1、第七章第七章 线性离散系统分析线性离散系统分析 线性离散系统的基本概念线性离散系统的基本概念 A/DA/D转换与采样定理及转换与采样定理及D/AD/A转换转换 Z Z变换变换 脉冲传递函数脉冲传递函数 线性离散系统稳定性分析线性离散系统稳定性分析 线性离散系统的时域分析线性离散系统的时域分析 主要内容主要内容v了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；统与线性离散系统的区别与联系；v熟练掌握熟练掌握Z Z变换、变换、Z Z变换的性质和变换的性质和Z Z反变换方法反变换方法v了解脉冲传递函数的定义，熟练掌
2、握开环与闭环系统脉冲传了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法；递函数的计算方法；v掌握线性离散系统的时域分析方法掌握线性离散系统的时域分析方法学习重点离散系统离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码离散系统类型：离散系统类型：采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续数字系统数字系统 时间离散，数值量化时间离散，数值量化7.1 线性离散系统的基本概念 计算机控制系统的描述方法计算机控制系统的描述方法 计算机控制系统计算机控制系统 字长足够字长足够 认为认为 e*(kt)=e(kt)（1 1）A/D 过程过程 采
3、样采样 时间上离时间上离散散量化量化 数值上离数值上离散散 t T t T 认为采样瞬时完成认为采样瞬时完成理想采样过程理想采样过程 开关打开时，没有输出；开关打开时，没有输出；开关闭合时才有输出，其值等于采开关闭合时才有输出，其值等于采样时刻的样时刻的 的模拟值。的模拟值。()f t（2 2）计算过程描述）计算过程描述 零阶保持器零阶保持器 (ZOH)（3 3）D/A 过程过程解码解码 复现复现 7.2.1 7.2.1 信号采样信号采样(1)(1)理想采样序列理想采样序列 0)()(nTnTtt :)2(L 0)()(nnTtte)()()(*tteteT )()(*teLsE 0)()(n
4、nTtnTe 0)()(nnTtnTeL 0)(nnTsenTe7.2 信号采样与保持信号采样与保持 0*)()(nnTsenTesE)(1)(tte 例例1 1，求，求 )(*sE 0*1)(nnTsesE解解 TsTsee21aTTsTsTaseeee )(11atete )(例例2 2，求，求 )(*sE 0*)(nnTsanTeesE解解 111 TsTsTseee 0)(nnTase(3)(3)傅氏变换傅氏变换 T T(t)是周期函数，可展开为傅氏级数是周期函数，可展开为傅氏级数 ntjnnTdtcts e)(22e)(1TTtjnTndttTcs Ts 2 TdttT11)(100
5、 1()esjntTntdtT ntjnTsteTttete e)(1)()()(*1()esjntne tT*1()()e(sjntnL e tLe tE sT1()snE sjnT)(1)(*nsjnsETsE 0*)()(nnTsenTesE连续信号连续信号 )(te离散信号离散信号 )(*teF F连续信号连续信号e(t)与与离散信号离散信号e*(t)的频谱分析的频谱分析 F F频谱频谱 信号按频率分解后的表达式信号按频率分解后的表达式 采样频率应大于等于原始信号最大采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即频率的二倍，即由采样得到的离散信号能无失真的由采样得到的离散信号能无失真的恢
6、复到原来的连续信号。恢复到原来的连续信号。max2shsT 22 香农香农(Shannon)采样定理采样定理 信号完全复现的必要条件信号完全复现的必要条件hsT 22 理想滤波器理想滤波器采样开关采样开关hs 2 hsT 22 hT 4.4.信号的复现信号的复现D/AD/A转换转换(1)(1)信号复现信号复现 把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。(2)(2)信号复现方法信号复现方法加入理想滤波器加入理想滤波器 （理论上）（理论上）()G j加入保持器加入保持器 （实际上）（实际上）为了从离散信号复现出连续信号，需要考虑：为
7、了从离散信号复现出连续信号，需要考虑：理论上能否从离散信号恢复到原连续信号？理论上能否从离散信号恢复到原连续信号？在实际中采用什么样的保持器？在实际中采用什么样的保持器？零阶保持器零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器最简单最常用的是零阶保持器(zero-order hold，简记为，简记为ZOH)，它与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小以及易于，它与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。工程实现等优点。7.2.2 7.2.2 零阶保持器零阶保持器 D/A:用用 ZOH 实现实现setkLsGTsh 1)()()(1)(1)(Ttttk 22)2sin()(tjhett
