1、第一章 化工问题的数学模型1、模型的意义与作用2、建模方法3、典型化工问题数学模型剖析第一章数学模型模型有什么用？0 概述：关于化工数学的分类u化工数学一个含糊的概念解决化工问题的数学，体现方法论的数学1.化工实验数学数据处理与误差分析实验设计量纲分析与相似理论第一章数学模型模型有什么用？2.化工建模与数学分析化工问题建模模型求解与分析3.化工过程模拟与优化流程模拟方法过程的综合最优化方法第一章数学模型模型有什么用？1 模型的意义与作用1化学工程研究工业规模的物质转化规律及技术手段u研究对象质量传递 动量传递 能量传递化学反应过程u解决的问题装置放大流程设计1化学工程研究工业规模的物质转化规律
2、及技术手段u研究对象质量传递 动量传递 能量传递化学反应过程u解决的问题装置放大流程设计第一章数学模型模型有什么用？第一章数学模型模型有什么用？u化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程趋势模型化，数学化u化学工程的方法论解耦热模研究：考察化学反应规律冷模研究：考察流动与传递规律数学模型：反应器行为模拟中间实验：三种模型的结合工业设计第一章数学模型模型有什么用？u数学模型的作用正问题：模拟、优化、控制反问题：机理辨识、参数求取u典型实例
3、印巴核实验数学模拟技术的需求第一章数学模型模型有什么用？3 建模一般步骤认识论的规律第一章数学模型建模方法 真实对象 物理模型 数 学 模 型 认 识核验表述u模型标准内容真实形式简单u建模关键合理简化抓住主要因素，突出主要特征u怎么区分主次根据建模目的根据突出问题特征第一章数学模型建模方法u实例气液传质的双模模型平推流反应器模型均想混合的搅拌釜模型第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述化工问题的数学表述1.守恒方程（守恒方程（balance equations)质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒通用公式：通用公式：输入项输
4、入项 输出项输出项 生成项生成项 积累项积累项 注意问题：注意问题：对象的选择对象的选择坐标系的选择坐标系的选择u化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法例1 均相釜式反应器数学模型衡算对象单元AAAAininVcdtdVrFccFFin,cAinVF,cA图1.3连续釜式反应器u化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数
5、学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法例2 管式反应器衡算对象微元xdxv,cAinv,cAL0图1.4 管式反应器u化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法输入输出xAAAJvAc xcDJAAAAAAAAAx dxxvAcAJvAcAJvAcAJdxxAdxckAA)(AdxctAA的积累速率微元内生成速率第一章数学模型建模方法xcDxckvcxtcAAAAAA)
6、(反应器衡算方程初始与边界条件00:0:1:0AAAinAAAtcccxvcvcDxcxx=-=u化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法例3 催化剂颗粒 衡算对象微元，柱坐标与球坐标xdxdrzr0rdru化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学
7、模型建模方法AAAAssckdxdcDxdxdx)(1S0:片型颗粒S1:圆柱型颗粒S2：球形颗粒第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述2.本构关系（Constitutive Relations)物理量之间满足的本征结构关系热力学平衡关系动力学速率关系3.定解条件初始条件边界条件适定性问题第一章数学模型建模方法4 无量纲化问题1.为什么要无量纲化？减少参数数目变量规一化获取问题的特征无量纲数2.如何无量纲化？选择自变量与因变量的特征尺度，将变量与方程无量纲化第一章数学模型建模方法例1 气液传质的双膜模型选择022nAAAAckdxcdD ALAAiAcccc,0/,/xzcccAiA第一
8、章数学模型建模方法得LnccccHadzcd)1(,1)0(0222AnAiADckHa1第一章数学模型建模方法例2 管式反应器22xcDckxcvtcAAAAAA0,0:0 xctA0AAAinxcvcDvcx1:0Acxx第一章数学模型建模方法选取得/,/,/AAinzx ltv lccc22010:(0,)010:11:0zcccD aczPezczczcPezczz第一章数学模型建模方法,vklDa ADvlPe),(),(1PeDafcltcXAinAA第一章数学模型建模方法例3 管道阻力问题19世纪的水力学手册二十世纪的阻力曲线,vlfWRef第一章数学模型建模方法3.关于相似放大
