1、进进 入入 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线线 ，解决的方法是转化为直线方程与，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组圆锥曲线方程组成的方程组 ，进而转化为一元，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线设直线l的方程为的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为圆锥曲线方程为f(x,y)=0.相交、相切、相离相交、相切、相离 解的个数解的个数 名师伴你行 Ax+By+C=0 f(x,y)=0若消去若消去y后得后得ax2+bx+c=0.（1
2、）若）若a=0，此时圆锥曲线不会是，此时圆锥曲线不会是 .当圆锥曲线为当圆锥曲线为双曲线时，直线双曲线时，直线l与双曲线的渐近线与双曲线的渐近线 .当圆锥当圆锥曲线是抛物线时，直线曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴与抛物线的对称轴 .（2）若）若a0，设，设=b2-4ac.0时，直线与圆锥曲线相交于时，直线与圆锥曲线相交于 ；=0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线 ；0得得-k ，且，且k1时，方程（时，方程（*）有两解，方程组有两）有两解，方程组有两解解.故直线与双曲线有两个交点故直线与双曲线有两个交点.【解析【解析】联立方程组联立方程组消去消去y，得，得3 33 32 23 33 3
3、2 2名师伴你行返回目录返回目录（3）当）当1-k20，由，由=4(4-3k2)=0得得k=时，方程组时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切曲线相切.（4）当）当1-k20，由，由=4(4-3k2)0得得k 时，时，方程组无解，故直线与双曲线无交点方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当综上所述，当k=1或或k=时，直线与双曲线有一个时，直线与双曲线有一个公共点；当公共点；当-k-1或或-1k1或或1k 时，直线与双时，直线与双曲线有两个公共点；当曲线有两个公共点；当k 时，直线与双曲时，直线与双曲线无公共点
4、线无公共点.3 33 32 23 33 32 23 33 32 23 33 32 23 33 32 23 33 32 23 33 32 23 33 32 2【评析【评析】研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为系数为0和不为和不为0两种情况两种情况.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，经过点（中，经过点（0，）且斜率为）且斜率为k的直线的直线l与椭圆与椭圆 +y2=1有两个不同的交点有两个不同的交点P和和Q.（1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2）设椭圆与）设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴、
5、y轴正半轴的交点分别为轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数，是否存在常数k，使得向量，使得向量OP+OQ与与AB共线？如共线？如果存在，求果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由的值；如果不存在，请说明理由.2 2x x2 22 2名师伴你行返回目录返回目录(1)由已知，得直线由已知，得直线l的方程为的方程为y=kx+,代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得 +(kx+)2=1,整理，得整理，得(+k2)x2+2 kx+1=0.直线直线l与椭圆有两个不同的交点与椭圆有两个不同的交点P和和Q等价于等价于=8k2-4(+k2)=4k2-20,解得解得k .即即k的取值范围为的取值范围为(-,-)(,
6、+).2 22 22 2x x2 22 21 12 22 21 12 22 22 22 22 22 22 22 2名师伴你行返回目录返回目录（2）设）设P(x1,y1),Q(x2,y2),则则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程由方程，得，得x1+x2=.又又y1+y2=k(x1+x2)+2 ，而而A(2,0),B(0,1),AB=(-,1).所以所以OP+OQ与与AB共线等价于共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将将代入上式，解得代入上式，解得k=.由（由（1）知）知k .故没有符合题意的常数故没有符合题意的常数k.2 22k2k1 1k k2 24 42 22 22 22 2