8、TjG )()()(sin2)(sjssshejG Ts 2 零阶保持器对系统的影响零阶保持器对系统的影响sesGTsh 1)(2Tse 7.3 Z7.3 Z变换变换1.Z变换的定义变换的定义2.Z变换的方法变换的方法3.Z变换的性质变换的性质4.Z反变换反变换0()()()kftf ttkT采 样 函 数00()()()()()kTskkL ftFsLf kTtkTf kT e0()()()TskkeZ ftF zf kT z令z，则上式变为此式称为离散信号此式称为离散信号 的的Z变换变换。Z变换变换是离散信号的拉氏变换的一种变形，可由拉氏变换导出，是离散信号的拉氏变换的一种变形，可由拉氏变
9、换导出，又称为又称为采样拉氏变换采样拉氏变换()ft1.Z1.Z变换的定义变换的定义两点说明 离散信号离散信号f f*(t)(t)由对连续信号由对连续信号f(t)f(t)采样得到，所以习惯上称采样得到，所以习惯上称F(z)F(z)是是f(t)f(t)的的Z Z变换，实际上是指变换，实际上是指f(t)f(t)经采样后得到的离经采样后得到的离散信号散信号f f*(t)(t)的的Z Z变换。变换。同样，习惯上也称同样，习惯上也称F(z)F(z)是是F(s)F(s)的的Z Z变换。变换。F(s)F(s)是是 f(t)f(t)的的L L变换的记号，变换的记号，F(z)F(z)是是f(f(kTkT)的的Z
10、 Z变换的记号变换的记号 F(z)F(s)|s=z F(z)F(s)|s=z；n 级数求和法级数求和法n 部分分式法部分分式法n 留数计算法留数计算法2.Z2.Z变换的方法变换的方法例例 求求1*（t）的）的Z变换变换。00121()1()1()1(|1)11kkF zZtkT zzzzzZzz解：(1)(1)级数求和法级数求和法例例 求求 的的F(z)。ate 00122011(|1)1akTkaTaTkaTaTaTF zeze zezezze Zezze解：例例 求解求解 的的Z变换变换。()()aF ss sa 1111()(1)()1(1)()ataTaTaTABF sssassaLF
11、 stezzzeF zzzezze解：因为而所以(2)(2)部分分式法部分分式法 首先把首先把F(S)F(S)分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式求求Z变换。变换。例例 求求sin)(tZzF221()221111112121122sin11111()2 12 1sinsin11 2cosjtj Tj Tj Tj TjjLtssjsjLesjF zzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以(3)(3)留数计算法留数计算法)(e)(ddlim)!1(1e)(Res )(e)(lime)(Res e)(Res)()(11ssss1ssiiiri
12、sTrrsssTiisTsssTinisTisszzsXsrzzsXsrsszzsXzzsXszzsXzXssXii重极点非重极点。的极点是设例。求)(,)2()1()32()(2zXsssssXTTTsTssTszzzTzszzssssszzssssszXsssX222222132,1e2)e(e )2(e)2()1()32()1(e)2()1()32(dd)!12(1)(2)(1 )(limlim，二重极点的极点解 0*)()()()(nnezznTesEtezETs常见函数的常见函数的z变换变换 )(te)(zETta)()(1)(tttT tt cossinaTe 1)1(zz)1(z
13、z2)1(zTz)(azz)(aTezz )1cos2(sin2 TzTz )1cos2()cos(2 TzTzz z z变换定义变换定义 )()()()(21*2*1zEbzEatebteaZ 1.1.线性性质线性性质 )()(zEznTteZn z z变换的基本定理变换的基本定理 2.2.实位移定理实位移定理 延迟定理延迟定理 aTtaezEeteZ )(3.3.复位移定理复位移定理 10)()()(nkknzkTezEznTteZ超前定理超前定理0(0)lim()lim()nzee nTE z4.4.初值定理初值定理 1()lim()lim(1)()(1)()nzee nTzE zzE