9、问题相似放大：模型与原型保持无量纲相似准数相同对于物理过程，某些条件下可以满足相似条件对于化学过程，难以选择反应体系来满足相似条件所以，相似放大对反应过程一般不可行数学模型放大是化学反应工程发展的趋势第一章数学模型典型问题5 催 化 剂 颗 粒 模 型AAssAAprxcxxxDtc)(1AsspHrxTxxxktTc)(1第一章数学模型典型问题物理过程特征分析颗粒内部：传热快，传质慢颗粒外部：传质快，传热慢因此，传质阻力在粒内，传热阻力在粒外固体热容大，气体浓度小因此，保留温度变化项，忽略浓度变化项第一章数学模型典型问题合理假设颗粒内部温度均匀，浓度考虑为拟稳态将两个偏微分方程的问题简化为两
10、个常微分方程的问题。)11(exp)(102uyxyxxxss1102)11(exp)()1(sbiydxuuuBsdud第一章数学模型典型问题6 固定床反应器的拟均相模型拟均相假设：不考虑流体固体差别1.二维拟均相模型Rrdrdz图1.9 固定床中的环形微元ABArArrcrrrDzcv)(1ABrpggHrrTrrrkzTvc)(1第一章数学模型典型问题2.一维瞬态模型Danckwerts边界条件：AAAzAAckzcDzcvtc22)(2)(22TTRhckHzTkzTvctTcwAAzpggpBB10 xcx第一章数学模型典型问题7 色谱过程的数学模型色谱：非均相的流动吸附分离过程1.
11、平衡色谱221iiiizcccnvDtxxiiNiiiicKcKNn1第一章数学模型典型问题2.非平衡色谱床层模型颗粒模型221xcDxcvcctzp)0()(1)1(RrrcrrrDtntcFssppFp第一章数学模型典型问题活性位吸附模型界面平衡模型)(FsFaccktn)(Fscfn 第一章数学模型典型问题8 分批结晶器与连续结晶器的粒数衡算模型 成核动力学晶体生长动力学bNckdtdnB)(gGckdtdlG)(第一章数学模型典型问题晶体生长的物理图像ldlGGn0nt=0Gl0G0t=0t=t1t=t2nl图1.12 无成核时晶种生长的粒度分布曲线图1.13 恒速成核时的粒度分布曲线
12、第一章数学模型典型问题晶体粒数衡算 在ll+dl区间内由于生长而输入的粒子数 在ll+dl区间内由于长大而离开的粒子数在ll+dl区间内的粒子数变化VnGNlindlVGnlVnGVnGNldllout)()(ndlVt第一章数学模型典型问题因此，粒数衡算方程为0()00:()0:nG ntltnnlBlnG第一章数学模型典型问题9 边界层中的流动与传递边界层史话边界层图象第一章数学模型典型问题边界层方程的推导黏性流体的NS方程0uvxy22221uupuuuvxyxxy 22221puvxyyxy 第一章数学模型典型问题边界层中的量级比较xl,y主要结果2222222220;uuuuuOOx
13、lyluuuuOOxly2222uxuy0py第一章数学模型典型问题Prandtl边界层方程温度边界层与浓度边界层边界层中的三传问题0uxy221uupuuvxyxy 谢 谢第二章 常微分方程1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析第二章常微分方程二阶常系数方程一、一、二阶常系数方程的解法二阶常系数方程的解法1 1。齐次方程通解。齐次方程通解设设得得)(2122xfyadxdyadxydxAey0212aa第二章常微分方程二阶常系数方程相异实根共轭复根重根2。非其次方程特解：比较系数法xxececy2121)sincos(21xcx
14、ceyx)(211xcceyx第二章常微分方程二阶变系数方程二、二阶变系数方程的解法1、级数解法广义幂级数代入方程，比较系数法确定参数c 和 an 0)()(222yxGdxdyxxFdxydx0ncnnxay第二章常微分方程二阶变系数方程设代入，得2210)(xFxFFxF2210)(xGxGGxGcnnncnnnxcnaxFxFFxcncna)()()1)(0221000)(02210cnnnxaxGxGG第二章常微分方程二阶变系数方程首项xc的系数为0指标方程第n项xn+c的系数为0 递推公式0)1(002GcFcnaGcnFcn002)(1()(111)1(naGcnF 222)2(n
15、aGcnF 00aGcFnn第二章常微分方程二阶变系数方程由指标方程的第一根c=c1可以得到方程的第一个解当c1c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。当c1、c2 为重根时，第二解为当c1c2 为整数时，第二解为12cccyy222ccycccy第二章常微分方程二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解 称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程0)(22222ykxdxdyxdxydx0)1(2kccckckc21,第二章常微分方程二阶变系数方程递推公式第一解)(2kcnkcnaann)1(!)1(41)1)()(1)(!2)1(202knnkkknknnaan
16、nnn0201)1(!21)1()1(2nknnkknnxaky第二章常微分方程二阶变系数方程第二解分为以下三种情况 i)k为分数 ii)k=0 xBJxAJxykk22)(cnaann022220)2)()22()2()1(),(ncnnccncnxacxy第二章常微分方程二阶变系数方程nxnxacyynnnc131211ln)!()21()1(02200212200)1211()!()21()1(ln)(nnnnnxxxJa)(02xBYy 第二章常微分方程二阶变系数方程iii)k为整数 kccxykccy),()(202210212111211)!(!)21()1()21(!)!1()(
