1、集集 合合第 一 章集合的概念第一节集合之间的关系第二节集合的运算第三节逻 辑 关 系第四节目录CONTENTS全称量词与存在量词第五节第一节 集合的概念 集合和元素 一、我们日常生活中的哪些事物可以汇集在一起构成一个集合呢？日常生活中，我们所看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样的实物或一些抽象的符号都可以视作对象，由某些指定的对象集在一起所组成的整体就叫作集合，简称集.组成集合的每个对象称为元素.例如，把所有小于10的自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各个数都看成对象，所有这些对象汇集在一起就构成了一个集合，其中的每个数即为这个集合中的元素.第一节 集合的概念集合一般采用大
2、写英文字母A、B、C、来表示，它们的元素一般采用小写英文字母a、b、c、来表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A.一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作.例如方程x-2=x-3的解所组成的集合即为空集，因为这个集合不含任何元素.第一节 集合的概念关于集合的概念有如下说明：（1）集合的元素具有确定性，即作为一个集合的元素，必须是确定的.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.（2）集合的元素具有互异性，即给定一个集合，则集合的元素一定是互不相同的.第一节 集合的概念【例例1 1】第一节 集合的概念根
3、据集合所含有的元素个数可以将其分为有限集和无限集两类.含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集.例如上述例1中的（2）所构成的集合即为有限集，（3）所构成的集合即为无限集.在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它们都是方程x2=4的解，像这样，方程的所有解组成的集合叫作这个方程的解集；同样，在例1的（3）中，由不等式的所有解所组成的集合叫作这个不等式的解集.第一节 集合的概念 由数所组成的集合称作数集.我们用某些特定的大写英文字母表示常用的一些数集：所有非负整数所组成的集合叫作自然数集，记作N；所有正整数所组成的集合叫作正整数集，记作N*；所有整数组成的集合叫作整数集，
4、记作Z；所有有理数组成的集合叫作有理数集，记作Q；所有实数组成的集合叫作实数集，记作R.第一节 集合的概念 课课堂练习练习 1.用符号“”或“”填空：（1）-3 N；（2）3.14 Q；（3）Q；（4）0.5 Z；（5）1.8 R；（6）-1 N*.2.判断下列语句是否正确：（1）由1，2，4，2构成一个集合，这个集合共有4个元素；（2）方程x2+1=0的所有解组成的集合为空集.第一节 集合的概念 集合的表示方法 二、用列举法表示集合时，一般不考虑元素的排列顺序，如集合1,2与集合2,1表示的是同一个集合.如何表示一个集合呢？常用的表示方法有列举法和描述法两种.第一节 集合的概念列举法列举法1
5、.把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号“”中用来表示集合，这种方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的集合可表示为0，1，2，3，4；方程x2=4的所有解组成的集合可表示为-2，2.第一节 集合的概念当集合为无限集或元素很多的有限集时，可以在花括号内只写出几个元素，其他用省略号表示即可，但所写出的元素必须能让人明白省略号表示哪些元素.例如，自然数集N为无限集，可表示为0，1，2，3，n，；不大于100的全体自然数所组成的集合为有限集，可表示为0，1，2，3，100.第一节 集合的概念【例例2 2】第一节 集合的概念 课课堂练习练习用列举法表示下列集合：（1）小于10的
6、正奇数组成的集合；（2）我国古代四大发明组成的集合；（3）大于2小于8的自然数组成的集合.第一节 集合的概念描述法描述法2.有的集合用列举法表示起来是很不方便的，如“由大于2的所有实数组成的集合”，大于2的实数有无穷多个，显然无法用列举法将该集合的元素一一列出，此时用描述法来表示该集合则比较方便.把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫作描述法.例如上述“由大于2的所有实数组成的集合”，可以看出该集合的元素都具有如下性质：都是实数，都大于2.因此，该集合可用描述法表示为 xx2，xR.第一节 集合的概念花括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，元素
7、x从实数集R中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.如果从上下文可以明显看出集合的元素为实数，则xR也可以省略不写，如上述的集合可表示为 xx2.第一节 集合的概念由第一象限所有的点组成的集合怎么表示？想一想第一节 集合的概念【例例3 3】第一节 集合的概念用列举法表示集合可以明确地看到集合的每个元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在具体的应用中要根据实际情况灵活选用.第一节 集合的概念 课课堂练习练习用描述法表示下列集合：(1)方程3x-5=0的组成的集合；(2)绝对值大于7的实数组成的集合；(3)全体奇数组成的集合.第二节 集合之间的关系 子集 一、观察下列