14、z 极点均位于单位圆内5.5.终值定理终值定理 6.6.卷积定理卷积定理 )(*)()(*tgtetc)()()(zGzEzC (1)幂级数展开法幂级数展开法(2)部分分式法部分分式法(3)留数法留数法4.Z4.Z反变换反变换(1)(1)幂级数展开法幂级数展开法 用长除法把用长除法把 按降幂展成幂级数，然后求得按降幂展成幂级数，然后求得 ，即即将将 展成展成 对应原函数为对应原函数为 ()F z()f kT101101(),mmmnnnb zb zbF znma za za()F z012012()F zc zc zc z 0122f kTctctTctT实际应用中，常常只需要计算有限几项(2
15、)(2)部分分式法部分分式法把把 分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。因为因为Z变换表中变换表中 的分子常有因子的分子常有因子 ，所以通常将，所以通常将 展展成成 的形式，即的形式，即 式中系数式中系数 用下式求出用下式求出 ()F z()F zz()F z1()()F zzF z12112()()iiAAAF zzF zzzzzzzziA1()()iiiz zAF z zz基本思想：基本思想：利用已知的F(z)，通过查z变换表找出相应的f*(t)或f(nT)通常需要将F(z)展开成部分分式以便查表。(3)(3)留数法留数法11()()inkzz
16、if kTres F z ziz表示表示 的第个极点。的第个极点。()F z单极点单极点重极点重极点 11()()()limiikkzzizzres F z zzz F z z1111()()1()(1)!limiirrkkizzrzzdzzF z zres F z zrdz 实际应用中，实际应用中，F(z)F(z)可能是超越函数，无法应用部分分式法可能是超越函数，无法应用部分分式法或是幂级数法求反变换。或是幂级数法求反变换。7.4 离散系统的数学模型差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数离散状态空间表达式离散状态空间表达式)()1()(kekeke (1)差分定义差分定义 e(kT)简记为
17、简记为 e(k)前向前向差分差分1阶前向阶前向差分差分2阶前向阶前向差分差分n阶前向阶前向差分差分)()1()(2kekeke )()1(2)2(kekeke )()1()(11kekekennn dt)(d)(lim0teTkeT )1()()(kekeke后向后向差分差分1阶后向阶后向差分差分2阶后向阶后向差分差分n阶后向阶后向差分差分)1()()(2 kekeke)2()1(2)(kekeke)1()()(11 kekekennndt)(d)(lim0teTkeT 7.4.1 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法(2)差分方程差分方程)()1()2()1()(121nkc
18、ankcakcakcakcnn n n阶线性定常离散系统阶线性定常离散系统(后向后向)差分方程差分方程01m()(-1)+(-m)b r kbr kb r k1(+)(+1)()nc k na c k na c k(前向前向)差分方程差分方程01m(+)(+m-1)+()b r k mbr kb r k(3)差分方程的解法差分方程的解法 经典法经典法 求出齐次方程通解和非齐次方程一个特解求出齐次方程通解和非齐次方程一个特解 迭代法迭代法 Z Z变换法变换法 )0(0)()(1)()(3)(4)(ttettrtetete 解解)()1()()1()()(1kekeTkekeTketeT 例例1
19、1 已知连续系统微分方程：已知连续系统微分方程：现将其离散化，采用采样控制方式现将其离散化，采用采样控制方式(T=1)，求相应的前向，求相应的前向 差分方程并解之差分方程并解之。)()1(2)2()()1()()(122kekekeTTkeTkeTketeT )0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke解解差分方程解法差分方程解法I 迭代法迭代法 )0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke :1 k0)1(1)1(8)0(6)1(eee:0 k1100)0(1)0(8)1(6)2(eee:1 k7106)1(1)1(8)2(
20、6)3(eee:2 k3511876)2(1)2(8)3(6)4(eee )4(35)3(7)2()(*tttte 解解差分方程解法差分方程解法II z 变换法变换法)2)(1(lim)4)(1(lim)4)(2(lim141211 zzzzzzzzzzzznznznz2Z(68)()1()1zzzE zZkz求 变换得：)0(0)()(1)(8)1(6)2(kkekkekeke)(1)(8)1(6)2(kkekeke ()(1)(2)(4)zE zzzz1Z()Res()ne nE zz求 反变换得：124326nn)(642231)()()(00*nTtnTtnTetennnn 7.4 7