17、21ln2)(nknnknknkkknnknnxBxnnkBxJxBxBYy)()(xBYxAJykk第二章常微分方程二阶变系数方程3、Legendre方程与Legendre 函数设代入，得0121222ylldxdyxdxydxnnnxaxy0)(0)1()1()1)(2(02nnnnxllnnanna第二章常微分方程二阶变系数方程递推公式根据幂级数收敛判别法知，在x=1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l 取整数才能保证级数在x=1处收敛，此时级数成为Legendre多项式),2,1,0()1)(2()1()1(2nannllnnannnllnllnlxnlnlnnlxP22
18、120)!2()!(!2)!22()1()(或第二章常微分方程二阶变系数方程性质Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为FourierBessel级数和FourierLegendre级数。)157063(81)(,)33035(81)()35(21)(,)13(21)()(,1)(355244232210 xxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP第二章常微分方程一阶常系数方程组三、一阶常系数方程组的矩阵解法齐次方程nnnnnnnnnnnbyayayadtdybyayayadtdybyayayadt
19、dy2211222221212112121111Ayy 第二章常微分方程一阶常系数方程组设代入方程得从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵texy tteeAxx0 xIA0det IA第二章常微分方程一阶常系数方程组通解或y=Y c常数 c 由初始条件确定 ntttneeetxxxY，,2121 tnnttnececectxxxy212211第二章常微分方程线性稳定性分析四、线性稳定性分析方法稳定性（stability)系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。定常态（steady state)稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某个状态。
20、稳定态（stable state)稳定的定常态。稳 定差之毫厘，失之毫厘不稳定差之毫厘，失之千里第二章常微分方程线性稳定性分析流动的稳定性雷诺实验、圆柱型水流反应器的热稳定性飞温与熄火平行平板间的热对流稳定性Benard现象压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。第二章常微分方程线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法目的获取失稳判据；方法稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统定常态 f(ys)=0设x(t)为小扰动，令y(t)=ys+x(t)()ddtyf y第二章常微分方程线性稳定性分
21、析代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。ddtxAxiijjfay 121212nntttntcececexxxx第二章常微分方程线性稳定性分析因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。特征根方程Routh方法：如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。1201210nnnnnaaaaa第二章常微分方程线性稳定性分析RouthHurwitz判定行列式230
22、121100,aaaaaa45672345012301434512301300,0aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1,22,12230100nnnnnnaaaaaaaa第二章常微分方程线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数R iR0=0,R1=1,R2=2/1,Rn=n/n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。第二章常微分方程线性稳定性分析2、稳态点的分类11111222211222dxa xaxdtdxaxaxdt20rt 2
23、1,2142rrtt 第二章常微分方程线性稳定性分析1）tr24 0，0：12 0，稳态点为结点2）tr24 0，0：12 0，稳态点为鞍点第二章常微分方程线性稳定性分析3）tr24 0，1，2都是纯虚数 稳态点为中心点第二章常微分方程线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性 取x=cAcAs,y=TTs()AinAAdcVF ccVrdt()()()ppinAdTVcF cTTVH rQ Tdt()AAsdxxrrdt ()()()AAsrrsdyyrrQ TQ Tdt 第二章常微分方程线性稳定性分析将反应项与移热项线性展开特征根方程1AAAssrrdxxydtcT 1AArAsssrrdQd
