示式。设f1(t)为因果信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限，则有 121212()()()()()d()()df tf tfuf tff t(2.4-2)再设f2(t)为因果信号，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限，则dtffdtutfftftf)()()()()()()(212121 最后设f1(t)、f2(t)均为有始信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)，将上面
42、的结果代入式(2.5-1)，不难得到 式(2.4-3)是在因果信号、因果系统条件下卷积公式的特例。12120()()()()d0tf tf tff tt(2.4-3)2.4.2 任意函数与任意函数与(t)、u(t)卷积卷积 (1)f(t)*(t)=f(t)(2.5-4)证 d)()()(d)()(d)()()()(1tftfttftfttf 从f(t)与(t)卷积结果可知(t)是卷积的单位元。(2)f(t)*(t-t1)=f(t-t1)(2.4-5)证)(d)()(d)()()()(11111ttfttttfttftttf 由式(2.4-5)可知，任意函数与(t-t1)卷积，相当于该信号通过一
43、个延时（移位）器，如图2.4-1所示。图 2.4-1(3)()()()df tu tf(2.4-6)由式(2.4-6)可知，任意函数与u(t)卷积，相当于信号通过一个积分器，如图2.4-2所示。图 2.4-2 2.4.3 卷积的性质卷积的性质 1.时移时移 f(t t0 t1)=f1(t t0)*f2(t t1)=f1(t t1)*f2(t t0)=f1(tt0 t1)*f2(t)=f1(t)*f2(t t0 t1)(2.4-7)证 d)()()()(12011201ttftfttfttf 令-t0=x，代入上式，得102112011201()()()()d()()f ttf ttf x f
44、txttf tf ttt 同理可证式(2.4-7)的其它形式。当f1(t)、f2(t)、f3(t)分别满足可积条件时，一些代数性质也适合卷积运算。2.交换律交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2.4-8)证 12122121()()()()d()()d()()df tf tff tff txff t（令t-=x,d=-dx）（再令x=）f2(t)*f1(t)也称为卷积的第二种形式，式(2.4-8)实际应用意义如图2.4-3所示。图 2.4-3 交换律的实用定义 3.分配律分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2.4-9)
45、证证12312312131213()()()()()()d()()d()()d()()()()f tf tf tff tf tff tff tf tf tf tf t式(2.4-9)实际应用意义如图2.4-4所示。图 2.4-4 分配律的实用定义 4.结合律结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)(2.5-10)证123123123()()()()()d()d()()()d df tf tf tfff tfff t 令-=x，=+x，d=dx，代入上式123123()()()d d()()()ffx f txxf tf tf t式(2.5-10)实际应用意
46、义如图2.5-5所示。图 2.5-5 结合律的实用定义 2.4.4 卷积的图解法卷积的图解法 卷积的图解法是计算卷积的基本方法，优点是可以直观确定积分限、积分条件，并且作图方便。图解法具体步骤为 (1)f(t)f()，函数图形不变，仅t。(2)h(t)h(t-)，它包括两部分运算:折叠h(t)h()h(-)；移位 ，t是h()与h(t )之间的“距离”。(3)将折叠移位后的图形h(t )与f()相乘。(4)求h(t)与f()相乘后其非零值区的积分（面积）。举例说明图解法的具体应用方法。t0 右移 例2.4-1 f(t)、h(t)如图2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。图 2.4-6
47、 例2.4-1的f(t)、h(t)解解 具体计算如图2.5-7所示。)2(1 2)1(1 2)2(2)2()1(1 2)()2(2)1(2)1(2)2(2)1(2tueEtueEtueeEtutueEtyttttt图 2.4-7 例2.4-1图解法示意图 2.5.5 卷积的微分、卷积的微分、积分性质积分性质 与信号的运算相似，卷积也有微分、积分性质，但与信号的微分、积分运算有所区别。(1)微分121212ddd()()()()()()dddf tf tf tf tf tf tttt(2.4-11)证)(dd)(d)(dd)(d)()(dd212121tfttftftftfft由卷积的第二种形式
48、，同理可证1212dd()()()()ddftf tf tf ttt式(2.4-11)表示对两个函数的卷积函数微分，等于对其中一个被积函数微分后再卷积。d)()(d)()(d)()(122121ftfftfffttt(2.4-12)(2)积分 证证 d)()(d d)()(dd)()(d)()(21212121ftffffffftttt由卷积的第二种形式同理可证 d)()(d)()(1221ftffftt (3)微、积分性。若 y(t)=f1(t)*f2(t)则 y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)(2.4-13)其中,i、j取正整数时为导数的阶次；i、j取负整数时为重积分的
49、阶次。特别地,d)(d)(dd)(d)(d)()()(122121fttffttftftftytt(2.4-14)证)()(d)()(dd)(dd)(dd)()(ddd)(d)(d2121212121tftftffftffftfttfttt 利用式(2.4-14)的结果，可由f(t)与h(t)的卷积公式，推出f(t)与阶跃响应g(t)的卷积公式，即()()()()()d()()ty tf th tf thf tg t(2.4-15)式中，g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态响应，也简称单位阶跃响应。例2.4-2 f(t)、h(t)如图2.5-6所示，用微、积分性质求y(t)=f(t)*h(t)
50、。22()(1)(2)1()()d(1 e)()2ttf tEttg teuu tf(t)和g(t)如图2.4-8所示。图 2.4-8 例2.4-2的f(t)和g(t)结果与例2.4-1相同。2.5 LTI因果系统的全响应及其分解因果系统的全响应及其分解 2.5.1 全响应全响应 由前两节的分析可知，用系统的储能及激励可分别求出系统的零输入响应和零状态响应，系统的全响应y(t)为两者之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)(2.5-1)y(t)对应的标准初始条件为y(k)(0+)。利用线性系统的可分解性，可以将标准全响应初始条件y(k)(0+)分解为标准零状态初始条件及标准零输入初始条件