21、.4 脉冲传递函数脉冲传递函数1.1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义2.2.开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数3.3.闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数1.1.脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 z z传递函数，脉冲传递函数传递函数，脉冲传递函数 零初始条件下，输出量的采样信号的零初始条件下，输出量的采样信号的z z变换与输入量的采样信变换与输入量的采样信号的号的z z变换之比。变换之比。()()()()()()()()()()Z c tC zG zZ g tZ g tZ r tR zG zZ G sZ G s通常在输出端虚设一个理想采样开关，与输入采样开关同步工作通常在输
22、出端虚设一个理想采样开关，与输入采样开关同步工作采样拉氏变换两个重要性质采样拉氏变换两个重要性质采样函数的拉氏变换具有周期性*()()sG sG sjk采样函数拉式变换E*(s)与连续函数拉氏变换G(s)相乘后离散化，则E*(s)可从离散符号中提出来*()()()()G s E sG s E sG G1 1(S)(S)G G2 2(S)(S)(*tCC(t)C(t)()r tT T*()r t一一.线性离散系统的开环脉冲传函线性离散系统的开环脉冲传函1.1.串联环节之间无同步采样开关串联环节之间无同步采样开关两个串联线性环节之间没有采样开关隔离时两个串联线性环节之间没有采样开关隔离时,其脉冲传
23、函为两个其脉冲传函为两个环节的传函相乘之积的环节的传函相乘之积的Z Z变换。变换。结论可推广到结论可推广到n n个环节串联的情况。个环节串联的情况。12()()()()C sG s G s rs*1212()()()()()()()Z c tC zG zZ GGsGG zZ r tR z*12()()()CsGGs rs*12()()()CsGGsrs1212-10T-10T*11:G(Z)ZG G(S)G G(Z)=Z0.1S 1 SZ(1-e)(Z-1)(Z-e)解例例.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中其中1211G(S),G(S)S0.1S 1其
24、中G G1 1(S)(S)G G2 2(S)(S)(*tCC(t)C(t)()r tT T*()r t*2*1 C(S)G(S)M(S)M(S)G(S)(S)r*2*21*1 C(S)G(S)M(S)C(S)G(S)G(S)(S)M(S)G(S)(S)rrG2(s)G1(s)TC(t)()r t*()r t)(*tcM(t)2.2.串联环节有同步采样开关串联环节有同步采样开关两个串联线性环节之间有采样开关隔离时，其脉冲传函为两个环两个串联线性环节之间有采样开关隔离时，其脉冲传函为两个环节分别求节分别求Z Z变换后的乘积。变换后的乘积。结论可推广到结论可推广到n n个环节串联的情况。个环节串联的
25、情况。12*C(S)*()()*(S)SGGSr12C(Z)()()(Z)G Z G ZR对上面方程两边离散化处理121120011 G(Z)G(Z)G(Z)Z0.1S 110ZZ 10(1)Z-(=)1TTZSZZZZee例例.求图所示二环节串联的脉冲传函求图所示二环节串联的脉冲传函解解:1211G(S),G(S)S0.1S 1其中G2(s)G1(s)TC(t)()r t*()rt)(*tcM(t)串联环节之间有采样器的系统，总的等效脉串联环节之间有采样器的系统，总的等效脉冲传递函数等于冲传递函数等于各环节脉冲传函之积各环节脉冲传函之积；而串联环节之间没有采样器时，其总的等效脉而串联环节之间
26、没有采样器时，其总的等效脉冲传递函数等于冲传递函数等于各环节相乘后再取各环节相乘后再取Z变换变换。2222121 G(s)G(s)G(s)1-1-G(s G(s)G(s)G(s)(1)-)TTSSTSTSeeessesss零阶保持器传函 G2(s)零阶保持器零阶保持器G1(s)C(t)()r t*()rt3.3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函环节与零阶保持器串联时的脉冲传函2222()()()(12-1)G(Z)ZG(S)G(S)Z-=Z-ZzTsGSGSSSGSGSSSe2()-11-z Z GSS-1-1-aT-aT1-11 G(Z)Z(1-Z)Zss(s a)11 =(11-e -Z)