24、yxydtcTdT 20rt 第二章常微分方程线性稳定性分析渐近稳定性条件a)斜率条件系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲线的斜率 b)动态条件11ArAAsssrdQrcdTT11ArAAsssrdQrcdTT第二章常微分方程线性稳定性分析斜率条件的物理解释谢 谢第三章 一阶偏微分方程1、特征线法2、非线性波与追赶现象第三章一阶偏微分方程特征线法1.1 一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、边值定常数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解例，一阶PDE 通解0uucxy()uf ycx第三章一阶偏微分
25、方程特征线法初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题）()(,0)0,()Accvr cxttxtcf x ()(0,0)0,()0,()Accvrcxttxtcf xxcg t 第三章一阶偏微分方程特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题000I(),(),()uuxxyy：(,)(,)(,)uuP x y uQ x y uR x y uxy第三章一阶偏微分方程特征线法1.2 特征线法的几何原理向量(P,Q,R)与解曲面u=u(x,y)的法线方向相互垂直，与(P,Q,R)共线的线元(dx,dy,du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面
26、u=u(x,y)。(,)(,)(,)uuP x y uQ x y uR x y uxy(,1)xyuu第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法因此，特征线法的求解思路是用特性曲线来编织解曲面1。求出与向量场(P,Q,R)共线的特征曲线；2、让该曲线通过初始曲线第三章一阶偏微分方程特征线法特征线方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常数，由初始曲线确定(,)(,)(,)dxP x y udsdyQ x y udsduR x y uds000I(),(),()uuxxyy：第三章一阶偏微分方程特征线法解曲面由以下双参变量形式给出参变量s 沿
27、特征曲线方向变化，参变量 沿初始曲线方向变化。(,)(,)(,)xx syy suu s第三章一阶偏微分方程特征线法例2.1 特征线方程初始曲线1(0,)uuuxyuyy1,1dxdyduudsdsds0:0,sxyu第三章一阶偏微分方程特征线法解出 消去参变量22xssysus221xyuxx第三章一阶偏微分方程特征线法以积分常数形式给出的特征线解 特征方程通解初始曲线限制解曲面(,)(,),(,)(,)dyQ x y uduR x y udxP x y udxP x y u1122(,),(,)g x y ukgx y uk12(,)0F k k12(,),(,)0F g x y u gx
28、 y u第三章一阶偏微分方程特征线法例2.3 特征方程通解解曲面由初值得解1()uuxy为常数,1dydudxdx12,yxku xk()uxf yx(0,)()uyy()uxyx第三章一阶偏微分方程特征线法1.3 特征线法的物理意义波 动物理量在空间的传播过程特征线物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1管道中的溶质输送问题0()ccvxtx 000(,0)00 xc xcaxxa 第三章一阶偏微分方程特征线法特征线 初始曲线解得1,0dtdxdcvdsdsds0:0,stx000()00 xvtccaxvtxvta xvt 第三章一阶偏微分方程特征线法图象矩形方波以速度v 传播 c0 xt
29、=0t=t1t=t2vvv第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线及图解法 第三章一阶偏微分方程特征线法例2线性色谱问题特征线(1)0ccvKxt0:(),00:(),0tcf xxxcg tt1dtKdxv第三章一阶偏微分方程特征线法x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解 0:0,()0stxcf()tx(,)(),ttc x tf xx0:0,()0sxtcg,ttxx(,)(),tc x tg txx第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线第三章一阶偏微分方程特征线法斜坡输入时的图象 第三章一阶偏微分方程特征线法例3 有化学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数
30、衰减线性波的特点波速与因变量无关保持初始间断和光滑性质不变特征线不相交第三章一阶偏微分方程追赶现象2 非线性波与追赶现象1。追赶问题稀疏波身高曲线初始分布0hhhtx00(,0)/000hxh xh xxx第三章一阶偏微分方程追赶现象特征线解得,0dxdhhdtdt00000 xhthhh第三章一阶偏微分方程追赶现象图象稀疏波xh00hh00hxxt=0时刻的初始分布t=t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线第三章一阶偏微分方程追赶现象2。追赶问题激波初始分布：前低后高解得000(,0)(1/)00 xh xhxxhx00000(1/)(,0)01/0 x