7、2 22 22 22 22 2名师伴你行返回目录返回目录 考点二考点二 弦长问题弦长问题【例【例2】已知双曲线已知双曲线C1:=1,抛物线抛物线C2的顶点是的顶点是坐标原点坐标原点O，焦点是双曲线，焦点是双曲线C1的左焦点的左焦点F.（1）求抛物线）求抛物线C2的方程；的方程；（2）过）过F作直线（不垂直作直线（不垂直x轴）交抛物线轴）交抛物线C2于于P，Q两点，两点，使使POQ的面积为的面积为6（O为原点），这样的直线是否存在？为原点），这样的直线是否存在？若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.【分析【分析】（1）求出点）求出点F从而确
8、定从而确定P，求出，求出C2的方程的方程.（2）利用弦长公式求）利用弦长公式求|PQ|的长度，从而计算的长度，从而计算SPOQ.2 22 22 22 22a2ay y-a ax x名师伴你行返回目录返回目录【解析【解析】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故故c=|a|，依题意，抛物线依题意，抛物线C2的方程为的方程为y2=-4|a|x.（2）设存在满足题意的直线）设存在满足题意的直线PQ，其方程为其方程为y=k(x+|a|)(k0),即即x=-|a|(k0),又设点又设点P，Q的坐标分别为的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把把x=-|a|代入抛物线代入抛物线C2的方程，的
9、方程，化简并整理得化简并整理得ky2+4|a|y-12ka2=0,于是于是y1+y2=,y1y2=-12a2,(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=+48a2=,2 22 22 22 22a2ay y-a ax x3 33 33 33 3k ky yk ky y3 33 3k k|a a|3 34 4-2 22 2k k4 48 8a a2 22 22 2k k)k k(1 14 48 8a a名师伴你行返回目录返回目录 又原点又原点O到直线到直线PQ的距离为的距离为 且且SPOQ=6,故故 ,化简得化简得 ，即即k2(1-a4)=a4.当当|a|1时，时，不成立，不成立，|a|1时
10、，直线时，直线PQ不存在；不存在；当当|a|0.2,2,y y-2x2x 2 2y y-2x2x 2 22 22 21 12 21 1224 4.x x-x xy y-y y2 21 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录【评析【评析】“点差法点差法”使用的前提是以该点为中点的弦存在，使用的前提是以该点为中点的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直线方程必须验证是否与曲线因此利用此法求出的弦所在直线方程必须验证是否与曲线相交，即要验证相交，即要验证的符号的符号.（2）假设直线）假设直线l存在，由（存在，由（1）中方法可求得直线方程）中方法可求得直线方程为为2x-y-1=0.2x2-y2=2 2x
11、-y-1=0 =16-432=-80，即，即n2 ,设设A(x1,y1),B(x2,y2)，则，则x1+x2=,设设AB中点中点M(x0,y0)，则，则x0=n,y0=-x0+n=,即即M(n,n),又点又点M在直线在直线y=4x+m上，上，n=+m,n=m,即即(m)2 ,-m .3 3y y2 2x x2 22 24 41 1由由消去消去y得得8 82 25 52 25 58 8n n2 25 54 44 41 12 25 52 24 42 25 54 42 25 52 24 42 25 52 24 42 25 5n n 1 16 68 82 25 58 82 25 58 82 25 52
12、 25 52 22 25 52 24 41 1名师伴你行返回目录返回目录 Ax+By+C=0 f(x,y)=0时，时，ax2+bx+c=0，这时，要考虑，这时，要考虑a=0 和和 a 0两种情况，对两种情况，对双曲线和抛物线而言双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考，一个公共点的情况要考 虑全面，虑全面，除除a0,=0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个，只有一个交点（交点（=0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件）件）.1.
13、解方程组解方程组若消去若消去y，得到关于，得到关于 x 的方程的方程名师伴你行返回目录返回目录 2.涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法（“平方差法）找到两交点坐标之和，直接与中点建立平方差法）找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系联系.3.有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：条直线对称的条件：两点连线与该直线垂直（斜率互两点连线与该直线垂直（斜率互为负倒数）；为负倒数）；中点在此直线上（中点坐标适合对称轴中点在此直线上（中点坐标适合对称轴方程）方程）.4.解决平面几何问题，需将平面几何知识转化为代数式解决平面几何问题，需将平面几何知识转化为代数式子表示子表示.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行