27、Zs a(Z-e)Tsesaaasa例例.设与零阶保持器串联的环节的传函为设与零阶保持器串联的环节的传函为G(S)=1/(S+a),G(S)=1/(S+a),试求系统的脉冲传递函数。试求系统的脉冲传递函数。解：解：由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，闭环离散系统结构形式不唯一。性，闭环离散系统结构形式不唯一。二二.线性离散系统的闭环传递函数线性离散系统的闭环传递函数闭环离散系统结构图1212G(Z)(Z)R(Z)1H(GZ)GCGR(S)G1(S)H(S)G2(S)C(S)(*SC()E sY(S)-*12*12*12 C(S)G(S)G(S
28、)E(S)(S)R(S)-Y(S)(S)R(S)-G(S)G(S)H(S)(S)Y(S)C(S)H(S)(S)(S)-(G G H)()(S)EEEERS E对上式采样得1212(Z)1 C(Z)(Z)(Z)R(Z)1HGZG()EEGG而 试求下图所示系统的闭环传函试求下图所示系统的闭环传函H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)C(S)()E S-*C(S)G(S)X(S)X(S)D(S)E(S)X(S)D(S)E(S)R(S)-H(S)C(S)=E(S)R(S)-GH E(S)R(S)-H(S)G(S)D(S)D(S)E(S)*R(S)S)E(S)E(S)1 GH*C(S)G(S)D(S
29、)E(S)*()()S DS 试求下图所示系统的闭环传函试求下图所示系统的闭环传函解：*()()()*C(S)*1 GH(S)D(S)C(Z)R(Z)GS DS RS()()1()()D Z G ZGH Z D ZC(s)-11-12-1(1)11e12 G(Z)Z(1-Z)(1)(1)(Z-1)(Z-e)TSeZeZSS SSS111111111e1 2eC(z)()(Z-1)(Z-e)e1 2e 2e1 2eR(z)1()e1(Z-1)(Z-e)ZG zZZG zZZ 1TSeS)1(1SSR(s)-1T 例例3.3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函试求取如图所示线性数字系统的闭环传函
30、解解:设闭环离散系统结构图如设闭环离散系统结构图如下下图所示，试图所示，试求求其输其输出采样信号的出采样信号的Z Z变换变换。)()()()(zCzGHzGRzC)()()(1zGRzCzGH)(1)()(zGHzGRzC 由于误差信号由于误差信号e(t)处无采处无采样开关，从上式解不出样开关，从上式解不出C(z)/R(z)只要误差信号处没有采样开关，输入信号便不存在，此时不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换。典型闭环离散系统及输出z变换函数)(1)()()(zGHzRzGzC 闭环系统脉冲传递函数F(z)(一般不能用Mason公式)()()(zEzGz
31、C )(1)()()()(zGHzGzRzCz F F)()()(zEzGHzR )()()(1zRzEzGH )(1)()(zGHzRzE )(zE例 求如图闭环系统的脉冲传递函数F(z)(1)()()()(1)(1)(11111111zHGzEzGzEzHGzHGzG )()()()(11zEzEzGzC )()()()(1111zEzEzHGzE )()()(1)()()()(21111zHzGzHGzGzRzCz F F )()(1)()(11111zEzHGzHGzE )()()()()()(2zCzHzRzBzRzE )(1)()()()()(1121zHGzCzHzRzGzC )
32、(1)()()()(1)()(11111121zHGzRzGzCzHGzHzG )()()()(1 11111zEzHGzEzHG 例 求如图闭环系统的脉冲传递函数F(z)()()()()(32032zRzGHGzEzGGzC )()()()()()()(02311231110zRzGHGHGzEzGGHGzRzGGzE )(1)()()()()()()()()()(1321132123023021310321032zHGGGzHGGGzHGGzHGGzHHGGGzGGzGGzGGzRzCz F F)()(1)()()(13212131010zRzHGGGzHHGGGzGGzE )()()()
33、()(1 21310101321zRzHHGGGzGGzEzHGGG )()()()(1)()()()(2301321213101032zRzHGGzRzHGGGzHHGGGzGGzGGzC 例 求。)()()(,)()()(zNzCzzRzCzn F F F F)()()()()(3332zNzHGzEzGGzC )()()()()(33112311zNzHGHGzEzGGHGzE )(1)(1)()()()(1321132133313132zHGGGzHGGGzHGzHHGGzGGzn F F)()(1)()(13213131zNzHGGGzHHGGzE )()()()(1 3131132