31、hxh xxhth thxh t第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0h=h0h=0第三章一阶偏微分方程追赶现象特点追赶，特征线相交，不真实的多值分布，非线性本征属性原因：形成强间断激波，微分方程失效问题：补充间断面上的关系第三章一阶偏微分方程追赶现象3。激波间断关系qrtxx0 xsxrxll,qlr,qrdxs/dt第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断关系熵条件处理含间断问题的原则：分段求解slrlrdxqqqdt()()slrdxdt 第三章一阶偏微分方程追赶现象例1 含有激波的追赶问题间断条件初值2211122()2lrslrlrhhdxhhdthh0/t
32、hsx21,2h qh第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0CSI第三章一阶偏微分方程追赶现象例2 非线性吸附反应器01(,0)0(0,)ccnvkcxttNKcnKcc xctc 第三章一阶偏微分方程追赶现象特征曲线波速211(1)dxvdsdtdnNKdsdcKcdckcds 21(1)dxvNKdtKc第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断条件特征线光滑解()()()1slrlrlrlrdxv ccvnndtcncnccdckcdxv 0exp()()skccxxxv第三章一阶偏微分方程追赶现象将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹00exp(/)ln1ssk
33、xvKcNKvvtxkKc第三章一阶偏微分方程追赶现象图象x0cxt0t=t1S第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题3 化学剂段塞的色谱运动问题0ccnvxtt1NKcnKc(0,)0cx 10(,0)0ctc xt 第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题物理图象：前沿激波；后缘中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题解题思路1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线方程初始曲线dxvds21(1)dtNKdsKc 0d
34、cds0:,0,0sxtc1100:0,0 0csxtcc第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题1。运动初期激波稀疏波平台区21(1)NKxtKcv1/slldxvdtnc001(1)/(,)1ssNKtxvxxttKc121,01(1)NKxcctKcv 第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度）联立得到1(1)1sldtNKdxvKc21(1)NKxtKcv2(/)(/)/ssssNK txvdtxvdxxv第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题激波轨迹激波浓度段塞宽度1/21/21/21/21/20001(/)(/)(/)(/)()sstxvNKxvtxvN
35、KxvKc 1/2111()lsKcNxvc 21/211(1)2()sNKxNK c vxKc v 第三章一阶偏微分方程小结1、关于特征线法几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P,Q,R)求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。(,1)xyu u第三章一阶偏微分方程小结2、关于非线性波动的概念线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始
36、分布状况两方面因素有关。处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。谢 谢第四章 二阶偏微分方程与分离变量法1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析第四章 二阶偏微分方程概述化学工程中常见的PDE对流扩散反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。22(,)()uuuau txvDrutxx抖+=+抖第四章 二阶偏微分方程概述二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解分离变量法：适用于有限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程求解。第四章二阶偏微分方程方程的