8、集合：（1）A=2，4，6，B=2，4，6，8；（2）A=xx是长方形，B=xx是平行四边形.可以看出，上述集合A中的任意一个元素都是集合B的元素.一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫作集合B的子集，记作 A B或B A，读作“A包含于B”或“B包含A”.第二节 集合之间的关系由上述子集的定义可知，任意一个集合A都是它自身的子集，即A A.规定：空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有 A.如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作 A B或B A，第二节 集合之间的关系符号“”与符号“”表达的含
9、义相同吗？有什么区别？思考与讨论思考与讨论第二节 集合之间的关系读作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用图1-1所示图形来直观地表示.图 1-1第二节 集合之间的关系【例例1 1】第二节 集合之间的关系解 集合A的所有子集为，1，2，3，1，2，2，3，1，3，1，2，3.在上述子集中除了集合A本身，即1，2，3，其余的全为集合A的真子集.第二节 集合之间的关系 课课堂练习练习1.用符号“”“”“”或“”填空：（1）N Q；（2）2，3 2；（3）a,b c,d;(4)0 .2.设集合A表示x|x6,集合B表示x|x0,指出集合A与集合B之间的关系.第二节 集合之间的关系 集合的相等 二、观
10、察集合A=1，2，3，B=x0 x2；(4)等边三角形不是等腰三角形；(5)201450是个大数；(6)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等第四节 逻 辑 关 系2指出下列命题中的条件p和结论q，并判断它们的真假：(1)若x，y互为倒数，则xy=1；(2)若一个数是负数，则它的平方是正数；(3)若a6，则ac2bc2 3写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若x=y，则x=y；(2)若x=2，则x2=4；(3)若x2+y20，则x，y不全为0第四节 逻 辑 关 系 逻辑联结词 三、在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”，来联结两个命题，以构
11、成一个新的命题.下面介绍逻辑联结词“且”“或”“非”的含义和用法.为叙述方便，通常用小写字母p,q,r,s,表示命题.第四节 逻 辑 关 系且（且（andand）1.一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”.例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“且”联结而得到的新命题.（1）10能被2整除；（2）10能被5整除；（3）10能被2整除且能被5整除.第四节 逻 辑 关 系我们规定：当p,q都是真命题时，pq是真命题；当p,q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题.在上述三个命题中，命题（1）、（2）都是真命题
12、，所以命题（3）是真命题.第四节 逻 辑 关 系或（或（oror）2.一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 pq，读作“p或q”.例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“或”联结而得到的新命题.（1）21是4的倍数；（2）21是7的倍数；（3）21是4的倍数或是7的倍数.第四节 逻 辑 关 系如果pq为真命题，那么pq一定是真命题吗？反之，如果pq为真命题，那么pq一定是真命题吗？想一想第四节 逻 辑 关 系我们规定：当p,q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p,q两个命题都是假命题时，pq是假命题.在上述三个命题
13、中，命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，所以命题（3）是真命题.第四节 逻 辑 关 系非（非（notnot）3.一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”.例如，在下列两个命题中，命题（2）是命题（1）的否定.（1）正方形是矩形；（2）正方形不是矩形.显然，若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题.在上述两个命题中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题.第四节 逻 辑 关 系【例例4 4】第四节 逻 辑 关 系（2）pq：15是3的倍数且是10的倍数.由于p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题.（3）命题“1既是奇数，又是质数”
