1、用法向量求二面角用法向量求二面角本溪市第二高级中学本溪市第二高级中学高高 亮亮空间向量的应空间向量的应用用 一、一、教材分析教材分析 二、二、学情分析学情分析 三、三、教学目标教学目标 四、四、重点难点重点难点 五、五、学法教法学法教法 六、六、教学过程教学过程教学设计教学设计教材分析教材分析 向量知识的引入是高中数学教材改革的一向量知识的引入是高中数学教材改革的一个亮点。而二面角是空间几何中的重要知识点，个亮点。而二面角是空间几何中的重要知识点，是高考命题的热点，也是三种空间角中比较难是高考命题的热点，也是三种空间角中比较难求的一个。在新课程教材（选修求的一个。在新课程教材（选修2-12-1
2、第三章）中，第三章）中，只介绍了用法向量法求二面角或其补角大小，只介绍了用法向量法求二面角或其补角大小，但并没具体介绍如何判断二面角与法向量夹角但并没具体介绍如何判断二面角与法向量夹角之间或相等或互补的关系之间或相等或互补的关系。本节课是一节解题。本节课是一节解题方法的小结课，重点突破解决如何判断二面角方法的小结课，重点突破解决如何判断二面角大小的问题。大小的问题。返回返回学情分析学情分析 学生已学过求平面法向量的方法，二面角学生已学过求平面法向量的方法，二面角的定义，也了解用向量法求二面角的基本步骤。的定义，也了解用向量法求二面角的基本步骤。本节课是一节解题方法的小结课，力求解决通本节课是一
3、节解题方法的小结课，力求解决通过判断法向量方向准确求得二面角大小。在解过判断法向量方向准确求得二面角大小。在解题方法步骤上学生应容易接受，但在理解法向题方法步骤上学生应容易接受，但在理解法向量夹角和二面角大小关系以及判断法向量方向量夹角和二面角大小关系以及判断法向量方向上学生有一定难度，因此在难点突破上利用课上学生有一定难度，因此在难点突破上利用课件直观演示，以帮助同学们理解和掌握。件直观演示，以帮助同学们理解和掌握。返回返回教学目标教学目标1 1、知识目标：掌握利用向量法求解空间角原理和基、知识目标：掌握利用向量法求解空间角原理和基本步骤，进一步了解向量法的优势，细节本步骤，进一步了解向量法
4、的优势，细节问题问题以及以及结论性的处理方法。结论性的处理方法。2 2、能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊、能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力；提高类比、归到一般的探究能力和空间想象能力；提高类比、归纳，总结的能力。纳，总结的能力。3 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境，培养学生主动获取知识的学习学相长的教学情境，培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感意识，
5、激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验体验返回返回返回返回教学重点：解决教学重点：解决“利用法向量求二面角的利用法向量求二面角的大小的答角大小的答角”问题。问题。教学难点：通过法向量的坐标来判断法向教学难点：通过法向量的坐标来判断法向量与二面角的量与二面角的“进出进出”关系，进一步判断关系，进一步判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。系。重点难点重点难点返回返回学法教法学法教法学法：采取自主探索、类比猜想、合作交学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式流等形式教法：整堂课围绕教法：整堂课围绕“学生主体，教师主导学生主体，教师主导”的教学原则，采
6、取类比引导、计算机辅助的教学原则，采取类比引导、计算机辅助教学、反馈评价等方式。教学、反馈评价等方式。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。所成的角叫做二面角的平面角。教学过程教学过程复习回顾复习回顾,0二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。表示法：二面角叫做二面角。表示法：二面角 ；二面角的平面角：二面角的范围：这与空间向量夹角的取值范围相同ll利用法向量求二面角的原理：利用法向量求二面角的原理
7、：复习回顾复习回顾 设设 分别为平面分别为平面 的法向量，二面角的法向量，二面角 的大小为的大小为 ，向量，向量 的夹角为的夹角为 ，则有，则有 （图（图1）或）或 （图（图2）。）。21,nn,l21,nn教学过程教学过程复习回顾复习回顾1n1n2n2n向量向量 的夹角为的夹角为 ，二面角二面角 的大小为的大小为 ，和和 相等还是互补？相等还是互补？21,nnl“同进同出为补角，一进一出为夹同进同出为补角，一进一出为夹角角”看图思考：对于以下两个向量，看图思考：对于以下两个向量，=（-2，-2，-2），），=（1，1，1），），当起点落在空间直角当起点落在空间直角坐标系的原点时，终点分别在第
8、几卦限？坐标系的原点时，终点分别在第几卦限？ab若A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），由图形易知：上述两个向量是平面ABC的法向量，请问这两个向量对二面角O-AB-C来说：是“进”还是“出”？（利用几何画板制作旋转动画）方法总结：先看x坐标和y坐标，确定向量在平面xOy上的指向，最后看z坐标的正负，确定向量具体指向。（如图）在长方体中，AB=2，BC=4,=2，点Q是BC的中点，求此时二面角A-A1D-Q的大小。补充提问：当点Q位于B1C1的中点时，求二面角A-A1D-Q的大小。有没有一种方法能让我们在设法向量的时候就能控制一个平面的法向量，达到我们想要的“向上或向下，“向后
9、或前”，“向左或右”，最终达到那种理想的“一进一出”的效果呢？原理：如图,平面ABC的法向量为 ，若要法向量的方向“向上”，可设 或 ，其中 ；若要法向量的方向“向前”，可设 或 ，其中 ；若要法向量的方向“向右”，可设 或 ，其中 。n)1,(yxn),(0zyxn 00z),1(zyn),(0zyxn 00 x),1,(zxn),(0zyxn 00y在正方体在正方体 中，求二面角中，求二面角的大小。的大小。1111DCBAABCD11DBCA如图，在底面是直角梯形的四棱锥如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCDS-ABCD中中,。,求侧面求侧面SCDSCD与面与面SBASBA所成的二面所成的二面角的大小。角的大小。,90,/ABCBCAD1ABCD2SASA面，21,1ADBCAB（1）取角口诀：一进一出取夹角，同进同出取补角（2）已知空间向量坐标，判断向量指向（3）设平面法向量的方法：设“1”取“正”；1.梳理知识点，整理课堂笔记2.书面作业：P111 练习B2 P115习题A73.选做题：如图，正三棱柱 的所有的棱长都为2，D为中点.求证：(1)；(2)二面角的大小.111ABCABC1CC11A BDAB 平面11AABC 敬请各位专家、老敬请各位专家、老师批评指正，谢谢！师批评指正，谢谢！说课教师：高亮说课教师：高亮