37、分类1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类令令得得0fgueuducu2buauyxyyxyxx)exp(),(YyXxyxu0222geYdXcYbXYaXxAxYXcbbaYXcYbXYaX),(222第四章二阶偏微分方程方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型xAxxAQQxxAxT2200),(YcXaYXcaYX2baccaTTAQAQAQQA第四章二阶偏微分方程方程的分类二阶方程分类：当b2ac 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2ac=0时，曲线为抛物线,方程称为抛物型方程当b2 ac0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程 第四章二阶偏微分方程方程的
38、分类 标准形式：椭圆型方程抛物型方程 双曲型方程02222yuxu22xutu22222xuctu第四章二阶偏微分方程方程的分类物理意义：椭圆型方程位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程波动方程，描述可逆的双向波动。第四章二阶偏微分方程方程的分类 定解问题的提法方程与初、边值的组合初值问题(Cauchy问题)边值问题混合问题第四章二阶偏微分方程分离变量法2 分离变量法试探问题的变量分离形式的解例1设)0(22lxxutu0),(),0(tlutu)()0,(xxu)()(),(tTxXtxu第四章二阶偏微分方程分离变量法变量分离，得求X(x)
39、的非零解，通过调整参数的值TXTXla=-0TT0 XX0)()0(lXX第四章二阶偏微分方程分离变量法)当0时，方程的通解c1=c2=0，也即(x)0)当=0时，方程的通解 c1=c2=0，也即(x)0 xxececxX21)(xccxX21)(第四章二阶偏微分方程分离变量法)当0时，方程通解具有如下形式 由边界条件X(0)=0知c1=0,再由 为了有非零解c20，必须sin=0，由此确定出参数 xcxcxXsincos)(210sin)(2lclX),2,1(222nln第四章二阶偏微分方程分离变量法由此得变量分离解),2,1(sin)(nxlnCxXnnexp)(2tlnBtTnnxln
40、tlnAtxunnsinexp),(2第四章二阶偏微分方程分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。xlntlnAtxunnsinexp),(21xlnAxnnsin)(1xdxlnxlAln0sin)(2第四章二阶偏微分方程分离变量法例2 矩形区域的Laplace方程例3 圆形区域的Laplace方程令22222110(01,02)(1,)()uuurrr rruf )()(),(rRru第四章二阶偏微分方程分离变量法特征值问题解得n RRrRr202 RRrRr0)2()(nBnAnnsincos)(第四章二阶偏微分方程分离变量法由边值nnntntnrcrcececR2121(,)coss
41、in12nnnnu rr AnBnn,)sincos(2),(10nbnararunnnn01(1,)(cossin)()2nnnauanbnf第四章二阶偏微分方程分离变量法得得解。),2,1,0(cos)(120ndnfan),2,1(sin)(120ndnfbn第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结：分离变量法1、假设变量分离形式的解2、导出并求解特征值问题3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题特征值问题能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。第四章二阶偏微分方程分离变量法3 分离变量法非齐次方程与边界条件：化齐与展开1、非齐边值的处理：迭加边值问题特解，化齐例1)0(22lxxutu12
42、(0,);(,)utuu ltu=)()0,(xxu第四章二阶偏微分方程分离变量法令特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为)(),(),(xvtxwtxu220(0)vxlx=12(0);()vuv lu=xluuuxv010)(第四章二阶偏微分方程分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。)()()0,(0),(),0(22xvxxwtlwtwxwtw第四章二阶偏微分方程分离变量法例2令022)0,(),(),0()0(cxcctlctclxkcxcDtcs)(),(),(xv
43、txwtxusclvvkvdxvdD)()0(022第四章二阶偏微分方程分离变量法解出问题化齐为例3 环形区域上的热传导方程(p207)()0,(0),(),0(022xvcxwtlwtwkwxwDtwxlDkxDkecxvsexpexp1)(第四章二阶偏微分方程分离变量法方程与边值同时化齐)()0,(),(,),0()(1022xxuutluutuxfxutu1022)(,)0(0)(ulvuvxfdxvd)()()0,(0),(),0(22xvxxwtlwtwxwtw第四章二阶偏微分方程分离变量法2、非齐方程的处理：级数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开22(,)(0)(0