14、可以改写为“1是奇数且1是质数”.因为“1是奇数”是真命题，“1是质数”是假命题，所以这个命题是假命题.（4）命题“12能被2和3整除”可以改写为“12能被2整除且12能被3整除”.因为“12能被2整除”与“12能被3整除”都是真命题，所以这个命题是真命题.第四节 逻 辑 关 系命题的否定与否定命题有什么区别？想一想第四节 逻 辑 关 系 充分条件和必要条件 四、观察下列推论是否成立：（a）x=2，则x2=4；（b）xy=0，则x=0.显然，由（a）中的“x=2”则一定能推断出“x2=4”；由（b）中的“xy=0”则不能推断出“x=0”，因为有可能y=0.像上述那样，已知条件p和结论q：（1）
15、如果由条件p成立可推出结论q成立，则说条件p是结论q的充分条件，记作“p=q”.上述（a）中，条件p：x=2，结论q：x2=4，即“x=2”是“x2=4”的充分条件.第四节 逻 辑 关 系若p:x=y,q:x2=y2，则p是q的充要条件，这种说法对吗？想一想第四节 逻 辑 关 系（2）如果由结论q成立可推出条件p成立，则说条件p是结论q的必要条件，记作“q=p（或p=q）”.上述（b）中，条件p：xy=0，结论q：x=0，即“xy=0”是“x=0”的必要条件.如果p=q，且p=q，那么p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作“p=q”.第四节 逻 辑 关 系【例例7 7】第四节 逻 辑 关
16、系第四节 逻 辑 关 系 课课堂练习练习指出下列各组中条件p是结论q的什么条件：（1）p：x=-1，q：|x|=1；(2)p：x5，q：x0；(3)p：x=0，q：xy=0；(4)p：x2=4，q：x-7=0.第五节 全称量词与存在量词 全称量词 一、观察下面的语句：（1）x5;(2)3x+2是整数；(3)对所有的xR，x0易知，上面三个命题都是全称命题，即符合形式“xM，p(x)”命题(1)的否定是“并非所有的菱形都是平行四边形”，也就是说：存在一个菱形不是平行四边形；第五节 全称量词与存在量词命题(2)的否定是“并非每一个质数都是奇数”，也就是说：存在一个质数不是奇数；命题(3)的否定是“
17、并非所有的xR，x2-x+10”，也就是说：?x0R，x20-x0+10从命题形式看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：对于全称命题p：xM，p(x)，它的否定p为：?x0M，p(x0)，全称命题的否定是特称命题第五节 全称量词与存在量词含有一个量词的特称命题的否定含有一个量词的特称命题的否定2.写出下列命题的否定：(1)有些整数的绝对值是正数；(2)某些矩形是正方形；(3)?x0R，x20+11易知，上面三个命题都是特称命题，即符合形式“?x0M，p(x0)”命题(1)的否定是“不存在一个整数，它的绝对值是正数”，也就是说：所有整数的
18、绝对值都不是正数；第五节 全称量词与存在量词命题(3)的否定是“不存在x0R，x20+11”，也就是说：xR，x2+11从命题形式看，这一个特称命题的否定都变成了全称命题一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：对于特称命题p：?x0M，p(x0)，它的否定p为：xM，p(x)特称命题的否定是全称命题第五节 全称量词与存在量词【例例1 1】第五节 全称量词与存在量词第五节 全称量词与存在量词【例例2 2】第五节 全称量词与存在量词第五节 全称量词与存在量词【例例3 3】第五节 全称量词与存在量词阅读材料 维恩与维恩图著名教育家苏霍姆林斯基说过“直观是认识的途径，是照亮认识途径的光
19、辉”，数学中的直观往往有助于人们对抽象概念的理解.“集合”是一种抽象的概念，用图形来表示集合则可以有助于大家更直观地理解一些集合问题.阅读材料1880年，英国数学家维恩在论命题和推理的图表化和机械化表现一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题（如图1-11所示），这种图形即为维恩图.这一表示方法，让逻辑学家无比激动，以致19世纪后期、整个20世纪直到今天，还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研.在大量逻辑学著作中，维恩图占据着十分重要的位置，而且维恩图还被应用于数学学科中，尤其是被应用于集合论当中.阅读材料图 1-11阅读材料 维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集
20、合之间的相互关系，在本章的运用中已经有所体现用维恩图解一些有关集合的问题常常可以得到意料之外的效果.例如，判断：所有勤奋的学生都爱学习，有些爱学习的学生视力不好，那么有些勤奋的学生视力不好.我们可以令：A=爱学习的学生，B=勤奋的学生，C=视力不好的学生，阅读材料上述判断中A、B、C之间的关系有三种可能，用维恩图表示如图1-12中的（a）、（b）、（c）所示：图 1-12阅读材料从图中可以很直观地看出，如果A、B、C之间的关系如图1-12（a）中的情形，则上述判断中的结论“那么有些勤奋的学生视力不好”是不正确的，因为“B=勤奋的学生”与“C=视力不好的学生”没有重叠交叉的部分.利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地解决问题，因此，同学们要逐步形成利用维恩图解题的意识，提高自己解决问题的能力