34、1zNzHHGGzEzHGGG )()()()(1)()()(331321313132zNzHGzNzHGGGzHHGGzGGzC 例 求。)()()(,)()()(zNzCzzRzCzn F F F F7.5 7.5 稳定性分析稳定性分析TSTTZe Sj Ze|Z|e ZTjTe设即一一.S.S平面与平面与Z Z平面的映射关系平面的映射关系结论：结论：S S平面的稳定区域在平面的稳定区域在Z Z平面上的映射是单位圆内部区域平面上的映射是单位圆内部区域TT|Z|e12 0|Z|e30 1 SS（）当时平面的左半部（）故对应于单位圆的内部故对应于当时平面的右半部单位圆的外部 1 0 Sj|S-
35、jZ|j1Z（）当从，平面对应逆时针转过无穷圈的单位圆H(S)G1(S)G2(S)C(S)R(S)-Y(S)二二.线性离散系统稳定的充要条件线性离散系统稳定的充要条件闭环系统特征方程闭环系统特征方程：2 21 10 0)(1 1=+Z ZH HG GG G线性离散系统稳定的充要条件是线性离散系统稳定的充要条件是 系统闭环脉冲传函的全部极点即系统特征方程的根均位于系统闭环脉冲传函的全部极点即系统特征方程的根均位于Z Z平面的单位圆内平面的单位圆内,或全部特征根的模小于或全部特征根的模小于1 11212G G(Z)(Z)R(Z)1 G G H(Z)C例例.试分析特征方程为试分析特征方程为Z Z2
36、2-Z+0.632=0-Z+0.632=0的系统的稳定性的系统的稳定性.解解:由题意可知由题意可知系统是稳定的系统是稳定的 618.05.0528.15.05.0Z 1,21795.0618.05.0|Z|2221 Zj+1,-1:(1)D(Z)0 (2),()0 (3).wZWwRouthwD wRouth令代入闭环采样系统的特征方程 进行变换后可用判据进行稳定性判断。其步骤如下求出采样系统的特征方程进行 变换 整理后得应用判据判别采样系统的稳定性三三.Routh.Routh稳定判据稳定判据 引入Z域到W域的线性变换，使得Z平面单位圆内区域映射成W平面上的左半平面，称为双线性变换或W变换.3
37、2323211 Z 1111 45()117()119)390111 :w22400 w 1 2 w 2 40 w -wwwwwwwwww令得整理得018 0 w 40 ,系统不稳定 有两根在单位圆外例例.设闭环采样系统的特征方程为设闭环采样系统的特征方程为D(Z)=45ZD(Z)=45Z3 3-117Z-117Z2 2-39=0-39=0判断其稳定性判断其稳定性.解解:323210 2.333.681.650.340 2.33 1.65 3.68 0.34 1.43 0 0.34 0wwwwwwwr(t)-TSeTS1)05.01)(1.01(2ssS-TS-TS2(1-e)400(1-e)
38、G(S)22(1 0.1)(1 0.05)(10)(20)-1-10.30.40.10.30.40.122TZ G(Z)(1-Z)Z=(1-Z)21020211020S(Z-1)SSSSSSZZZSSSZTTZeZe例例.判断如图所示系统的稳定性判断如图所示系统的稳定性,采样周期采样周期T=0.2(T=0.2(秒秒)解解:系统是稳定的1 1 G(Z)0 Z 1ww，令11(4),(),0.25,KS SG STsK例 设采样系统的方框图如图所示 其中采样周期求能使系统稳定的值范围411441441C(Z)()R(1)G()(4)4(1)()(1)4 (1)()(1)(Z)1()4TTTTTG
39、ZGKKeZZZS SZZeKeZKZZeeZZ-R(S)G(S)C(S)T解解:110.158K0,2.736-0.158K0:0K17.3 解得1211211101 Zw-1111(-1)(-0.368)0.1580w-1w-1w-1 0.158K1.264(2.7360.158)0 0.158K 2.736-0.158K 1.264 0 wwwwKwwKwww令代 入 上 式 得1 2.736-0.158K114444(Z-1)()(1)(Z-1)(Z-0.368)(1 0.368)0KKTTZeeZZ 1 G(Z)0则特征方程为7.6 7.6 闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应
40、的关系*10111011()()()()()()mmmiminnnnijkzzb zb zbM ZZmnN Za za zazpF1()()(1)()()(1)()1jjzjzpzpM zMM zAN zNN zz其中且1()()()()=()11njjjzM zzAzC ZZ R ZN zzzzp F当当r(t)=1(t),r(t)=1(t),离散系统输出的离散系统输出的z z变换变换假设无重极点，假设无重极点，*1()()nkjjjC kTc kTAp1)01,2131410,5)1,61.)1,()iikiiiiiiippppc kTBTpTpTp 单调衰减序列。），不变号的等幅序列。）