44、,)(,)0(,0)()uuf x txltxutu l tu xxxlnxXnsin)(第四章二阶偏微分方程分离变量法代入方程，得xlntTtxunnsin)(),(1xlntftxfnnsin)(),(1xlnxnnsin)(10sin)()()(2221xlntftTlntTnnnn第四章二阶偏微分方程分离变量法0)()()(222tftTlntTnnnxlnxlnTnnnnsinsin)0(11nnT)0(dftlntlntTtnnn)()(exp)exp()(0222222第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结：分离变量法的关键特征函数级数展开问题特征函数的存在性？特征函数的正交性？特
45、征函数的完整性？在一般条件下需要从理论上予以回答。第四章二阶偏微分方程分离变量法u分离变量法的历史发展1700s弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)2222(0)uuxltxa抖=抖0),(),0(tlutu)()0,(xxu122(,)si nsi nu x taxaxllpp=+L第四章二阶偏微分方程分离变量法18001900sFourier方法无穷级数解特征值问题Fourier级数理论Fourier变换1800sStrumLiouville特征值理论分离变量法的理论基础特殊函数的应用第四章二阶偏微分方程特征值理论4 特征值问题1、正交性的定义Fourier展开nmnmdxxxyxy
46、nmban0)()()()()(1xyfxfnnnbannndxxxyxff)()()(1第四章二阶偏微分方程特征值理论2、特征值理论定理一 存在着无穷多个实特征值定理二 当q(x)0时,所有特征值非负 定理三 不同的所对应的特征函数带权(x)正交 定理四 任意函数f(x)可展开为特征函数yn(x)的级数 0)()(,0)()()0)(0)(0)()(2121bybbybayaayaxxkbxayxyxqdxdyxkdxd，第四章二阶偏微分方程特征值理论说明1、S-L特征值方程具有一般性；2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解的结构。但没
47、有给出特征值方程的求解方法。第四章二阶偏微分方程特殊函数5 特殊函数的应用 1、极坐标系与Bessel函数令)()0,(0),()0()(1rrutauarrurrrtu)()(),(tTrRtru第四章二阶偏微分方程特殊函数得到判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整0TT)0(0)(0)(RaRrRdrdRrdrd第四章二阶偏微分方程特征函数解的构造由正交性1)()(),(nnnrRtTtru1)()(nnnrRranmnmrdrrRrR00)()(第四章二阶偏微分方程特征值理论annanannrdrrRrrdrrRrdrrRr0020)()(1)()()(1(,)()ntnnnu
48、r teRrl aj-=第四章二阶偏微分方程特征值理论求特征函数R(r)，令 ，将特征值问题化为上式是0阶Bessel方程，可用级数解法得到其解式中，J0 和Y0 分别为第一类和第二类Bessel函数rx)0(0)(02222RaRRxdxdRxdxRdx，)()()(00 xBYxAJxR第四章二阶偏微分方程特征值理论20201(1)()2()(!)nnnxJ xn=-=200211(1)()112()()l n(1)(!)2nnnxY xJ xxnn-=-+L第四章二阶偏微分方程特征值理论由边界条件确定特征值和特征函数得解0)(0aJ)()(0rJrRnn)(),(01rJetruntnn
49、nannnrdrrJr00)()(1第四章二阶偏微分方程特征值理论2、球坐标系与Legendre函数问题球形区域的稳态传热与传质分离变量，令u(r,)=H()R(r)得到)0,0(0sinsin12arururr),0(),(),(uau第四章二阶偏微分方程特征值理论特征值问题为H，作变换x=cos,化为Legendre 方程)1(12ssdrdRrdrdR)1(sinsin1ssddHddH0)1()1(2HssdxdHxdrd第四章二阶偏微分方程特征值理论自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。Legendre方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须相应的特征函数为 n阶的L
50、egendre多顶式)1(,)1(HH),2,1,0(nns)()(xPxHn第四章二阶偏微分方程特征值理论于是，问题的分离变量解为其中系数B0，A由边界条件确定nllnllnlxnlnlnnlxP22120)!2()!(!2)!22()1()(或0(1)(,)()(cos)()nnnnnnu rR r PR rA rB rqq=-+=+第四章二阶偏微分方程特征值理论dPandxxPaAnnnnnnsin)(cos)(212)()(1011第四章二阶偏微分方程典型问题1、球形催化剂颗粒的瞬态响应 化齐边值，令)()0,(0,1),1()(102xxcxctccxcxxxtcxss)(),(),
