1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲传真 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 .2.能进行弧度与角度的互化 .3.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 (对应学生用书第 39 页 ) 基础知识填充 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)分类? 按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 .按终边位置不同分为 象限角 和轴线角 . (3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S | k360 ， k Z 2弧度制的定义和公式 (1)定义：
2、在单位圆中，长度为 1的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧度数是 0. (2)公式 角 的弧度数公式 | | lr(弧长用 l 表示 ) 角度与弧度的换算 1 180 rad； 1 rad ? ?180 弧长公式 弧长 l | |r 扇形面积公式 S 12lr 12| |r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos yx叫做 的正切，记作tan 各象限符号 =【
3、 ;精品教育资源文库 】 = 三角函 数线 有向线段 MP 为正弦线 有 向线段 OM为余弦线 有向线段 AT 为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义 (推广 ) 设 P(x， y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin yr，cos xr， tan yx(x0) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)小于 90 的角是锐角 ( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然 ( ) (3)角 的三角函数值与终边上点 P 的位置
4、无关 ( ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2017 西宁复习检测 (一 )若 cos 0，且 sin 2 0，则角 的终边所在象限为 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 D 由 cos 0， sin 2 2sin cos 0得 sin 0，则角 的终边在第四象限，故 选 D 3 (教材改编 )已知角 的终边与单位圆的交点为 M? ?12， y ，则 sin ( ) 【导学号： 00090079】 A 32 B 32 C 22 D 22 B 由题意知 |r|2 ? ?12 2 y2 1，所以 y 32 .
5、由三角函数定义知 sin y 32 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4在单位圆中， 200 的圆心角所对的弧长为 ( ) A 10 B 9 C 910 D 109 D 单位圆的半径 r 1,200 的弧度数是 200 180 109 ，由弧长公式得 l 109 . 5终边在射线 y x(x 0)上的角的集合是 _ ? ? 2k 34 ， k Z 终边在射线 y x(x 0)上的一个角为 34 ，从而所求角的集合为? ? 2k 34 ， k Z (对应学生用书第 40 页 ) 角的有关概念及其集合表示 (1)若角 是第二象限角，则 2 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象
6、限角 D第二或第四象限角 (2)已知角 的终边在如图 311 所示阴影部分表示的范围内 (不包括边界 )，则角 用集合可表示为 _ 图 311 (1)C (2)2k 4 ， 2k 56( k Z) (1) 是第二象限角， 2 2k 2k ， k Z， 4 k 2 2 k ， k Z. 当 k 为偶数时， 2 是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2 是第三象限角 综上， 2 是第一或第三象限角 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)在 0,2) 内，终边落在阴影部分角的集合为 ? ? 4 ， 56 ， 所求角的集合为 ? ?2k 4 ， 2k 56 (k Z) 规律方法 1.与角 终边相同的角
7、 可以表示为 2k (k Z)的形式， 是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用 2由 所在象限，判定 2 所在象限，应先确定 2 的范围，并对整数 k 的奇、偶情况进行讨论 变式训练 1 (1)终边在直线 y 3x 上的角的集合是 ( ) 【导学号： 00090080】 A? ? 3 2k ， k Z B? ? 23 2k ， k Z C? ? 3 k ， k Z D? ? 23 k ， k Z (2)已知角 45 ，在区间 720 ， 0 内与角 有相同终边的角 _. (1)D (2) 675 或 315 (1)在 (0， ) 内终边在直线 y 3x
8、上的角为 23 ，所以终边在直线 y 3x 上的角的集合为? ? 23 k ， k Z . (2)由终边相同的角的 关系知 k360 45 ， k Z， 取 k 2， 1，得 675 或 315. 扇形的弧长、面积公式 (1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解 (1)设圆心角是 ，半径是 r，则 ? 2r r 10，12 r2 4， 解得 ? r 1， 8 (舍去 )或 ? r 4， 12， 扇形的圆心角为 12. (2)设圆心角是 ，半径是 r，则 2r r 40. =【 ;精品教育资源文库 】
9、 = 又 S 12r 2 12r(40 2r) r(20 r) (r 10)2 100100. 当且仅当 r 10 时， Smax 100，此时 210 10 40， 2， 当 r 10， 2 时，扇形的面积最大 规律方法 1.(1)在弧度制下，计算扇形 面积和弧长比在角度制下更方便、简捷； (2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值问题 (如本例 )或不等式问题来求解 2利用公式： (1)l R ； (2)S 12lR； (3)S 12R 2.其中 R 是扇形的半径， l 是弧长， (0 2) 为圆心角， S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量 变式训练 2 (1
10、)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A 6 B 3 C 3 D 3 (2)若扇形的圆心角 120 ，弦长 AB 12 cm，则弧长 l _cm. (1)D (2)8 33 (1)如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角 AOB 23 ， 作 OM AB，垂足为 M， 在 Rt AOM 中， AO r， AOM 3 ， AM 32 r， AB 3r， l 3r， 由弧长公式得 lr 3rr 3. (2)设扇形的半径为 r cm，如图 由 sin 60 6r，得 r 4 3 cm， l | | r 23 4 3 8 3
11、3 cm. =【 ;精品教育资源文库 】 = 三角函数的定义 (1)(2018 天水模拟 )若角 的终边经过点 P( 3， m)(m0) 且 sin 24 m，则cos 的值为 _ (2)点 P 从 (1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 23 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为_ 【导学号： 00090081】 (1) 64 (2)? ? 12， 32 (1)由题意知 r 3 m2， sin m3 m2 24 m， m0 ， m 5， r 3 m2 2 2， cos 32 2 64 . (2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标 (x， y)满足 x cos 23 12， y sin 23 3
12、2 . Q 点的坐标为 ? ? 12， 32 . 规律方法 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题 变式训练 3 (1)(2018 合肥模拟 )已知角 的终边经过点 P( x， 6)，且 cos 513，则 x _. (2)已知角 的终边上一点 P? ?sin56 ， cos56 ，若 ( ， 0)，则 _. (1)52 (2) 3 (1)cos xx2 36 513，解得 x 52，或 x 52，又 x 0，即 x 0，所以 x 52. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)法一：点 P 的坐标为 P? ?12， 32 ，点 P 到原点 O 的距离 r 1，从而 cos 12，又 ( ， 0)，所以 3. 法二：由 sin256 cos256 1 得 cos sin56 cos? ? 2 56 cos? ? 3 ，又 ( ， 0)， 所以 3.