41、，单调发散序列。）正负交替的衰减振荡序列，角频率为 （采样频率的一半）正负交替的等幅振荡序列，角频率为。正负交替的发散振荡序列，角频率极点为实数。.221()cos(),arctan 1)1,2)1,3)1,2.j kiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ibc kTAkabpapppzTTpab。振荡收敛。等幅振荡。振荡发散。振荡角频率振共轭复数极频点荡，角率离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差 连续系统误差计算方法可适用于离散系统。连续系统误差计算方法可适用于离散系统。采样系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是采样系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误
42、差脉冲序列。指系统到达稳定后误差脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。不同形式的离散系统来求取。误差稳态误差稳态误差:误差信号的稳态分量：误差信号的稳态分量：)(tessz1()lim()()lim()lim(1)()sssstssteetee tzE z 稳态误差的终值：稳定的系统：()e t (适用于系统稳定适用于系统稳定,r(t)作用作用,对误差采样的线性离散系统对误差采样的线性离散系统 )(1
43、1)()()(zGHzRzEze F F)()()1(lim)(1zRzzeezF F )(11)()1(lim1zGHzRzz 2.静态误差系数法静态误差系数法 r(t)作用时作用时e()的计算的计算 可见，离散系统稳态误差不但与系统本身结构和参数有关，与输入序列的形可见，离散系统稳态误差不但与系统本身结构和参数有关，与输入序列的形式即幅值有关，而且与采样周期式即幅值有关，而且与采样周期T T有关。有关。)(1)(tAtr 111()lim(1)1 1()1 lim()zzAzAezzGH zGH z 111()lim(1)()()lim(1)()1()ezzezz R zzR zGH z
44、F)(lim1zGHKzp pKA 1tAtr )(2111()lim(1)(1)1()lim(1)()zzATzATezzGH zzGH z)()1(lim1zGHzKzv vKAT 22)(tAtr 223211(1)1()lim(1)2(1)1()lim(1)()zzAT z zATezzGH zzGH z)()1(lim21zGHzKza aKAT2 静态位置误差系数静态位置误差系数静态速度误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数静态加速度误差系数01()()()()(1)vGH zZ G s H sGHzz)()1(1)(0zGHzzGHv 1TSeS)(aSSK12121()(1
45、)(1)(1)0.3680.264(1)(1)(0.368)(1)(1)()TTG zzZssTzezZzZZzzze例例.下图所示系统中的参数下图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1,a=1,k=1,T=1,试求在试求在r(t)=1(t)+t+tr(t)=1(t)+t+t2 2/2/2时的稳态误差时的稳态误差。解解:21ss121r t1 tte2tPvaTTKKK输入()=()+时，0.732Pv0.623112a1 Klim(),Klim(1)()Klim(1)()0 zzzG ZZG ZZG Z 00.83 某采样系统框图如图所示，试求在参考输入r(t)和扰动输入n(t)作用下的总输
46、出C(z)()r t()c t1T ses2()Dz1()DzTTTT1()G s()E s2()Gs()B z()A s()n t121221212212()()()()()()()()()()()()()()()()1()()hhB zR z D zE z D zR z D zR zC z D zNGzD zD z G G Gz R zC zD z G G Gz()r t()c t1T ses2()Dz1()DzTTTT1()G s()E s2()Gs()B z()A s()n t*212*212()()()()()()()()()()()hhC sN s G sB s G s G s G sCsNGsB s G G Gs
